MP : Quiz d’apprentissage

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Si f est différentiable, le gradient de f est

Si f est différentiable sur un compact...

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

Sur un compact, une application continue est

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

GL(n,R) est

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Dans C, le cercle trigonométrique est

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Un compact est un fermé borné

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

La fonction Gamma est

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

(Z/4Z,+) contient

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Soit p un nombre premier et G un groupe fini d'ordre p. Alors G est abélien

Combien vaut l'indicatrice d'Euler de 57 ?

L'ensemble des matrices de déterminant nul est un groupe pour le produit matriciel.

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

Le groupe U(Z/5Z) des inversibles de Z/5Z contient...

Quels éléments sont inversibles dans l'anneau Z/165Z ?

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

La série de terme général cos(x)^n

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

La série de terme général ln(n)/n est

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

Pour que la série de terme général u_n converge...

La série de terme général ln(1+1/n) est

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.