MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

143

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

Vrai

Faux

df(I_n)(H) = nH

2 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f peut admettre un extremum en un point non critique

f admet un extremum local en tout point critique

tout extremum local est global

f admet un extremum global

3 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un maximum local

un point col

un point critique

un minimum local

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

4 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il faut qu'elle soit continue en a

il suffit qu'elle soit continue en a

5 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un minimum local en a

un point col en a

un maximum local en a

6 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Faux

Vrai

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

7 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

df=0

df=f

f est différentiable

f est continue

8 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

différentiable en (0,0)

continue en (0,0)

C^2 en (0,0)

Rien de tout cela

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

9 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

10 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

colinéaire aux lignes de niveau

orthogonal aux lignes de niveau

Votre score est

Le score moyen est 45%

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Espaces vectoriels normés

321

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Faux

Vrai

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

2 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Faux

Vrai

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

3 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

égale à 2

supérieure ou égale à 2

pas nécessairement définie

inférieure ou égale à 2

4 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Vrai si K=C, Faux si K=R

Vrai

Faux

5 / 10

Un compact est un fermé borné

Vrai

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

6 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

vrai si K=C, faux si K=R

Faux

Vrai

7 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

compact

ouvert

connexe par arcs

fermé

8 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Faux

Vrai

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

9 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Vrai

Faux

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

10 / 10

Sur un compact, une application continue est

uniformément continue

lipschitizienne

linéaire

bornée

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

206

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

R+

sur aucun de ces intervalles

]0,1]

[1,+infini[

2 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n+1) = n!

Gamma(n) = n!

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n)! = n+1

3 / 10

La fonction ln est intégrable sur

[1,+infini[

]0,1]

sur aucun de ces intervalles

4 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Vrai

Faux

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

5 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Vrai

Faux

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

6 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

7 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

8 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

9 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R-

sur R

sur aucun de ces intervalles

sur R+

10 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

160

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

3,5

2,5

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

suit une loi de Poisson de paramètre 2

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

suit une loi de Poisson de paramètre 1

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois de Poisson

les lois uniformes

les lois géométriques

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Faux

Vrai

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

B(p)

G(p)

P(np)

B(n,p)

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)+E[X]²

E[X]²

V(X)

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

4 fois

2 fois

3 fois

1 fois

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

105

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Les polynômes n'admettant pas de racines réelles

Les polynômes constants

Les polynômes de degré 2 à discriminant négatif

Les polynômes de degré 1

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Faux

Vrai

(X²+1)² n'a pas de racines réelles mais est réductible dans R[X].

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Faux

Vrai

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Vrai

Faux

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Faux

Vrai

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

Faux

Vrai

X²-2 est irréductible dans Q[X] mais se factorise dans R[X]

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

(X²+1) divise P

(X²+X+1) divise P

(X-j²) divise P

(X-j) divise P

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

E =0, a = 4, b = -5

E =0, a = 4, b = 5

E =0, a = -4, b = 5

E non nul 0, a = -4, b = 5

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

P est réductible dans R[X]

P est irréductible dans R[X]

P admet des racines réelles

P n'admet pas de racines réelles

Votre score est

Le score moyen est 45%

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273

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

A^n + I

A+I

nA+I

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Vrai

Faux

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Faux

Vrai

Le polynôme caractéristique doit être scindé, mais pas nécessairement à racines simples. C'est néanmoins une condition suffisante de diagonalisabilité.

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Faux

Vrai

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

son polynôme minimal est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

son polynôme caractéristique est scindé à racines simples

son polynôme caractéristique est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

son polynôme minimal est scindé à racines simples

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

A est nilpotente

A est inversible

A est nulle

A est diagonalisable

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Vrai

Faux

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

On ne peut pas conclure

Vrai

Faux

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 72%

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170

Algèbre générale

1 / 10

(Z/4Z,+) contient

2 sous-groupes

1 sous-groupe

4 sous-groupes

3 sous-groupes

Il y a exactement trois sous-groupes:
{0}, Z/4Z et {0,2} (qui est isomorphe à Z/2Z)

2 / 10

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

n(n+1)/2 éléments

n(n-1)/2 éléments

n éléments

n! éléments

3 / 10

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

deux éléments inversibles

un élément inversible

trois éléments inversibles

5 éléments inversibles

4 / 10

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Z/3Z x Z/5Z

Z/6Z

Z/7Z

5 / 10

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

6 / 10

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Trace

Déterminant

Transposition

inversion

7 / 10

Le groupe U(Z/5Z) des inversibles de Z/5Z contient...

4 éléments

1 élément

aucun élément

5 éléments

Comme 5 est premier, Z/5Z est un corps et donc tous ses éléments non nuls sont inversibles. U(Z/5Z) contient donc 4 éléments, et est en fait isomorphe à (Z/4Z,+).

8 / 10

Z/6Z est isomorphe à...

Z*6Z

(Z/2Z)*(Z/3Z)

(Z/2Z)*(Z/4Z)

(Z/5Z)

C'est une conséquence du théorème des restes chinois

9 / 10

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

10 / 10

Soit p un nombre premier et G un groupe fini d'ordre p. Alors G est abélien

Faux

Vrai

Un groupe d'ordre p premier est nécessairement cyclique ; il est en particulier abélien.

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

187

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f est dérivable sur I

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

2 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

elle converge uniformément sur ]-R,R[

elle converge normalement sur ]-R,R[

elle converge normalement sur tout segment de ]-R,R[

elle converge normalement sur [-R,R]

3 / 10

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Faux

Vrai

Il faut que I soit un segment pour pouvoir l'affirmer (théorème de Weierstrass).

4 / 10

La série de terme général cos(x)^n

converge simplement sur ]0,pi[

converge normalement sur ]0,pi[

ne converge pas sur ]0,pi[

converge simplement sur R

Sur ]0,\pi[, la borne sup de |cos(x)^n| est 1, donc il n'y a pas convergence normale. Néanmoins, |cos(x)|<1 donc il y a convergence simple (série géométrique).

Sur R, il n'y a pas convergence simple car le terme général ne tend pas simplement vers 0.

5 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

elle converge normalement

son terme général converge uniformément

son terme général converge uniformément vers 0

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

6 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

on ne peut pas savoir

+ l'infini

7 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

converge si |z|=R

diverge si |z|=R

diverge grossièrement si |z| est strictement supérieur à R

converge absolument si |z| est strictement inférieur à R

8 / 10

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

sum (n+1)a_n x^(n+1)

sum a_n*x^(n+1)/(n+1)

sum n*a_n*x^(n-1)

sum a_n*(x^n)/n

9 / 10

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

on ne peut pas conclure

R_1 = R_2

R_1 est strictement plus petit que R_2

R_1 est strictement plus grand que R_2

10 / 10

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

R_a est inférrieur ou égal à R_b

R_a est strictement inférieur à R_b

R_a est supérieur ou égal à R_b

R_a est strictement supérieur à R_b

Votre score est

Le score moyen est 46%

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372

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Vrai

Faux

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

2 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

3 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

on ne peut pas conclure

Vrai

Faux

Si les séries convergent absolument, elles convergent donc (u_n) tend vers 0. A partir d'un certain rang, on a donc |u_n|<1 et |u_nv_n| < |v_n|. On conclut par comparaison.

4 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Faux

Vrai

Le terme général est équivalent à 1/n^2. On conclut par comparaison.

5 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

divergente

semi-convergente

grossièrement divergente

absolument convergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

6 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la divergence de U_n implique celle de V_n

la divergence de V_n implique celle de U_n

la convergence de V_n implique celle de U_n

la convergence de U_n implique celle de V_n

7 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut (1-x^(n+1))/(1-x)

converge, et sa somme vaut 1/(1-x)

converge, et sa somme vaut (1-x^n)/(1-x)

diverge

8 / 10

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Elle diverge grossièrement

Elle converge vers u_0-1

Elle converge vers 1

on ne peut pas conclure

9 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

V_n = o(U_n)

R_n = o(T_n)

T_n = o(R_n)

U_n = o(V_n)

10 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut 1/e

converge, et sa somme vaut e

converge, et sa somme vaut ln(2)

diverge

Votre score est

Le score moyen est 34%

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