MP : Quiz d’apprentissage

Si f est différentiable sur un compact...

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Si f est différentiable, le gradient de f est

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Sur un compact, une application continue est

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Un compact est un fermé borné

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Dans R, [2,+infini[ est

Dans C, le cercle trigonométrique est

GL(n,R) est

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

La fonction ln est intégrable sur

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

La fonction Gamma est

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

L'ensemble des matrices de déterminant nul est un groupe pour le produit matriciel.

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

Quels éléments sont inversibles dans l'anneau Z/165Z ?

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

(Z/6Z,+,*) est...

Soit p un nombre premier et G un groupe fini d'ordre p. Alors G est abélien

Combien 4900 admet-il de diviseurs positifs ?

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

La série de terme général ln(1+1/n) est

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

Pour que la série de terme général u_n converge...

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

La série de terme général sin(2/n²) est

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est