MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

140

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un minimum local en a

un maximum local en a

un point col en a

2 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

C^2 en (0,0)

Rien de tout cela

différentiable en (0,0)

continue en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

3 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

4 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Faux

Vrai

5 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Vrai

Faux

6 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Faux

Vrai

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

7 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f admet un extremum local en tout point critique

tout extremum local est global

f peut admettre un extremum en un point non critique

f admet un extremum global

8 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un point col

un minimum local

un point critique

un maximum local

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

9 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

df(I_n)(H) = nH

Vrai

Faux

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

10 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

colinéaire aux lignes de niveau

orthogonal aux lignes de niveau

Votre score est

Le score moyen est 46%

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Espaces vectoriels normés

312

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

compact

connexe par arcs

ouvert

fermé

2 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Faux

Vrai

vrai si K=C, faux si K=R

3 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Faux

Vrai

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

4 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai dans un compact

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Faux

5 / 10

GL(n,R) est

connexe par arcs

fermé

compact

ouvert

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

6 / 10

Sur un compact, une application continue est

bornée

uniformément continue

lipschitizienne

linéaire

7 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Faux

Vrai

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

8 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

inférieure ou égale à 2

pas nécessairement définie

supérieure ou égale à 2

égale à 2

9 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Faux

Vrai

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

10 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

203

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

sur aucun de ces intervalles

[1,+infini[

R+

]0,1]

2 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n+1) = n!

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n) = n!

Gamma(n)! = n+1

3 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R-

sur R

sur R+

sur aucun de ces intervalles

4 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Faux

Vrai

1 n'est pas intégrable sur R+

5 / 10

La fonction ln est intégrable sur

sur aucun de ces intervalles

[1,+infini[

]0,1]

6 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

7 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^(x+1) e^(-t) dt

t^(x-1) e^(-t) dt

t^x e^(-t) dt

t^x e^(-t-1) dt

8 / 10

La fonction Gamma est

strictement convexe sur R*+

de classe C infini sur R*+

définie sur R*+

continue sur R*+

strictement croissante sur R*+

de limite infinie en l'infini

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

9 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

convergente

divergente

semi-convergente

absolument convergente

10 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

151

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

B(p)

P(np)

B(n,p)

G(p)

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi de Poisson

une loi géométrique

une loi de Bernoulli

une loi binomiale

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Vrai

Faux

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

2,5

3,5

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{1,..., n}

{0, ..., n}

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

suit une loi de Poisson de paramètre 1

suit une loi de Poisson de paramètre 2

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

E[X]²

V(X)

V(X)+E[X]²

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

103

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Vrai

Faux

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Faux

Vrai

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Faux

Vrai

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

3 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

on ne peut pas déterminer a, b et c

on a une contradiction

a=b=c=0

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Vrai

Faux

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

R[X]

C[X]

Q[X]

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

Vrai

Faux

X²-2 est irréductible dans Q[X] mais se factorise dans R[X]

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

P est scindé à racines simples

P n'est pas scindé

P est scindé mais pas à racines simples

on ne peut pas conclure

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Faux

Vrai

Votre score est

Le score moyen est 45%

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266

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

nA+I

A^n + I

A+I

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Faux

Vrai

On ne peut pas conclure

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

inversible

diagonale

nulle

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est nilpotente

A est inversible

A est diagonalisable

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

A est nilpotente

A est diagonalisable

A est nulle

A est inversible

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Faux

Vrai

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

vrai si K=C, faux si K=R

vrai si K=R ou C

vrai si K=R, faux si K=C

faux si K=R ou C

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A n'est pas inversible

A est diagonalisable

A n'est pas diagonalisable

A est inversible

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Faux

Vrai

Votre score est

Le score moyen est 73%

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168

Algèbre générale

1 / 10

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Vrai

Faux

Si x est un générateur de G, alors le théorème de Lagrange assure que l'ordre de x divise l'ordre de G. Celui-ci étant p premier, l'ordre de x est 1 ou p. Et comme x n'est pas l'élément neutre, son ordre est p. Ainsi, G est engendré par x.

2 / 10

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

Il faut observer que 7 est d'ordre 4 dans Z/10Z donc 7**(2023) = 7**3 (mod 10) mais 7**2 = -1 (mod 10) donc 7**3 = -7 (mod 10) = 3 (mod 10).

3 / 10

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

n! éléments

n(n+1)/2 éléments

n éléments

n(n-1)/2 éléments

4 / 10

L'ensemble des matrices de déterminant nul est un groupe pour le produit matriciel.

Vrai

Faux

Les matrices de déterminant nul ne sont pas inversibles pour le produit matriciel. Elles ne peuvent donc pas former un groupe pour cette opération.

5 / 10

Z/6Z est isomorphe à...

(Z/2Z)*(Z/4Z)

(Z/5Z)

Z*6Z

(Z/2Z)*(Z/3Z)

C'est une conséquence du théorème des restes chinois

6 / 10

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

7 / 10

L'indicatrice d'Euler de 1400 vaut

240

480

1399

8 / 10

Le PGCD de 3080 et 364 est

9 / 10

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Z/7Z

Z/6Z

Z/3Z x Z/5Z

10 / 10

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Faux

Vrai

PGCD(33,121) = 11 donc 33 n'est pas inversible dans Z/121Z.

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

184

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

R = 0

R est strictement plus grand que 1

R est strictement plus petit que 1

R = 1

2 / 10

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

il faut et il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge simplement vers 0

il faut que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

3 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...simplement vers une primitive de f

...carrément !

...uniformément vers une primitive de f

...pas forcément

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

4 / 10

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

R_1 = R_2

R_1 est strictement plus grand que R_2

R_1 est strictement plus petit que R_2

on ne peut pas conclure

5 / 10

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

elle converge simplement sur I

on ne peut rien dire

elle converge uniformément sur I

6 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

son terme général converge uniformément vers 0

elle converge normalement

son terme général converge uniformément

7 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

elle converge normalement sur [-R,R]

elle converge normalement sur ]-R,R[

elle converge uniformément sur ]-R,R[

elle converge normalement sur tout segment de ]-R,R[

8 / 10

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Faux

Vrai

Il faut que I soit un segment pour pouvoir l'affirmer (théorème de Weierstrass).

9 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

faut et il suffit

faut

suffit

se peut

10 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

f est dérivable sur I

Votre score est

Le score moyen est 46%

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367

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

les suites des restes partielles sont équivalentes

les suites des sommes partielles sont équivalentes

les séries sum u_n et sum v_n sont de même nature

les sommes des séries correspondantes sont égales

2 / 10

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

on ne peut pas conclure

Elle converge vers u_0-1

Elle diverge grossièrement

Elle converge vers 1

3 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Faux

on ne peut pas conclure

Vrai

Si les séries convergent absolument, elles convergent donc (u_n) tend vers 0. A partir d'un certain rang, on a donc |u_n|<1 et |u_nv_n| < |v_n|. On conclut par comparaison.

4 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

grossièrement divergente

semi-convergente

divergente

convergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

5 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

divergente

grossièrement divergente

absolument convergente

semi-convergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

6 / 10

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

absolument convergente

grossièrement divergente

divergente

semi-convergente

La série converge d'après le critère des séries alternées, mais ne converge pas absolument d'après le critère de Riemann.

7 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il faut que le terme général tende vers 0

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

il suffit que le terme général tende vers 0

8 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut e

diverge

converge, et sa somme vaut ln(2)

converge, et sa somme vaut 1/e

9 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

divergente

absolument convergente

semi-convergente

grossièrement divergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

10 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la divergence de V_n implique celle de U_n

la divergence de U_n implique celle de V_n

la convergence de U_n implique celle de V_n

la convergence de V_n implique celle de U_n

Votre score est

Le score moyen est 34%

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