MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

143

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

continue en (0,0)

différentiable en (0,0)

C^2 en (0,0)

Rien de tout cela

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

2 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un maximum local en a

un minimum local en a

un point col en a

3 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un maximum local

un point critique

un point col

un minimum local

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

4 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il faut qu'elle soit continue en a

il suffit qu'elle soit continue en a

5 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Vrai

Faux

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

6 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Vrai

df(I_n)(H) = nH

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

Faux

7 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f peut admettre un extremum en un point non critique

f admet un extremum global

tout extremum local est global

f admet un extremum local en tout point critique

8 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Vrai

Faux

9 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

f est différentiable

f est continue

df=0

df=f

10 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 45%

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Espaces vectoriels normés

321

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

ouvert

fermé

connexe par arcs

compact

2 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

3 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Vrai si K=C, Faux si K=R

Vrai

Faux

4 / 10

Sur un compact, une application continue est

linéaire

uniformément continue

lipschitizienne

bornée

5 / 10

GL(n,R) est

compact

ouvert

connexe par arcs

fermé

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

6 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Vrai

Faux

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

7 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

égale à 2

inférieure ou égale à 2

supérieure ou égale à 2

pas nécessairement définie

8 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Vrai

Faux

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

9 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

connexe par arcs

compact

ouvert

fermé

10 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Faux

Vrai

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

208

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

R+

[1,+infini[

]0,1]

sur aucun de ces intervalles

2 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n) = n!

Gamma(n+1) = n!

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n)! = n+1

3 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^x e^(-t) dt

t^(x+1) e^(-t) dt

t^x e^(-t-1) dt

t^(x-1) e^(-t) dt

4 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Vrai

Faux

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

5 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

6 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

7 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

convergente

absolument convergente

semi-convergente

divergente

8 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

9 / 10

La fonction Gamma est

de classe C infini sur R*+

de limite infinie en l'infini

définie sur R*+

continue sur R*+

strictement croissante sur R*+

strictement convexe sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

10 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur aucun de ces intervalles

sur R+

sur R-

sur R

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

160

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

3 fois

4 fois

1 fois

2 fois

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)

V(X)+E[X]²

E[X]²

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi géométrique

une loi de Poisson

une loi binomiale

une loi de Bernoulli

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois uniformes

les lois géométriques

les lois de Poisson

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-9)/4

(X-3)/2

(X-9)/2

(X-3)/4

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Faux

Vrai

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

P(np)

B(n,p)

B(p)

G(p)

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

105

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

4 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

on ne peut pas conclure

P est scindé à racines simples

P n'est pas scindé

P est scindé mais pas à racines simples

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

P est irréductible dans R[X]

P admet des racines réelles

P n'admet pas de racines réelles

P est réductible dans R[X]

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

C[X]

Q[X]

R[X]

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Faux

Vrai

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Vrai

Faux

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Les polynômes n'admettant pas de racines réelles

Les polynômes constants

Les polynômes de degré 1

Les polynômes de degré 2 à discriminant négatif

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

de degré 2

nulle

constante non nulle

de degré 1

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Faux

Vrai

Votre score est

Le score moyen est 45%

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273

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Faux

Vrai

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Vrai

Faux

Si le polynôme minimal est scindé sur C mais pas sur R, la matrice est diagonalisable dans M(n,C) mais pas dans M(n,R). C'est par exemple le cas pour une matrice de rotation.

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

diagonale

inversible

nulle

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Vrai

Faux

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Faux

Vrai

f étant diagonalisable, il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Ce polynôme annule également la restriction, qui est donc diagonalisable.

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

A est inversible

A est nulle

A est diagonalisable

A est nilpotente

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Faux

Vrai

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

2 est valeur propre de A

X est valeur propre de A

A est diagonalisable

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Faux

Vrai

Votre score est

Le score moyen est 72%

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170

Algèbre générale

1 / 10

Le PGCD de 3080 et 364 est

2 / 10

Combien 4900 admet-il de diviseurs positifs ?

3 / 10

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Z/6Z

Z/7Z

Z/3Z x Z/5Z

4 / 10

L'indicatrice d'Euler de 1400 vaut

1399

480

240

5 / 10

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

Faux

Vrai

Z/9Z est cyclique donc contient un élément d'ordre 9 alors que tous les éléments de (Z/3Z)^2 sont d'ordre 1 ou 3.

6 / 10

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

au moins d

au plus d

on ne peut pas savoir

7 / 10

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

(Z/3Z,+)

(Z,+)

(Z/2Z,+)

(Z/4Z,+)

Il y a exactement deux éléments inversibles dans l'anneau Z/4Z donc U(Z/4Z) est d'ordre 2, et donc isomorphe à Z/2Z.

8 / 10

(Z/6Z,+,*) est...

un idéal

un anneau non intègre

un corps

un anneau intègre mais pas un corps

9 / 10

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

au plus d

au moins d

on ne peut pas savoir

10 / 10

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

188

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

converger

diverger

converger absolument

diverger grossièrement

2 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

f est dérivable sur I

on ne peut pas conclure

f présente au plus un nombre fini de points de discontinuité

f est continue sur I

3 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

elle converge normalement sur [-R,R]

elle converge normalement sur ]-R,R[

elle converge normalement sur tout segment de ]-R,R[

elle converge uniformément sur ]-R,R[

4 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

+ l'infini

on ne peut pas savoir

5 / 10

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

f peut présenter une infinité de points de discontinuité

f est continue sur I

f est continue sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points

La continuité est une propriété locale, et chaque point de I admet un voisinage compact, donc la CU sur tout segment suffit à assurer la continuité en tout point de I.

6 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...pas forcément

...simplement vers une primitive de f

...uniformément vers une primitive de f

...carrément !

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

7 / 10

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

R_a est supérieur ou égal à R_b

R_a est strictement supérieur à R_b

R_a est inférrieur ou égal à R_b

R_a est strictement inférieur à R_b

8 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

se peut

faut

faut et il suffit

suffit

9 / 10

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Vrai

Faux

Il faut ajouter une hypothèse de convergence uniforme.

10 / 10

La série de terme général cos(x)^n

converge normalement sur ]0,pi[

converge simplement sur R

converge simplement sur ]0,pi[

ne converge pas sur ]0,pi[

Sur ]0,\pi[, la borne sup de |cos(x)^n| est 1, donc il n'y a pas convergence normale. Néanmoins, |cos(x)|<1 donc il y a convergence simple (série géométrique).

Sur R, il n'y a pas convergence simple car le terme général ne tend pas simplement vers 0.

Votre score est

Le score moyen est 46%

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372

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

divergente

grossièrement divergente

semi-convergente

absolument convergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

2 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut (1-x^(n+1))/(1-x)

diverge

converge, et sa somme vaut 1/(1-x)

converge, et sa somme vaut (1-x^n)/(1-x)

3 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Faux

Vrai

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

4 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut 1/e

converge, et sa somme vaut e

diverge

converge, et sa somme vaut ln(2)

5 / 10

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

semi-convergente

divergente

absolument convergente

grossièrement divergente

La série converge d'après le critère des séries alternées, mais ne converge pas absolument d'après le critère de Riemann.

6 / 10

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Vrai, si on ajoute l'hypothèse de convergence absolue.

Faux

Vrai

C'est déjà faux pour les sommes finies. Ce n'est pas la série \sum u_n*v_n qu'il faut considérer mais le produit de Cauchy des séries. Et il faut dans ce cas ajouter une hypothèse de convergence absolue.

7 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Vrai

Faux

Le terme général est équivalent à 1/n^2. On conclut par comparaison.

8 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

la série de terme général u_n diverge

la série de terme général u_n converge

on ne peut pas conclure

Appliquer le critère de d'Alembert

9 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

10 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

divergente

absolument convergente

grossièrement divergente

semi-convergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

Votre score est

Le score moyen est 34%

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