MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

160

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

f est continue

f est différentiable

df=0

df=f

2 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Vrai

Faux

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

3 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

4 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

colinéaire aux lignes de niveau

orthogonal aux lignes de niveau

5 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

tout extremum local est global

f admet un extremum global

f admet un extremum local en tout point critique

f peut admettre un extremum en un point non critique

6 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un point critique

un maximum local

un point col

un minimum local

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

7 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un point col en a

un maximum local en a

un minimum local en a

8 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Faux

Vrai

9 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Faux

Vrai

10 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Vrai

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

Faux

df(I_n)(H) = nH

Votre score est

Le score moyen est 46%

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Espaces vectoriels normés

334

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Sur un compact, une application continue est

bornée

linéaire

uniformément continue

lipschitizienne

2 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

vrai si K=C, faux si K=R

Faux

Vrai

3 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Vrai

Vrai dans un compact

4 / 10

GL(n,R) est

ouvert

connexe par arcs

fermé

compact

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

5 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Vrai

Faux

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

6 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

connexe par arcs

ouvert

compact

fermé

7 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Faux

Vrai

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

8 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

compact

fermé

connexe par arcs

ouvert

9 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Vrai si K=C, Faux si K=R

Vrai

Faux

10 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Faux

Vrai

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

222

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Faux

Vrai

1 n'est pas intégrable sur R+

2 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Faux

Vrai

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

3 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

absolument convergente

convergente

semi-convergente

divergente

4 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R+

sur aucun de ces intervalles

sur R-

sur R

5 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

6 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n)! = n+1

Gamma(n+1) = n!

Gamma(n) = n!

Gamma(n) = (n+1)!

7 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Vrai

Faux

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

8 / 10

La fonction Gamma est

strictement croissante sur R*+

de classe C infini sur R*+

strictement convexe sur R*+

continue sur R*+

définie sur R*+

de limite infinie en l'infini

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

9 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

10 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

Votre score est

Le score moyen est 56%

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Probabilités

177

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

suit une loi de Poisson de paramètre 2

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

suit une loi de Poisson de paramètre 1

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

X admet une espérance et une variance finies

X admet une espérance finie mais une variance infinie

X n'admet ni espérance ni variance finie

X admet une variance finie mais une espérance infinie

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

B(p)

P(np)

G(p)

B(n,p)

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-3)/2

(X-3)/4

(X-9)/4

(X-9)/2

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi binomiale

une loi de Bernoulli

une loi de Poisson

une loi géométrique

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY admet une espérance inconnue

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{0, ..., n}

{1,..., n}

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois géométriques

les lois de Poisson

les lois uniformes

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Faux

Vrai

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

112

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

égal à X-z dans R[X]

égal à X²-2*Re(z)+|z|²

divisible par X²-2*Re(z)+|z|² dans R[X]

divisible par X-z dans R[X]

Soit D = PGCD(A,B). Comme A,B sont dans R[X], D aussi et donc D(z) = D(\bar z) = 0. Ainsi, (X-z)(X-\bar z) divise D, mais rien ne permet d'affirmer l'égalité.

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Faux

Vrai

L'intersection de I et de J est un idéal M de K[X]. Comme tous les idéaux de K[X] sont principaux, il existe un unique polynôme unitaire P qui engendre M, et donc qui divise tous les éléments communs à I et J.

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

3 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Vrai

Faux

(X²+1)² n'a pas de racines réelles mais est réductible dans R[X].

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Faux

Vrai

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

6 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

Vrai

Faux

X²-2 est irréductible dans Q[X] mais se factorise dans R[X]

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

L(E,F)

K[X]

K_n[X]

M(n,K)

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

constante non nulle

nulle

de degré 2

de degré 1

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Les polynômes de degré 1

Les polynômes constants

Les polynômes n'admettant pas de racines réelles

Les polynômes de degré 2 à discriminant négatif

Votre score est

Le score moyen est 47%

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297

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Faux

On ne peut pas conclure

Vrai

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

A est nulle

A est inversible

A est diagonalisable

A est nilpotente

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

2 est valeur propre de A

X est valeur propre de A

A est diagonalisable

Si A est une matrice, P est une matrice inversible, Q = P^(-1) et D = QAP. Alors D^n =

Q A^n P

Q^n A^n P^n

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Faux

Vrai

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

A n'est pas inversible

-1 est valeur propre

1 est valeur propre

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Vrai

Faux

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

nA+I

A+I

A^n + I

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

inversible

diagonale

nulle

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Faux

Vrai

Si le polynôme minimal est scindé sur C mais pas sur R, la matrice est diagonalisable dans M(n,C) mais pas dans M(n,R). C'est par exemple le cas pour une matrice de rotation.

Votre score est

Le score moyen est 72%

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180

Algèbre générale

1 / 10

Quels éléments sont inversibles dans l'anneau Z/165Z ?

164

2 / 10

Z/6Z est isomorphe à...

Z*6Z

(Z/5Z)

(Z/2Z)*(Z/3Z)

(Z/2Z)*(Z/4Z)

C'est une conséquence du théorème des restes chinois

3 / 10

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

4 / 10

(Z/6Z,+,*) est...

un anneau intègre mais pas un corps

un corps

un idéal

un anneau non intègre

5 / 10

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

Il faut observer que 7 est d'ordre 4 dans Z/10Z donc 7**(2023) = 7**3 (mod 10) mais 7**2 = -1 (mod 10) donc 7**3 = -7 (mod 10) = 3 (mod 10).

6 / 10

Le PGCD de 3080 et 364 est

7 / 10

L'ensemble des matrices de déterminant nul est un groupe pour le produit matriciel.

Faux

Vrai

Les matrices de déterminant nul ne sont pas inversibles pour le produit matriciel. Elles ne peuvent donc pas former un groupe pour cette opération.

8 / 10

L'indicatrice d'Euler de 1400 vaut

240

480

1399

9 / 10

Dans un anneau commutatif, tout idéal est un sous-anneau.

Vrai

Faux

Un sous-anneau contient l'unité. Et le seul idéal qui contient l'unité est l'anneau lui-même.

10 / 10

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

Vrai

Faux

Il n'est pas stable par produit.

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

196

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

se peut

suffit

faut et il suffit

faut

2 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...simplement vers une primitive de f

...uniformément vers une primitive de f

...carrément !

...pas forcément

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

3 / 10

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Faux

Vrai

Il faut que I soit un segment pour pouvoir l'affirmer (théorème de Weierstrass).

4 / 10

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

ne converge d'aucune façon sur R

converge normalement sur R

converge simplement sur R

converge uniformément sur R

Pour tout x réel, on a |sin(2*n*x)/n| <= 1/n. Il y a ainsi CU, et donc CS sur R.

5 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

elle converge uniformément sur ]-R,R[

elle converge normalement sur [-R,R]

elle converge normalement sur tout segment de ]-R,R[

elle converge normalement sur ]-R,R[

6 / 10

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

R est supérieur ou égal à R'

R est inférieur ou égal à R'

ça dépend des cas

R=R'

7 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

f présente au plus un nombre fini de points de discontinuité

on ne peut pas conclure

f est continue sur I

f est dérivable sur I

8 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

+ l'infini

on ne peut pas savoir

9 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

son terme général converge uniformément vers 0

elle converge normalement

son terme général converge uniformément

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

10 / 10

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il faut et il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il faut que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge simplement vers 0

Votre score est

Le score moyen est 46%

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398

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

diverge

converge, et sa somme vaut (1-x^(n+1))/(1-x)

converge, et sa somme vaut 1/(1-x)

converge, et sa somme vaut (1-x^n)/(1-x)

2 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut e

converge, et sa somme vaut 1/e

diverge

converge, et sa somme vaut ln(2)

3 / 10

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

grossièrement divergente

absolument convergente

semi-convergente

divergente

La série converge d'après le critère des séries alternées, mais ne converge pas absolument d'après le critère de Riemann.

4 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Vrai

Faux

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

5 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

divergente

grossièrement divergente

convergente

semi-convergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

6 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

absolument convergente

divergente

grossièrement divergente

semi-convergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

7 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

les suites des restes partielles sont équivalentes

les suites des sommes partielles sont équivalentes

les séries sum u_n et sum v_n sont de même nature

les sommes des séries correspondantes sont égales

8 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

semi-convergente

divergente

grossièrement divergente

absolument convergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

9 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la convergence de V_n implique celle de U_n

la convergence de U_n implique celle de V_n

la divergence de V_n implique celle de U_n

la divergence de U_n implique celle de V_n

10 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il faut que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

il suffit que le terme général tende vers 0

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

Votre score est

Le score moyen est 33%

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