MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

181

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

2 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

df=0

f est différentiable

df=f

f est continue

3 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Vrai

Faux

4 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Faux

Vrai

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

5 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il suffit qu'elle soit continue en a

il faut qu'elle soit continue en a

6 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f admet un extremum local en tout point critique

f admet un extremum global

tout extremum local est global

f peut admettre un extremum en un point non critique

7 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

colinéaire aux lignes de niveau

orthogonal aux lignes de niveau

8 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Vrai

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

Faux

df(I_n)(H) = nH

9 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

C^2 en (0,0)

continue en (0,0)

Rien de tout cela

différentiable en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

10 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 46%

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Espaces vectoriels normés

350

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

connexe par arcs

compact

ouvert

fermé

2 / 10

Un compact est un fermé borné

Faux

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

3 / 10

Sur un compact, une application continue est

linéaire

bornée

lipschitizienne

uniformément continue

4 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Faux

Vrai

vrai si K=C, faux si K=R

5 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Faux

Vrai

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

6 / 10

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

A est fermée

A est ouverte

A n'est pas fermée

A n'est pas ouverte

7 / 10

GL(n,R) est

compact

fermé

connexe par arcs

ouvert

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

8 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

9 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Vrai

Faux

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

10 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Faux

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

235

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n)! = n+1

Gamma(n+1) = n!

Gamma(n) = n!

2 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

3 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

4 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur aucun de ces intervalles

sur R

sur R+

sur R-

5 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^(x-1) e^(-t) dt

t^x e^(-t-1) dt

t^(x+1) e^(-t) dt

t^x e^(-t) dt

6 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

absolument convergente

convergente

divergente

semi-convergente

7 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Vrai

Faux

1 n'est pas intégrable sur R+

8 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

9 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Faux

Vrai

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

10 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Faux

Vrai

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

188

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

XY admet une espérance inconnue

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois géométriques

les lois de Poisson

les lois uniformes

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

P(np)

B(n,p)

G(p)

B(p)

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi géométrique

une loi de Bernoulli

une loi de Poisson

une loi binomiale

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{1,..., n}

{0, ..., n}

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)

V(X)+E[X]²

E[X]²

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

X n'admet ni espérance ni variance finie

X admet une espérance finie mais une variance infinie

X admet une espérance et une variance finies

X admet une variance finie mais une espérance infinie

Votre score est

Le score moyen est 63%

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Algèbre

118

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

de degré 1

nulle

de degré 2

constante non nulle

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

2 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Faux

Vrai

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Vrai

Faux

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

Vrai

Faux

X²-2 est irréductible dans Q[X] mais se factorise dans R[X]

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

E non nul 0, a = -4, b = 5

E =0, a = 4, b = -5

E =0, a = -4, b = 5

E =0, a = 4, b = 5

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Faux

Vrai

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Vrai

Faux

(X²+1)² n'a pas de racines réelles mais est réductible dans R[X].

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

6 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

Votre score est

Le score moyen est 46%

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306

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Faux

Vrai

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

A est diagonalisable dans M(n,C)

A est diagonalisable dans M(n,R)

A est trigonalisable dans M(n,R)

A est trigonalisable dans M(n,C)

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Faux

Vrai

Le polynôme caractéristique doit être scindé, mais pas nécessairement à racines simples. C'est néanmoins une condition suffisante de diagonalisabilité.

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est inversible

A est nilpotente

A est diagonalisable

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Faux

Vrai

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

A n'est pas inversible

-1 est valeur propre

1 est valeur propre

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A n'est pas diagonalisable

A est diagonalisable

A est inversible

A n'est pas inversible

Si A est une matrice, P est une matrice inversible, Q = P^(-1) et D = QAP. Alors D^n =

Q^n A^n P^n

Q A^n P

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

A est diagonalisable

A est nulle

A est nilpotente

A est inversible

Votre score est

Le score moyen est 73%

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185

Algèbre générale

1 / 10

L'indicatrice d'Euler de 1400 vaut

240

480

1399

2 / 10

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

3 / 10

Le groupe U(Z/5Z) des inversibles de Z/5Z contient...

5 éléments

aucun élément

4 éléments

1 élément

Comme 5 est premier, Z/5Z est un corps et donc tous ses éléments non nuls sont inversibles. U(Z/5Z) contient donc 4 éléments, et est en fait isomorphe à (Z/4Z,+).

4 / 10

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

trois éléments inversibles

un élément inversible

deux éléments inversibles

5 éléments inversibles

5 / 10

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

on ne peut pas savoir

au moins d

au plus d

6 / 10

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Z/3Z x Z/5Z

Z/6Z

Z/7Z

7 / 10

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

Vrai

Faux

Z/9Z est cyclique donc contient un élément d'ordre 9 alors que tous les éléments de (Z/3Z)^2 sont d'ordre 1 ou 3.

8 / 10

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

9 / 10

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Vrai

Faux

PGCD(33,121) = 11 donc 33 n'est pas inversible dans Z/121Z.

10 / 10

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

inversion

Déterminant

Transposition

Trace

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

202

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

La série de terme général cos(x)^n

ne converge pas sur ]0,pi[

converge simplement sur ]0,pi[

converge simplement sur R

converge normalement sur ]0,pi[

Sur ]0,\pi[, la borne sup de |cos(x)^n| est 1, donc il n'y a pas convergence normale. Néanmoins, |cos(x)|<1 donc il y a convergence simple (série géométrique).

Sur R, il n'y a pas convergence simple car le terme général ne tend pas simplement vers 0.

2 / 10

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

f est continue sur I

f peut présenter une infinité de points de discontinuité

f est continue sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points

La continuité est une propriété locale, et chaque point de I admet un voisinage compact, donc la CU sur tout segment suffit à assurer la continuité en tout point de I.

3 / 10

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

R_a est inférrieur ou égal à R_b

R_a est supérieur ou égal à R_b

R_a est strictement supérieur à R_b

R_a est strictement inférieur à R_b

4 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

son terme général converge uniformément

elle converge normalement

son terme général converge uniformément vers 0

5 / 10

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Vrai

Faux

Il faut ajouter une hypothèse de convergence uniforme.

6 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

on ne peut pas savoir

+ l'infini

7 / 10

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

sum (n+1)a_n x^(n+1)

sum a_n*x^(n+1)/(n+1)

sum n*a_n*x^(n-1)

sum a_n*(x^n)/n

8 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

diverger grossièrement

converger absolument

converger

diverger

9 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f est dérivable sur I

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

10 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...simplement vers une primitive de f

...pas forcément

...carrément !

...uniformément vers une primitive de f

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

Votre score est

Le score moyen est 46%

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414

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

U_n = o(V_n)

R_n = o(T_n)

T_n = o(R_n)

V_n = o(U_n)

2 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Vrai

Faux

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

3 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

semi-convergente

absolument convergente

grossièrement divergente

divergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

4 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

divergente

grossièrement divergente

semi-convergente

convergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

5 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la convergence de V_n implique celle de U_n

la convergence de U_n implique celle de V_n

la divergence de U_n implique celle de V_n

la divergence de V_n implique celle de U_n

6 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

la série de terme général u_n converge

on ne peut pas conclure

la série de terme général u_n diverge

Appliquer le critère de d'Alembert

7 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Vrai

Faux

Le terme général est équivalent à 1/n^2. On conclut par comparaison.

8 / 10

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Faux

Vrai

la décroissance n'est pas stable par équivalence

9 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

semi-convergente

divergente

grossièrement divergente

absolument convergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

10 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

les sommes des séries correspondantes sont égales

les séries sum u_n et sum v_n sont de même nature

les suites des sommes partielles sont équivalentes

les suites des restes partielles sont équivalentes

Votre score est

Le score moyen est 33%

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