MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

181

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

colinéaire aux lignes de niveau

orthogonal aux lignes de niveau

2 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

3 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f admet un extremum global

tout extremum local est global

f admet un extremum local en tout point critique

f peut admettre un extremum en un point non critique

4 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

continue en (0,0)

différentiable en (0,0)

Rien de tout cela

C^2 en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

5 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un point col en a

un minimum local en a

un maximum local en a

6 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un minimum local

un maximum local

un point col

un point critique

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

7 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Vrai

Faux

8 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Faux

Vrai

9 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Vrai

Faux

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

10 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

f est continue

df=0

df=f

f est différentiable

Votre score est

Le score moyen est 46%

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Espaces vectoriels normés

350

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Vrai si K=C, Faux si K=R

Faux

Vrai

2 / 10

GL(n,R) est

compact

ouvert

fermé

connexe par arcs

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

3 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Vrai

Faux

vrai si K=C, faux si K=R

4 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Vrai

Faux

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

5 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai

Vrai dans un compact

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

6 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

ouvert

compact

connexe par arcs

fermé

7 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Faux

Vrai

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

8 / 10

Sur un compact, une application continue est

lipschitizienne

bornée

linéaire

uniformément continue

9 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Faux

Vrai

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

10 / 10

Un compact est un fermé borné

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

235

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

2 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

3 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Vrai

Faux

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

4 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

absolument convergente

semi-convergente

convergente

divergente

5 / 10

La fonction Gamma est

de classe C infini sur R*+

de limite infinie en l'infini

strictement convexe sur R*+

continue sur R*+

définie sur R*+

strictement croissante sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

6 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

]0,1]

[1,+infini[

R+

sur aucun de ces intervalles

7 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Faux

Vrai

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

8 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Faux

Vrai

1 n'est pas intégrable sur R+

9 / 10

La fonction ln est intégrable sur

sur aucun de ces intervalles

[1,+infini[

]0,1]

10 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

188

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Vrai

Faux

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois de Poisson

les lois uniformes

les lois géométriques

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

X admet une espérance finie mais une variance infinie

X n'admet ni espérance ni variance finie

X admet une espérance et une variance finies

X admet une variance finie mais une espérance infinie

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

E[X]²

V(X)

V(X)+E[X]²

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-3)/4

(X-9)/4

(X-9)/2

(X-3)/2

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

XY admet une espérance inconnue

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

B(n,p)

P(np)

G(p)

B(p)

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

3,5

2,5

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi binomiale

une loi de Bernoulli

une loi géométrique

une loi de Poisson

Votre score est

Le score moyen est 63%

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Algèbre

119

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Faux

Vrai

(X²+1)² n'a pas de racines réelles mais est réductible dans R[X].

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Faux

Vrai

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

P est réductible dans R[X]

P admet des racines réelles

P n'admet pas de racines réelles

P est irréductible dans R[X]

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Faux

Vrai

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

M(n,K)

K[X]

K_n[X]

L(E,F)

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

on a une contradiction

a=b=c=0

on ne peut pas déterminer a, b et c

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Vrai

Faux

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

4X-2

-4X+2

4X+2

La fonction cos est polynomiale

On ne peut pas savoir

Faux

Vrai

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

(X²+1) divise P

(X-j²) divise P

(X-j) divise P

(X²+X+1) divise P

Votre score est

Le score moyen est 46%

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306

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

A est diagonalisable

A est nulle

A est inversible

A est nilpotente

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Faux

Vrai

Le polynôme caractéristique doit être scindé, mais pas nécessairement à racines simples. C'est néanmoins une condition suffisante de diagonalisabilité.

Si A est une matrice triangulaire, alors

ses valeurs propres sont sur la diagonale

A est diagonalisable

A est inversible

Toute matrice de M(n,R) est

trigonalisable dans M(n,R)

diagonalisable dans M(n,R)

diagonalisable dans M(n,C)

trigonalisable dans M(n,C)

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

vrai si K=C, faux si K=R

vrai si K=R ou C

faux si K=R ou C

vrai si K=R, faux si K=C

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Faux

Vrai

Si le polynôme minimal est scindé sur C mais pas sur R, la matrice est diagonalisable dans M(n,C) mais pas dans M(n,R). C'est par exemple le cas pour une matrice de rotation.

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

A n'est pas inversible

-1 est valeur propre

1 est valeur propre

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Faux

Vrai

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Vrai

Faux

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Faux

Vrai

Votre score est

Le score moyen est 73%

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186

Algèbre générale

1 / 10

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

5 éléments inversibles

un élément inversible

deux éléments inversibles

trois éléments inversibles

2 / 10

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Vrai

Faux

PGCD(33,121) = 11 donc 33 n'est pas inversible dans Z/121Z.

3 / 10

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

au moins d

au plus d

on ne peut pas savoir

4 / 10

Combien 4900 admet-il de diviseurs positifs ?

5 / 10

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

Z/10Z x Z/6Z

Z/12Z x Z/5Z

Z/2Z x Z/30Z

Z/3Z x Z/20Z

6 / 10

Si A et B sont des anneaux et que f est un morphisme d'anneaux de A vers B, alors...

ker(f) est un sous-anneau de A

im(f) est un sous-anneau de B

ker(f) est un idéal de A

im(f) est un idéal de B

7 / 10

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

(Z/3Z,+)

(Z,+)

(Z/4Z,+)

(Z/2Z,+)

Il y a exactement deux éléments inversibles dans l'anneau Z/4Z donc U(Z/4Z) est d'ordre 2, et donc isomorphe à Z/2Z.

8 / 10

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

9 / 10

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

au plus d

on ne peut pas savoir

au moins d

10 / 10

(Z/4Z,+) contient

4 sous-groupes

2 sous-groupes

1 sous-groupe

3 sous-groupes

Il y a exactement trois sous-groupes:
{0}, Z/4Z et {0,2} (qui est isomorphe à Z/2Z)

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

202

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

f est dérivable sur I

f est continue sur I

on ne peut pas conclure

f présente au plus un nombre fini de points de discontinuité

2 / 10

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

il faut et il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge simplement vers 0

il faut que (f_n) converge uniformément vers 0

3 / 10

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

R_a est strictement supérieur à R_b

R_a est strictement inférieur à R_b

R_a est inférrieur ou égal à R_b

R_a est supérieur ou égal à R_b

4 / 10

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

R est strictement plus petit que 1

R = 1

R est strictement plus grand que 1

R = 0

5 / 10

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Vrai

Faux

Il faut que I soit un segment pour pouvoir l'affirmer (théorème de Weierstrass).

6 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

converger

diverger grossièrement

converger absolument

diverger

7 / 10

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Faux

Vrai

Il faut ajouter une hypothèse de convergence uniforme.

8 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...carrément !

...simplement vers une primitive de f

...uniformément vers une primitive de f

...pas forcément

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

9 / 10

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

sum (n+1)a_n x^(n+1)

sum a_n*x^(n+1)/(n+1)

sum n*a_n*x^(n-1)

sum a_n*(x^n)/n

10 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f est dérivable sur I

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

Votre score est

Le score moyen est 46%

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414

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Elle converge vers u_0-1

on ne peut pas conclure

Elle converge vers 1

Elle diverge grossièrement

2 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

absolument convergente

semi-convergente

grossièrement divergente

divergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

3 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

il faut que le terme général tende vers 0

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

il suffit que le terme général tende vers 0

4 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la divergence de V_n implique celle de U_n

la convergence de U_n implique celle de V_n

la divergence de U_n implique celle de V_n

la convergence de V_n implique celle de U_n

5 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Faux

Vrai

Le terme général est équivalent à 1/n^2. On conclut par comparaison.

6 / 10

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Faux

Vrai, si on ajoute l'hypothèse de convergence absolue.

Vrai

C'est déjà faux pour les sommes finies. Ce n'est pas la série \sum u_n*v_n qu'il faut considérer mais le produit de Cauchy des séries. Et il faut dans ce cas ajouter une hypothèse de convergence absolue.

7 / 10

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Vrai

Faux

la décroissance n'est pas stable par équivalence

8 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

les suites des restes partielles sont équivalentes

les séries sum u_n et sum v_n sont de même nature

les suites des sommes partielles sont équivalentes

les sommes des séries correspondantes sont égales

9 / 10

La série de terme général ln(1+1/n) est

grossièrement divergente

semi-convergente

absolument convergente

divergente

Son terme général est positif et équivalent à 1/n. On conclut par comparaison.

10 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Vrai

Faux

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

Votre score est

Le score moyen est 33%

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