MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

143

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

f est continue

df=0

f est différentiable

df=f

2 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Rien de tout cela

différentiable en (0,0)

continue en (0,0)

C^2 en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

3 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Vrai

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

Faux

df(I_n)(H) = nH

4 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Vrai

Faux

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

5 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un point col en a

un maximum local en a

un minimum local en a

6 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il suffit qu'elle soit continue en a

il faut qu'elle soit continue en a

7 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Vrai

Faux

8 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

tout extremum local est global

f peut admettre un extremum en un point non critique

f admet un extremum global

f admet un extremum local en tout point critique

9 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Vrai

Faux

10 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 45%

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Espaces vectoriels normés

318

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Vrai

Faux

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

2 / 10

GL(n,R) est

compact

ouvert

fermé

connexe par arcs

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

3 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Faux

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

4 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Vrai

Faux

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

5 / 10

Un compact est un fermé borné

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Vrai

6 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

compact

fermé

ouvert

connexe par arcs

7 / 10

Sur un compact, une application continue est

uniformément continue

linéaire

bornée

lipschitizienne

8 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

vrai si K=C, faux si K=R

Faux

Vrai

9 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai dans un compact

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

10 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Vrai

Faux

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

205

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Vrai

Faux

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

2 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

3 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^(x+1) e^(-t) dt

t^(x-1) e^(-t) dt

t^x e^(-t-1) dt

t^x e^(-t) dt

4 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

semi-convergente

convergente

divergente

absolument convergente

5 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

6 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

7 / 10

La fonction Gamma est

de classe C infini sur R*+

définie sur R*+

strictement croissante sur R*+

continue sur R*+

strictement convexe sur R*+

de limite infinie en l'infini

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

8 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur aucun de ces intervalles

sur R

sur R-

sur R+

9 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

R+

sur aucun de ces intervalles

]0,1]

[1,+infini[

10 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Faux

Vrai

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

159

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Faux

Vrai

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

X admet une espérance et une variance finies

X n'admet ni espérance ni variance finie

X admet une variance finie mais une espérance infinie

X admet une espérance finie mais une variance infinie

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-3)/4

(X-3)/2

(X-9)/2

(X-9)/4

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{1,..., n}

{0, ..., n}

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

B(p)

B(n,p)

P(np)

G(p)

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

suit une loi de Poisson de paramètre 1

suit une loi de Poisson de paramètre 2

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

1 fois

4 fois

2 fois

3 fois

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

104

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

La fonction cos est polynomiale

Vrai

Faux

On ne peut pas savoir

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

E =0, a = 4, b = -5

E =0, a = -4, b = 5

E =0, a = 4, b = 5

E non nul 0, a = -4, b = 5

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

constante non nulle

nulle

de degré 1

de degré 2

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

4X-2

4X+2

-4X+2

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

on ne peut pas déterminer a, b et c

on a une contradiction

a=b=c=0

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Faux

Vrai

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

Q[X]

C[X]

R[X]

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

(X²+1) divise P

(X-j²) divise P

(X²+X+1) divise P

(X-j) divise P

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Vrai

Faux

L'intersection de I et de J est un idéal M de K[X]. Comme tous les idéaux de K[X] sont principaux, il existe un unique polynôme unitaire P qui engendre M, et donc qui divise tous les éléments communs à I et J.

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

4 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

Votre score est

Le score moyen est 45%

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271

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Vrai

Faux

f étant diagonalisable, il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Ce polynôme annule également la restriction, qui est donc diagonalisable.

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Vrai

Faux

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Vrai

On ne peut pas savoir

Si A est une matrice triangulaire, alors

A est diagonalisable

A est inversible

ses valeurs propres sont sur la diagonale

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Faux

Vrai

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

A+I

nA+I

A^n + I

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

A est inversible

A est nulle

A est diagonalisable

A est nilpotente

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

1 est valeur propre

A n'est pas inversible

-1 est valeur propre

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

2 est valeur propre de A

X est valeur propre de A

A est diagonalisable

Votre score est

Le score moyen est 72%

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169

Algèbre générale

1 / 10

Z/6Z est isomorphe à...

(Z/2Z)*(Z/3Z)

Z*6Z

(Z/2Z)*(Z/4Z)

(Z/5Z)

C'est une conséquence du théorème des restes chinois

2 / 10

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Transposition

Trace

Déterminant

inversion

3 / 10

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

K[X]

K_n[X]

K(X)

GL(n,K)

4 / 10

Le groupe U(Z/5Z) des inversibles de Z/5Z contient...

aucun élément

5 éléments

4 éléments

1 élément

Comme 5 est premier, Z/5Z est un corps et donc tous ses éléments non nuls sont inversibles. U(Z/5Z) contient donc 4 éléments, et est en fait isomorphe à (Z/4Z,+).

5 / 10

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Z/6Z

Z/7Z

Z/3Z x Z/5Z

6 / 10

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

7 / 10

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

au plus d

au moins d

on ne peut pas savoir

8 / 10

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

5 éléments inversibles

un élément inversible

deux éléments inversibles

trois éléments inversibles

9 / 10

L'ensemble des matrices de déterminant nul est un groupe pour le produit matriciel.

Vrai

Faux

Les matrices de déterminant nul ne sont pas inversibles pour le produit matriciel. Elles ne peuvent donc pas former un groupe pour cette opération.

10 / 10

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

185

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

R est inférieur ou égal à R'

R=R'

ça dépend des cas

R est supérieur ou égal à R'

2 / 10

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

ne converge d'aucune façon sur R

converge simplement sur R

converge uniformément sur R

converge normalement sur R

Pour tout x réel, on a |sin(2*n*x)/n| <= 1/n. Il y a ainsi CU, et donc CS sur R.

3 / 10

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

f peut présenter une infinité de points de discontinuité

f est continue sur I

f est continue sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points

La continuité est une propriété locale, et chaque point de I admet un voisinage compact, donc la CU sur tout segment suffit à assurer la continuité en tout point de I.

4 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

diverge grossièrement si |z| est strictement supérieur à R

converge absolument si |z| est strictement inférieur à R

diverge si |z|=R

converge si |z|=R

5 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

f est dérivable sur I

6 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

elle converge uniformément sur ]-R,R[

elle converge normalement sur ]-R,R[

elle converge normalement sur tout segment de ]-R,R[

elle converge normalement sur [-R,R]

7 / 10

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Vrai

Faux

Il faut ajouter une hypothèse de convergence uniforme.

8 / 10

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

R_a est supérieur ou égal à R_b

R_a est inférrieur ou égal à R_b

R_a est strictement supérieur à R_b

R_a est strictement inférieur à R_b

9 / 10

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

sum a_n*(x^n)/n

sum a_n*x^(n+1)/(n+1)

sum n*a_n*x^(n-1)

sum (n+1)a_n x^(n+1)

10 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

faut

faut et il suffit

se peut

suffit

Votre score est

Le score moyen est 46%

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368

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Vrai

on ne peut pas conclure

Faux

Si les séries convergent absolument, elles convergent donc (u_n) tend vers 0. A partir d'un certain rang, on a donc |u_n|<1 et |u_nv_n| < |v_n|. On conclut par comparaison.

2 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut ln(2)

converge, et sa somme vaut 1/e

converge, et sa somme vaut e

diverge

3 / 10

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Faux

Vrai

la décroissance n'est pas stable par équivalence

4 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0

il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

5 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la divergence de V_n implique celle de U_n

la divergence de U_n implique celle de V_n

la convergence de V_n implique celle de U_n

la convergence de U_n implique celle de V_n

6 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Faux

Vrai

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

7 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut (1-x^(n+1))/(1-x)

diverge

converge, et sa somme vaut (1-x^n)/(1-x)

converge, et sa somme vaut 1/(1-x)

8 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

absolument convergente

divergente

grossièrement divergente

semi-convergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

9 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

R_n = o(T_n)

V_n = o(U_n)

U_n = o(V_n)

T_n = o(R_n)

10 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Vrai

Faux

Le terme général est équivalent à 1/n^2. On conclut par comparaison.

Votre score est

Le score moyen est 34%

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