MP : Quiz d’apprentissage

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

Si f est différentiable sur un compact...

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Si f est différentiable, le gradient de f est

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Dans R, [2,+infini[ est

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Sur un compact, une application continue est

Un compact est un fermé borné

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Dans C, le cercle trigonométrique est

GL(n,R) est

La fonction Gamma est

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

La fonction ln est intégrable sur

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

Combien vaut l'indicatrice d'Euler de 57 ?

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

Le groupe U(Z/5Z) des inversibles de Z/5Z contient...

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

Le groupe symétrique S_3 est isomorphe à un sous-groupe de S_n dès que n est supérieur ou égal à 3.

La série de terme général cos(x)^n

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

Pour que la série de terme général u_n converge...

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...