MP : Quiz d’apprentissage

Si f est différentiable, le gradient de f est

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Si f est différentiable sur un compact...

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Dans R, [2,+infini[ est

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Dans C, le cercle trigonométrique est

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

GL(n,R) est

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

La fonction ln est intégrable sur

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

Si A est une matrice triangulaire, alors

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

Si A et B sont des anneaux et que f est un morphisme d'anneaux de A vers B, alors...

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

L'indicatrice d'Euler de 1400 vaut

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

Soit p un nombre premier et G un groupe fini d'ordre p. Alors G est abélien

Quels éléments sont inversibles dans l'anneau Z/165Z ?

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

La série de terme général sin(2/n²) est

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.