MP : Quiz d’apprentissage

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

Si f est différentiable sur un compact...

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Si f est différentiable, le gradient de f est

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Un compact est un fermé borné

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

GL(n,R) est

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Dans C, le cercle trigonométrique est

Sur un compact, une application continue est

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

Si A est une matrice triangulaire, alors

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Soit p un nombre premier et G un groupe fini d'ordre p. Alors G est abélien

Combien 4900 admet-il de diviseurs positifs ?

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

Quels éléments sont inversibles dans l'anneau Z/165Z ?

Combien vaut l'indicatrice d'Euler de 57 ?

Z/6Z est isomorphe à...

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

L'ensemble des matrices de déterminant nul est un groupe pour le produit matriciel.

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

La série de terme général sin(2/n²) est

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

Pour que la série de terme général u_n converge...

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.