MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

190

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il suffit qu'elle soit continue en a

il faut qu'elle soit continue en a

2 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Faux

Vrai

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

3 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

f est continue

df=0

f est différentiable

df=f

4 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un minimum local en a

un point col en a

un maximum local en a

5 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Faux

Vrai

6 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f admet un extremum global

f admet un extremum local en tout point critique

f peut admettre un extremum en un point non critique

tout extremum local est global

7 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Rien de tout cela

C^2 en (0,0)

différentiable en (0,0)

continue en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

8 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

orthogonal aux lignes de niveau

colinéaire aux lignes de niveau

9 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Vrai

Faux

10 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

Votre score est

Le score moyen est 45%

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Espaces vectoriels normés

354

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Un compact est un fermé borné

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Vrai

2 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

3 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Faux

Vrai

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

4 / 10

GL(n,R) est

compact

fermé

ouvert

connexe par arcs

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

5 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai dans un compact

Vrai

6 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Faux

Vrai

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

7 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Faux

Vrai

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

8 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Faux

vrai si K=C, faux si K=R

Vrai

9 / 10

Sur un compact, une application continue est

lipschitizienne

bornée

linéaire

uniformément continue

10 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Vrai si K=C, Faux si K=R

Faux

Vrai

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

236

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

2 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n) = n!

Gamma(n+1) = n!

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n)! = n+1

3 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^x e^(-t) dt

t^(x+1) e^(-t) dt

t^x e^(-t-1) dt

t^(x-1) e^(-t) dt

4 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

convergente

divergente

semi-convergente

absolument convergente

5 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

6 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Faux

Vrai

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

7 / 10

La fonction Gamma est

de limite infinie en l'infini

strictement convexe sur R*+

strictement croissante sur R*+

de classe C infini sur R*+

définie sur R*+

continue sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

8 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Faux

Vrai

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

9 / 10

La fonction ln est intégrable sur

[1,+infini[

]0,1]

sur aucun de ces intervalles

10 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

198

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Faux

Vrai

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY admet une espérance inconnue

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-3)/4

(X-3)/2

(X-9)/2

(X-9)/4

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

P(np)

G(p)

B(p)

B(n,p)

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

suit une loi de Poisson de paramètre 2

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

suit une loi de Poisson de paramètre 1

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

3 fois

4 fois

1 fois

2 fois

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois géométriques

les lois de Poisson

les lois uniformes

Votre score est

Le score moyen est 61%

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Algèbre

124

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Faux

Vrai

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

2 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

divisible par X-z dans R[X]

égal à X²-2*Re(z)+|z|²

divisible par X²-2*Re(z)+|z|² dans R[X]

égal à X-z dans R[X]

Soit D = PGCD(A,B). Comme A,B sont dans R[X], D aussi et donc D(z) = D(\bar z) = 0. Ainsi, (X-z)(X-\bar z) divise D, mais rien ne permet d'affirmer l'égalité.

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

X**2-16X+64

x**4+1

X**2+1

X**2-X-2

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

Vrai

Faux

X²-2 est irréductible dans Q[X] mais se factorise dans R[X]

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

3 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Faux

Vrai

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Les polynômes constants

Les polynômes de degré 2 à discriminant négatif

Les polynômes n'admettant pas de racines réelles

Les polynômes de degré 1

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

P admet des racines réelles

P n'admet pas de racines réelles

P est irréductible dans R[X]

P est réductible dans R[X]

Votre score est

Le score moyen est 45%

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310

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Faux

Vrai

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Faux

Vrai

On ne peut pas conclure

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

-1 est valeur propre

A n'est pas inversible

1 est valeur propre

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Faux

Vrai

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Vrai

Faux

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Faux

Vrai

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A est diagonalisable

A n'est pas diagonalisable

A est inversible

A n'est pas inversible

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

A est diagonalisable

X est valeur propre de A

2 est valeur propre de A

Si A est une matrice triangulaire, alors

A est inversible

A est diagonalisable

ses valeurs propres sont sur la diagonale

Toute matrice de M(n,R) est

trigonalisable dans M(n,R)

trigonalisable dans M(n,C)

diagonalisable dans M(n,R)

diagonalisable dans M(n,C)

Votre score est

Le score moyen est 73%

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186

Algèbre générale

1 / 10

(Z/4Z,+) contient

2 sous-groupes

4 sous-groupes

1 sous-groupe

3 sous-groupes

Il y a exactement trois sous-groupes:
{0}, Z/4Z et {0,2} (qui est isomorphe à Z/2Z)

2 / 10

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

3 / 10

Combien vaut l'indicatrice d'Euler de 57 ?

4 / 10

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Faux

Vrai

Si x est un générateur de G, alors le théorème de Lagrange assure que l'ordre de x divise l'ordre de G. Celui-ci étant p premier, l'ordre de x est 1 ou p. Et comme x n'est pas l'élément neutre, son ordre est p. Ainsi, G est engendré par x.

5 / 10

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

6 / 10

Quels éléments sont inversibles dans l'anneau Z/165Z ?

164

7 / 10

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

GL(n,K)

K(X)

K_n[X]

K[X]

8 / 10

(Z/6Z,+,*) est...

un anneau intègre mais pas un corps

un corps

un anneau non intègre

un idéal

9 / 10

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

Faux

Vrai

Z/9Z est cyclique donc contient un élément d'ordre 9 alors que tous les éléments de (Z/3Z)^2 sont d'ordre 1 ou 3.

10 / 10

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

au moins d

on ne peut pas savoir

au plus d

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

202

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Vrai

Faux

Il faut ajouter une hypothèse de convergence uniforme.

2 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...simplement vers une primitive de f

...carrément !

...pas forcément

...uniformément vers une primitive de f

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

3 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

on ne peut pas savoir

+ l'infini

4 / 10

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

R_a est supérieur ou égal à R_b

R_a est strictement inférieur à R_b

R_a est inférrieur ou égal à R_b

R_a est strictement supérieur à R_b

5 / 10

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

R_1 est strictement plus petit que R_2

on ne peut pas conclure

R_1 est strictement plus grand que R_2

R_1 = R_2

6 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

son terme général converge uniformément vers 0

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

elle converge normalement

son terme général converge uniformément

7 / 10

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

il faut que (f_n) converge uniformément vers 0

il faut et il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge simplement vers 0

il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

8 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

f est dérivable sur I

9 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

diverge grossièrement si |z| est strictement supérieur à R

converge absolument si |z| est strictement inférieur à R

diverge si |z|=R

converge si |z|=R

10 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

converger absolument

diverger

converger

diverger grossièrement

Votre score est

Le score moyen est 46%

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414

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la divergence de U_n implique celle de V_n

la divergence de V_n implique celle de U_n

la convergence de U_n implique celle de V_n

la convergence de V_n implique celle de U_n

2 / 10

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

absolument convergente

semi-convergente

grossièrement divergente

divergente

La série converge d'après le critère des séries alternées, mais ne converge pas absolument d'après le critère de Riemann.

3 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

il faut que le terme général tende vers 0

il suffit que le terme général tende vers 0

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

4 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut 1/(1-x)

converge, et sa somme vaut (1-x^(n+1))/(1-x)

diverge

converge, et sa somme vaut (1-x^n)/(1-x)

5 / 10

La série de terme général ln(1+1/n) est

divergente

grossièrement divergente

semi-convergente

absolument convergente

Son terme général est positif et équivalent à 1/n. On conclut par comparaison.

6 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

divergente

grossièrement divergente

semi-convergente

absolument convergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

7 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Faux

on ne peut pas conclure

Vrai

Si les séries convergent absolument, elles convergent donc (u_n) tend vers 0. A partir d'un certain rang, on a donc |u_n|<1 et |u_nv_n| < |v_n|. On conclut par comparaison.

8 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

diverge

converge, et sa somme vaut ln(2)

converge, et sa somme vaut 1/e

converge, et sa somme vaut e

9 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

grossièrement divergente

divergente

semi-convergente

convergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

10 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

les suites des sommes partielles sont équivalentes

les séries sum u_n et sum v_n sont de même nature

les suites des restes partielles sont équivalentes

les sommes des séries correspondantes sont égales

Votre score est

Le score moyen est 33%

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