MP : Quiz d’apprentissage

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Si f est différentiable, le gradient de f est

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

Si f est différentiable sur un compact...

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

Dans R, [2,+infini[ est

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Un compact est un fermé borné

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Sur un compact, une application continue est

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

La fonction ln est intégrable sur

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

La fonction Gamma est

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

Si A est une matrice, P est une matrice inversible, Q = P^(-1) et D = QAP. Alors D^n =

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Si A et B sont des anneaux et que f est un morphisme d'anneaux de A vers B, alors...

Dans un anneau commutatif, tout idéal est un sous-anneau.

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

L'indicatrice d'Euler de 1400 vaut

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

La série de terme général ln(1+1/n) est

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

La série de terme général sin(2/n²) est

La série de terme général ln(n)/n est

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors