MP : Quiz d’apprentissage

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

Si f est différentiable, le gradient de f est

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Si f est différentiable sur un compact...

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Un compact est un fermé borné

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Dans C, le cercle trigonométrique est

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

La fonction Gamma est

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Si A est une matrice triangulaire, alors

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

Le PGCD de 3080 et 364 est

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Si A et B sont des anneaux et que f est un morphisme d'anneaux de A vers B, alors...

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

Le groupe symétrique S_3 est isomorphe à un sous-groupe de S_n dès que n est supérieur ou égal à 3.

Combien vaut l'indicatrice d'Euler de 57 ?

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

La série de terme général ln(1+1/n) est

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

Pour que la série de terme général u_n converge...

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

La série de terme général sin(2/n²) est

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.