MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

150

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

df(I_n)(H) = nH

Faux

Vrai

2 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

f est continue

df=0

df=f

f est différentiable

3 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il faut qu'elle soit continue en a

il suffit qu'elle soit continue en a

4 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

tout extremum local est global

f admet un extremum global

f peut admettre un extremum en un point non critique

f admet un extremum local en tout point critique

5 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un minimum local en a

un point col en a

un maximum local en a

6 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Vrai

Faux

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

7 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Vrai

Faux

8 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Vrai

Faux

9 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un point critique

un maximum local

un minimum local

un point col

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

10 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

C^2 en (0,0)

Rien de tout cela

continue en (0,0)

différentiable en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

Votre score est

Le score moyen est 46%

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Espaces vectoriels normés

326

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

connexe par arcs

compact

ouvert

fermé

2 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Faux

Vrai

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

3 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

4 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Faux

Vrai

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

5 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

vrai si K=C, faux si K=R

Faux

Vrai

6 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Faux

Vrai

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

7 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Vrai

Faux

Vrai si K=C, Faux si K=R

8 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

supérieure ou égale à 2

inférieure ou égale à 2

pas nécessairement définie

égale à 2

9 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai dans un compact

Faux

Vrai

10 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

compact

connexe par arcs

fermé

ouvert

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

212

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

2 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

3 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R-

sur R

sur aucun de ces intervalles

sur R+

4 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

sur aucun de ces intervalles

R+

[1,+infini[

]0,1]

5 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^x e^(-t-1) dt

t^x e^(-t) dt

t^(x+1) e^(-t) dt

t^(x-1) e^(-t) dt

6 / 10

La fonction Gamma est

définie sur R*+

de classe C infini sur R*+

continue sur R*+

strictement convexe sur R*+

strictement croissante sur R*+

de limite infinie en l'infini

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

7 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Faux

Vrai

1 n'est pas intégrable sur R+

8 / 10

La fonction ln est intégrable sur

[1,+infini[

sur aucun de ces intervalles

]0,1]

9 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

10 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

semi-convergente

convergente

absolument convergente

divergente

Votre score est

Le score moyen est 56%

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Probabilités

166

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-3)/2

(X-9)/4

(X-9)/2

(X-3)/4

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois géométriques

les lois uniformes

les lois de Poisson

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

suit une loi de Poisson de paramètre 2

suit une loi de Poisson de paramètre 1

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

B(p)

P(np)

G(p)

B(n,p)

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

4 fois

3 fois

1 fois

2 fois

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{1,..., n}

{0, ..., n}

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi géométrique

une loi binomiale

une loi de Bernoulli

une loi de Poisson

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

2,5

3,5

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Votre score est

Le score moyen est 63%

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Algèbre

108

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

on ne peut pas déterminer a, b et c

on a une contradiction

a=b=c=0

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

2 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Faux

Vrai

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

4 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Vrai

Faux

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

de degré 1

de degré 2

constante non nulle

nulle

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

E non nul 0, a = -4, b = 5

E =0, a = -4, b = 5

E =0, a = 4, b = 5

E =0, a = 4, b = -5

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

R[X]

C[X]

Q[X]

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

Vrai

Faux

X²-2 est irréductible dans Q[X] mais se factorise dans R[X]

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

(X²+1) divise P

(X-j) divise P

(X-j²) divise P

(X²+X+1) divise P

Votre score est

Le score moyen est 46%

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277

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Faux

Vrai

Toute matrice de M(n,R) est

diagonalisable dans M(n,C)

trigonalisable dans M(n,C)

diagonalisable dans M(n,R)

trigonalisable dans M(n,R)

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

vrai si K=R, faux si K=C

faux si K=R ou C

vrai si K=C, faux si K=R

vrai si K=R ou C

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

nA+I

A+I

A^n + I

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est diagonalisable

A est nilpotente

A est inversible

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Vrai

Faux

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Vrai

Faux

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A est inversible

A n'est pas diagonalisable

A est diagonalisable

A n'est pas inversible

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

A n'est pas inversible

1 est valeur propre

-1 est valeur propre

Votre score est

Le score moyen est 73%

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172

Algèbre générale

1 / 10

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Faux

Vrai

PGCD(33,121) = 11 donc 33 n'est pas inversible dans Z/121Z.

2 / 10

L'ensemble des matrices de déterminant nul est un groupe pour le produit matriciel.

Faux

Vrai

Les matrices de déterminant nul ne sont pas inversibles pour le produit matriciel. Elles ne peuvent donc pas former un groupe pour cette opération.

3 / 10

Z/6Z est isomorphe à...

(Z/5Z)

Z*6Z

(Z/2Z)*(Z/3Z)

(Z/2Z)*(Z/4Z)

C'est une conséquence du théorème des restes chinois

4 / 10

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

on ne peut pas savoir

au moins d

au plus d

5 / 10

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

Z/3Z x Z/20Z

Z/12Z x Z/5Z

Z/2Z x Z/30Z

Z/10Z x Z/6Z

6 / 10

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

K(X)

K_n[X]

K[X]

GL(n,K)

7 / 10

L'indicatrice d'Euler de 1400 vaut

240

480

1399

8 / 10

Combien vaut l'indicatrice d'Euler de 57 ?

9 / 10

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

(Z/2Z,+)

(Z/4Z,+)

(Z,+)

(Z/3Z,+)

Il y a exactement deux éléments inversibles dans l'anneau Z/4Z donc U(Z/4Z) est d'ordre 2, et donc isomorphe à Z/2Z.

10 / 10

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

190

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Faux

Vrai

Il faut ajouter une hypothèse de convergence uniforme.

2 / 10

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

ne converge d'aucune façon sur R

converge normalement sur R

converge uniformément sur R

converge simplement sur R

Pour tout x réel, on a |sin(2*n*x)/n| <= 1/n. Il y a ainsi CU, et donc CS sur R.

3 / 10

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

R_1 est strictement plus grand que R_2

on ne peut pas conclure

R_1 est strictement plus petit que R_2

R_1 = R_2

4 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

f est dérivable sur I

5 / 10

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

R_a est inférrieur ou égal à R_b

R_a est strictement supérieur à R_b

R_a est strictement inférieur à R_b

R_a est supérieur ou égal à R_b

6 / 10

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

R=R'

ça dépend des cas

R est inférieur ou égal à R'

R est supérieur ou égal à R'

7 / 10

La série de terme général cos(x)^n

converge simplement sur R

converge normalement sur ]0,pi[

ne converge pas sur ]0,pi[

converge simplement sur ]0,pi[

Sur ]0,\pi[, la borne sup de |cos(x)^n| est 1, donc il n'y a pas convergence normale. Néanmoins, |cos(x)|<1 donc il y a convergence simple (série géométrique).

Sur R, il n'y a pas convergence simple car le terme général ne tend pas simplement vers 0.

8 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

converger absolument

diverger grossièrement

diverger

converger

9 / 10

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Vrai

Faux

Il faut que I soit un segment pour pouvoir l'affirmer (théorème de Weierstrass).

10 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

converge si |z|=R

diverge grossièrement si |z| est strictement supérieur à R

converge absolument si |z| est strictement inférieur à R

diverge si |z|=R

Votre score est

Le score moyen est 46%

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376

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

La série de terme général ln(1+1/n) est

divergente

semi-convergente

absolument convergente

grossièrement divergente

Son terme général est positif et équivalent à 1/n. On conclut par comparaison.

2 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

R_n = o(T_n)

U_n = o(V_n)

T_n = o(R_n)

V_n = o(U_n)

3 / 10

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Vrai

Faux

la décroissance n'est pas stable par équivalence

4 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

la série de terme général u_n converge

la série de terme général u_n diverge

on ne peut pas conclure

Appliquer le critère de d'Alembert

5 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

diverge

converge, et sa somme vaut (1-x^n)/(1-x)

converge, et sa somme vaut (1-x^(n+1))/(1-x)

converge, et sa somme vaut 1/(1-x)

6 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Faux

Vrai

Le terme général est équivalent à 1/n^2. On conclut par comparaison.

7 / 10

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Vrai, si on ajoute l'hypothèse de convergence absolue.

Vrai

Faux

C'est déjà faux pour les sommes finies. Ce n'est pas la série \sum u_n*v_n qu'il faut considérer mais le produit de Cauchy des séries. Et il faut dans ce cas ajouter une hypothèse de convergence absolue.

8 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Vrai

Faux

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

9 / 10

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Elle converge vers 1

Elle diverge grossièrement

on ne peut pas conclure

Elle converge vers u_0-1

10 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

semi-convergente

absolument convergente

grossièrement divergente

divergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

Votre score est

Le score moyen est 34%

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