MP : Quiz d’apprentissage

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

Si f est différentiable, le gradient de f est

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Dans R, [2,+infini[ est

Sur un compact, une application continue est

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Dans C, le cercle trigonométrique est

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

La fonction ln est intégrable sur

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

La fonction cos est polynomiale

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Dans un anneau commutatif, tout idéal est un sous-anneau.

(Z/4Z,+) contient

Soit p un nombre premier et G un groupe fini d'ordre p. Alors G est abélien

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

(Z/6Z,+,*) est...

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

La série de terme général ln(1+1/n) est

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

La série de terme général sin(2/n²) est

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

Pour que la série de terme général u_n converge...