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Note : Cette proposition de correction a été rédigée conjointement par S. Bosquain et G. Dupont.
Présentation du sujet
La première composition d’agrégation interne de 2021 était principalement dédiée à l’étude du théorème de Burnside en algèbre linéaire, et à certaines de ses applications : matrices magiques, théorème de Kolchin, théorème de Mc Coy.
La première partie vise à établir quelques résultats préliminaires d’algèbre linéaire très classiques à l’agrégation interne : trace, dualité, extraction de bases et co-diagonalisation. Elle récompensera tous les candidats ayant sérieusement travaillé leurs classiques.
La deuxième partie vise à démontrer le théorème de Burnside, résultat central du sujet. La démonstration à proprement parler occupe les questions 8 à 11. Elle fait intensivement appel aux matrices par blocs et est d’un niveau de difficulté légèrement supérieur à la moyenne de l’épreuve.
La troisième partie, plus classique, étudie des exemples faisant apparaître l’importance des hypothèses du théorème de Burnside. On y retrouve en particulier un certain nombre de techniques classiques sur les polynômes d’endomorphismes.
La quatrième partie donne des applications diverses du théorème de Burnside à des sous-groupes de GL(n,C). On y retrouve de nombreuses techniques classiques relatives aux matrices nilpotentes ou à la trigonalisation.
La cinquième partie vise à établir, à l’aide du théorème de Burnside, que les matrices magiques sont les combinaisons linéaires de matrices de permutation. Cette partie fait en particulier appel à des connaissances sur le groupe symétrique et la dualité.
La sixième et dernière partie établit un lemme fondamental de co-trigonalisation par passage au quotient qui, couplé au théorème de Burnside, permet d’obtenir de nombreux résultats de co-trigonalisation. Assez éclectique, elle vient récompenser le candidat en lui offrant de nombreuses applications (plus ou moins directes) de ses efforts précédents.
Commentaires sur le sujet
Relativement long (9 pages dans sa version originale !), ce sujet est très soigné, tant dans sa construction que dans son écriture. Faisant appel à de nombreuses techniques classiques d’algèbre linéaire, il est en parfait accord avec l’esprit des programmes du concours.
D’une difficulté raisonnable (la longueur l’étant moins), l’indépendance des différentes parties permet de sélectionner les sujets sur lesquels on souhaite se pencher prioritairement. La composition du sujet aide à cette fin en identifiant précisément les résultats établis dans les parties précédentes quand il est nécessaire d’y faire appel.
Si le théorème de Burnside n’est pas des plus aisés à démontrer, il est facile de s’en approprier l’énoncé afin de continuer le sujet sans l’avoir prouvé.
Commentaires sur la correction
Les deux auteurs de cette correction sont de simples collègues enseignants qui se sont penchés sur ce sujet durant leur temps libre. Ils n’ont aucun lien avec le jury, ni aucun intérêt commercial dans la rédaction de ce corrigé, et la correction proposée n’a aucun caractère officiel. Elle est uniquement mise à disposition des candidats pour les aider dans leur préparation, dans la tradition mathématique de libre diffusion des connaissances.
Cette correction est certainement perfectible à de nombreux égards, n’hésitez pas à nous faire part de vos remarques si vous y décelez des erreurs (possibles), des coquilles (probables) ou des améliorations (certaines).
NB : Le corrigé est d’ailleurs diffusé sous licence Creative Commons BY-NC-SA 4.0.
Bonjour, Il semble y avoir un souci avec la correction de la question 26 : « donc la famille formée
des restrictions de f ∈ F à F s’identifie à la famille obtenue à partir de F par passage au quotient. E » le fait est que le suplémentaire « G » n’a pas de raison d’être stable par la famille d’endomorphismes …donc la notion « par passage au quotient » ne semble pas s’appliquer… avec des collègues nous ne voyons pas comment corriger. Merci
Bonjour et merci pour cette remarque. Effectivement, il y avait une erreur à ce niveau. Il me semble que l’on peut la résoudre en prenant G = {0}, comme expliqué dans le fichier mis à jour.