MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

166

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

2 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Vrai

Faux

df(I_n)(H) = nH

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

3 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

df=f

f est différentiable

df=0

f est continue

4 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f admet un extremum local en tout point critique

f peut admettre un extremum en un point non critique

f admet un extremum global

tout extremum local est global

5 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Vrai

Faux

6 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Faux

Vrai

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

7 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un minimum local en a

un point col en a

un maximum local en a

8 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

orthogonal aux lignes de niveau

colinéaire aux lignes de niveau

9 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un maximum local

un minimum local

un point critique

un point col

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

10 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il faut qu'elle soit continue en a

il suffit qu'elle soit continue en a

Votre score est

Le score moyen est 45%

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Espaces vectoriels normés

335

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Faux

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

2 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai

Vrai dans un compact

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

3 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Faux

Vrai

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

4 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

pas nécessairement définie

inférieure ou égale à 2

supérieure ou égale à 2

égale à 2

5 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Faux

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

6 / 10

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

A est ouverte

A n'est pas fermée

A n'est pas ouverte

A est fermée

7 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

compact

ouvert

connexe par arcs

fermé

8 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Vrai

Faux

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

9 / 10

GL(n,R) est

connexe par arcs

fermé

compact

ouvert

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

10 / 10

Sur un compact, une application continue est

bornée

lipschitizienne

linéaire

uniformément continue

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

223

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

La fonction ln est intégrable sur

]0,1]

[1,+infini[

sur aucun de ces intervalles

2 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

]0,1]

[1,+infini[

sur aucun de ces intervalles

R+

3 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

4 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Faux

Vrai

1 n'est pas intégrable sur R+

5 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

semi-convergente

divergente

convergente

absolument convergente

6 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^x e^(-t-1) dt

t^(x-1) e^(-t) dt

t^x e^(-t) dt

t^(x+1) e^(-t) dt

7 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R+

sur R-

sur R

sur aucun de ces intervalles

8 / 10

La fonction Gamma est

strictement convexe sur R*+

de limite infinie en l'infini

de classe C infini sur R*+

strictement croissante sur R*+

continue sur R*+

définie sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

9 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

10 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Vrai

Faux

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

178

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

2,5

3,5

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

XY admet une espérance inconnue

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-9)/2

(X-9)/4

(X-3)/4

(X-3)/2

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

X n'admet ni espérance ni variance finie

X admet une variance finie mais une espérance infinie

X admet une espérance et une variance finies

X admet une espérance finie mais une variance infinie

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

2 fois

4 fois

3 fois

1 fois

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi de Bernoulli

une loi de Poisson

une loi binomiale

une loi géométrique

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

B(p)

B(n,p)

P(np)

G(p)

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Faux

Vrai

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

112

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

(X-j) divise P

(X²+1) divise P

(X-j²) divise P

(X²+X+1) divise P

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

M(n,K)

L(E,F)

K_n[X]

K[X]

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Vrai

Faux

L'intersection de I et de J est un idéal M de K[X]. Comme tous les idéaux de K[X] sont principaux, il existe un unique polynôme unitaire P qui engendre M, et donc qui divise tous les éléments communs à I et J.

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

6 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

Faux

Vrai

X²-2 est irréductible dans Q[X] mais se factorise dans R[X]

La fonction cos est polynomiale

On ne peut pas savoir

Faux

Vrai

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Faux

Vrai

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

4X+2

-4X+2

4X-2

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

P n'est pas scindé

on ne peut pas conclure

P est scindé à racines simples

P est scindé mais pas à racines simples

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 47%

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297

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

Vrai

Faux

f étant trigonalisable, son polynôme caractéristique est scindé. Le polynôme caractéristique de la restriction divisant celui de f, il est aussi scindé, et donc cette restriction est trigonalisable.

Si A est une matrice triangulaire, alors

A est inversible

ses valeurs propres sont sur la diagonale

A est diagonalisable

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

On ne peut pas conclure

Faux

Vrai

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Vrai

Faux

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

A est diagonalisable dans M(n,R)

A est trigonalisable dans M(n,R)

A est diagonalisable dans M(n,C)

A est trigonalisable dans M(n,C)

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

A est inversible

A est diagonalisable

A est nulle

A est nilpotente

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

On ne peut pas savoir

Vrai

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Faux

Vrai

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A n'est pas diagonalisable

A est diagonalisable

A est inversible

A n'est pas inversible

Votre score est

Le score moyen est 72%

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180

Algèbre générale

1 / 10

L'indicatrice d'Euler de 1400 vaut

1399

480

240

2 / 10

Combien 4900 admet-il de diviseurs positifs ?

3 / 10

Dans un anneau commutatif, tout idéal est un sous-anneau.

Vrai

Faux

Un sous-anneau contient l'unité. Et le seul idéal qui contient l'unité est l'anneau lui-même.

4 / 10

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

deux éléments inversibles

un élément inversible

5 éléments inversibles

trois éléments inversibles

5 / 10

Soit p un nombre premier et G un groupe fini d'ordre p. Alors G est abélien

Faux

Vrai

Un groupe d'ordre p premier est nécessairement cyclique ; il est en particulier abélien.

6 / 10

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Z/3Z x Z/5Z

Z/7Z

Z/6Z

7 / 10

(Z/4Z,+) contient

3 sous-groupes

2 sous-groupes

4 sous-groupes

1 sous-groupe

Il y a exactement trois sous-groupes:
{0}, Z/4Z et {0,2} (qui est isomorphe à Z/2Z)

8 / 10

(Z/6Z,+,*) est...

un corps

un idéal

un anneau intègre mais pas un corps

un anneau non intègre

9 / 10

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

au plus d

au moins d

on ne peut pas savoir

10 / 10

Z/6Z est isomorphe à...

Z*6Z

(Z/2Z)*(Z/3Z)

(Z/2Z)*(Z/4Z)

(Z/5Z)

C'est une conséquence du théorème des restes chinois

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

196

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

faut et il suffit

se peut

faut

suffit

2 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

+ l'infini

on ne peut pas savoir

3 / 10

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

R_a est strictement supérieur à R_b

R_a est strictement inférieur à R_b

R_a est supérieur ou égal à R_b

R_a est inférrieur ou égal à R_b

4 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

elle converge normalement

son terme général converge uniformément vers 0

son terme général converge uniformément

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

5 / 10

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

ne converge d'aucune façon sur R

converge simplement sur R

converge normalement sur R

converge uniformément sur R

Pour tout x réel, on a |sin(2*n*x)/n| <= 1/n. Il y a ainsi CU, et donc CS sur R.

6 / 10

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Vrai

Faux

Il faut ajouter une hypothèse de convergence uniforme.

7 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

f présente au plus un nombre fini de points de discontinuité

f est dérivable sur I

on ne peut pas conclure

f est continue sur I

8 / 10

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

f peut présenter une infinité de points de discontinuité

f est continue sur I

f est continue sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points

La continuité est une propriété locale, et chaque point de I admet un voisinage compact, donc la CU sur tout segment suffit à assurer la continuité en tout point de I.

9 / 10

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

on ne peut rien dire

elle converge simplement sur I

elle converge uniformément sur I

10 / 10

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

il faut que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge simplement vers 0

il faut et il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

Votre score est

Le score moyen est 46%

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403

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

la série de terme général u_n converge

on ne peut pas conclure

la série de terme général u_n diverge

Appliquer le critère de d'Alembert

2 / 10

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Elle diverge grossièrement

Elle converge vers 1

Elle converge vers u_0-1

on ne peut pas conclure

3 / 10

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Vrai

Faux

la décroissance n'est pas stable par équivalence

4 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut e

diverge

converge, et sa somme vaut 1/e

converge, et sa somme vaut ln(2)

5 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

il suffit que le terme général tende vers 0

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0

6 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la divergence de U_n implique celle de V_n

la convergence de U_n implique celle de V_n

la divergence de V_n implique celle de U_n

la convergence de V_n implique celle de U_n

7 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

grossièrement divergente

absolument convergente

semi-convergente

divergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

8 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut (1-x^(n+1))/(1-x)

converge, et sa somme vaut (1-x^n)/(1-x)

converge, et sa somme vaut 1/(1-x)

diverge

9 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

divergente

semi-convergente

grossièrement divergente

convergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

10 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

U_n = o(V_n)

T_n = o(R_n)

V_n = o(U_n)

R_n = o(T_n)

Votre score est

Le score moyen est 33%

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