MP : Quiz d’apprentissage

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

Si f est différentiable, le gradient de f est

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Si f est différentiable sur un compact...

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

Sur un compact, une application continue est

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

Un compact est un fermé borné

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

GL(n,R) est

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

La fonction ln est intégrable sur

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

L'ensemble des matrices de déterminant nul est un groupe pour le produit matriciel.

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

Pour que la série de terme général u_n converge...

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

La série de terme général ln(n)/n est

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?