MP : Quiz d’apprentissage

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

Si f est différentiable sur un compact...

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Dans C, le cercle trigonométrique est

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

Dans R, [2,+infini[ est

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

La fonction ln est intégrable sur

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

La fonction Gamma est

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

La fonction cos est polynomiale

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Si A est une matrice, P est une matrice inversible, Q = P^(-1) et D = QAP. Alors D^n =

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

Si A est une matrice triangulaire, alors

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

Dans un anneau commutatif, tout idéal est un sous-anneau.

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

Le groupe symétrique S_3 est isomorphe à un sous-groupe de S_n dès que n est supérieur ou égal à 3.

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

La série de terme général ln(1+1/n) est

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est