PCSI : Quiz d’apprentissage

Algèbre

/10

PCSI

Calcul algébrique

Dix questions de calcul algébrique tirées au hasard dans la base de données.

1 / 10

Si a et b sont des réels, (a+b)^3 =

a^3+b^3

a^3+3ab+b^3

a^3+3a²b+3ab²+b^3

2 / 10

1+x+x²+....+x^n =

(1-x^(n+1))/(1-x)

1/(1-x)

(1/(1-x))^(n+1)

(1-x^n)/(1-x)

3 / 10

Comment est |x+y| par rapport à |x|+|y| ?

supérieur ou égal

égal

inférieur ou égal

on ne peut pas savoir

4 / 10

(x^2)^3 =

x^5

x^8

x^6

5 / 10

(1-q)(1+q+q²+q^3) =

1-q^2

1-q^4

1-q

6 / 10

ln(8) =

2ln(4)

2ln(3)

3ln(2)

7 / 10

La somme des n premiers entiers est égale à

n(n+1)(2n+1)/6

n(n-1)/2

n²

n(n+1)/2

8 / 10

La somme des n premiers carrés d'entiers est égale à

n(n-1)(2n-1)/6

n(n+1)/2

n(n-1)/2

n(n+1)(2n+1)/6

9 / 10

Le nombre e est approximativement égal à

2,7

1,4

3,1

10 / 10

La somme pour k allant de 1 à n de ln(k+1)-ln(k) est égale à

ln(n+1)

ln(n)

ln(2)

ln(n+1)-ln(2)

Votre score est
Le score moyen est 79%
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PCSI

Trigonométrie circulaire

Des questions autour du cercle trigonométrique : cosinus, sinus et tangente.

10 questions prises au hasard dans la base de données sur ce sujet.

1 / 10

tan(2a)=

1+tan²(a)

2tan(a)/(1-tan²(a))

2tan(a)/(1+tan²(a))

2 / 10

cos(a-b)=

cos(a)sin(b)-sin(a)cos(b)

cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

cos(a)sin(b)+sin(a)cos(b)

cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

3 / 10

cos(a)+cos(b)=

2*cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2)

2*sin((a+b)/2)*sin((a-b)/2)

2*cos((a+b)/2)*sin((a-b)/2)

4 / 10

sin(2a)=

1-2cos²(a)

2sin²(a)-1

2cos(a)sin(a)

5 / 10

Pour tout x dans ]-pi/2,pi/2[, on a tan'(x) =

1-tan(x)^2

1+tan(x)^2

1/cos(x)^2

1/sin(x)^2

6 / 10

La fonction sinus est

croissante sur [-pi,pi]

croissante sur [0,pi]

Rien de tout cela

décroissante sur [0,2*pi]

7 / 10

sin(a)sin(b)=

1/2*(cos(a-b)-cos(a+b))

1/2*(cos(a-b)+cos(a+b))

1/2*(sin(a+b)-sin(a-b))

1/2*(sin(a+b)+sin(a-b))

8 / 10

cos(x+pi/2) =

cos(x)

-sin(x)

sin(x)

-cos(x)

9 / 10

sin(a+b)=

cos(a)sin(b)-sin(a)cos(b)

cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

cos(a)sin(b)+sin(a)cos(b)

10 / 10

cos(a+b)=

cos(a)sin(b)-sin(a)cos(b)

cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

cos(a)sin(b)+sin(a)cos(b)

cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

Votre score est
Le score moyen est 57%
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Nombres complexes et trigonométrie

Des questions sur les nombres complexes et leurs relations avec la trigonométrie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

(1+i)^4 =

0

2

4

-4

2 / 10

Si on note bar(z) le conjugué de z, alors z-bar(z) =

2*Re(z)

2*i*Im(z)

Im(z)

2*Im(z)

3 / 10

Arctan(1)=

pi/3

0

pi/2

pi/4

4 / 10

Si x et y sont réels, exp(i*x) = exp(i*y) si et seulement si

x est congru à y modulo pi/2

x est congru à y modulo pi

x est congru à y modulo 2*pi

x = y

5 / 10

Quels nombres complexes sont des imaginaires purs ?

(plusieurs réponses possibles)

exp(i*pi/4)

exp(i*pi/2)

exp(18*i*pi/2)

exp(15*i*pi/2)

6 / 10

sin(2a)=

1-2cos²(a)

2cos(a)sin(a)

2sin²(a)-1

7 / 10

Le produit de deux imaginaires pur est

un imaginaire pur

on ne peut pas conclure

un réel

ni un imaginaire pur, ni un réel

8 / 10

Soit z un nombre complexe non nul et u = exp(2*i*pi/3). Alors les points d'affixes z, u*z et u^2*z forment :

un carré avec l'origine comme quatrième sommet

un triangle équilatéral

un triangle quelconque

un triangle isocèle non équilatéral

9 / 10

sin(a+b)=

cos(a)sin(b)+sin(a)cos(b)

cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

cos(a)sin(b)-sin(a)cos(b)

10 / 10

La linéarisation de cos^3(x) est

3*cos(x)/4+cos(3*x)/4

3*sin(x)/4-sin(3*x)/4

cos^4(x)/4

cos(3x)

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54

Dénombrement

Des questions sur le dénombrement.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

On lance successivement trois fois un dé à six faces. Combien y a-t-il de suites de résultats possibles ?

3^6

3 parmi 6

2^6

6^3

2 / 10

Combien existe-t-il de mains de cinq cartes possibles avec un jeu de 32 cartes ?

5^32

32^5

Le nombre de 5-arrangements de [[1,32]]

5 parmi 32

3 / 10

On tire simultanément p boules dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à n. Combien y a-t-il de tirages distincts possibles ?

n^p (p-liste)

p parmi n (combinaison)

n!/(n-p)! (arrangement)

p^n (n-liste)

4 / 10

La somme pour k allant de 0 à n des coefficients binomiaux "k parmi n" est égale à

n

2^n

k^n

n!

5 / 10

Combien y a-t-il de façons de cocher quatre cases distinctes dans un quadrillage à n lignes et n colonnes ?

4 parmi n

4 parmi n²

n^4

(4 parmi n)²

6 / 10

Combien y a-t-il d'applications injectives de [[1,n]] vers [[1,m]], avec n<m ?

n parmi m

Le nombre de n-arrangements de [[1,m]]

Le nombre de m-arrangements de [[1,n]]

n^m

7 / 10

Combien y a-t-il de bijections de [[1,6]] vers [[1,5]] ?

0

5^6

6^5

5 parmi 6

8 / 10

On tire successivement et sans remise p boules dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à n. Combien y a-t-il de tirages distincts possibles ?

n^p (p-liste)

p parmi n (combinaison)

p^n (n-liste)

n!/(n-p)! (arrangement)

9 / 10

Combien peut on réaliser de numéros de téléphones à huit chiffres ?

8!

10^8

8 parmi 10

8^10

10 / 10

Combien existe-t-il d'applications surjectives de [[1,n]] vers {0,1} ?

2^n

2^n-1

2^n-2

0

Votre score est
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Polynômes

Des questions sur les polynômes à coefficients réels ou complexes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Vrai

Faux

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

on a une contradiction

a=b=c=0

on ne peut pas déterminer a, b et c

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Les polynômes de degré 1

Les polynômes de degré 2 à discriminant négatif

Les polynômes constants

Les polynômes n'admettant pas de racines réelles

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

E =0, a = 4, b = 5

E =0, a = 4, b = -5

E =0, a = -4, b = 5

E non nul 0, a = -4, b = 5

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

P n'admet pas de racines réelles

P est réductible dans R[X]

P admet des racines réelles

P est irréductible dans R[X]

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Faux

Vrai

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Vrai

Faux

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

3 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Faux

Vrai

La fonction cos est polynomiale

Faux

Vrai

On ne peut pas savoir

Votre score est
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Analyse

PCSI

Dérivées et primitives

Des calculs classiques de dérivées et de primitives.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Une primitive de 1/(1+x²) est :

Arctan(x)

-1/(1+x)

ln((1+x)/(1-x))

1/(1+x)

2 / 10

La dérivée de log_2(3x^2+1) est

1/(2*(3x²+1))

6x/(2*(3x²+1))

1/(ln(2)*(3x²+1))

6x/(ln(2)*(3x²+1))

3 / 10

Une primitive de cos(x)sin(x) est

cos(2x)

cos(x)**2/2

-cos(x)**2/2

sin(2x)

4 / 10

Une primitive de 1/(1-x) est :

ln(x-1)

-ln(|1-x|)

ln(|1-x|)

ln(1-x)

5 / 10

Une primitive de x/(x²+1) est

ln(x²+1)

Arctan(x)

1/2*ln(x²+1)

x*Arctan(x)

6 / 10

Une primitive de ln(x) est

1/x

1/ln(x)

xln(x)-x

ln(x)-x

7 / 10

La dérivée de sin(2x)^5 est

5*sin(2x)^4

5*cos(2x)*sin(2x)^4

10*cos(2x)*sin(2x)^4

5*cos(2x)^4

8 / 10

La dérivée de ch(3x) est

-sh(3x)

-3*sh(3x)

sh(3x)

3*sh(3x)

9 / 10

Une primitive de x*exp(x²) est :

exp(x²)/2

exp(x)

exp(x)/2

exp(x²)

10 / 10

La dérivée de Arctan(sqrt(x)) est

1/(2*sqrt(x)*(1+x^2))

1/(1+x)

1/(2*sqrt(x)*(1+x))

sqrt(x)/(1+x²)

Votre score est
Le score moyen est 53%
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Fondamentaux du formalisme

Les symboles mathématiques

Alphabet grec, symboles variés, etc. Quels sont leurs noms ?

Testez vos connaissances en 10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

λ se lit

lambada

lambda

mu

lu

2 / 10

σ se lit

alpha

delta

sigma

lambda

3 / 10

η se lit

zeta

theta

nu

eta

4 / 10

ω se lit

omega

womega

epsilon

double-nu

5 / 10

ε se lit

xi

epsilon

eta

delta

6 / 10

Que signifie ce symbole ?

strictement inférieur

appartenance

implication

inclusion

7 / 10

κ se lit

chi

komega

kappa

gamma

8 / 10

"A∩B" se lit

A privé de B

réunion de A et de B

ni A ni B

Intersection de A et de B

9 / 10

π se lit

pee

pih

pie

pi

10 / 10

φ se lit

fêta

phi

psi

rho

Votre score est
Le score moyen est 80%
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PCSI

Formalisme et logique

Questions autour de la logique formelle et des fondamentaux du formalisme mathématique.

1 / 10

La réciproque de "P implique Q" est :

Q équivaut à P

Q implique P

non P implique Q

non P implique non Q

2 / 10

Une propriété P(n) qui s'initialise pour n=1 et qui est héréditaire est vraie :

pour tout entier naturel n

uniquement si n est supérieur ou égal à 2

pour tout entier naturel n non nul

3 / 10

Une fonction f est décroissante sur I si et seulement si, pour tous x et y dans I, on a :

x inférieur à y implique f(x) inférieur à f(y)

x strictement inférieur à y implique f(x) strictement inférieur à f(y)

x inférieur à y implique f(x) supérieur à f(y)

x strictement inférieur à y implique f(x) strictement supérieur à f(y)

4 / 10

Si A = {1,2,3,5} et B = {2,3,4}, alors la réunion de A et de B contient :

5 éléments

8 éléments

2 éléments

3 éléments

5 / 10

Si f est une fonction définie sur un ensemble I, la négation de "f est strictement positive" est :

Il existe x dans I tel que f(x) est strictement négatif

Il existe x dans I tel que f(x) est négatif

Pour tout x dans I, f(x) est négatif

Pour tout x dans I, f(x) est strictement négatif

6 / 10

L'assertion "Pour tout réel x strictement positif, il existe un réel y tel que y<x" est :

Vraie

Indécidable

Fausse

7 / 10

"Si I et J sont des intervalles, alors la réunion de I et de J est un intervalle"

Vrai si I et J ne sont pas disjoints

Tout le temps faux

Vrai si I et J sont disjoints

Tout le temps vrai

8 / 10

Si I=[-1,2] et J = [1,3], alors I privé de J est l'ensemble :

vide

]2,3]

[-1,3]

[-1,1[

9 / 10

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = cos(x)+1. Sélectionnez les assertions qui sont vraies.

Pour tout x dans R, f(x) est positif

Il existe x dans R tel que f(x) est positif

Il existe x dans R tel que f(x) est strictement positif

Pour tout x dans R, f(x) est strictement positif

10 / 10

L'ensemble des solutions réelles de l'équation x²+1=0

est vide

n'existe pas

est la paire {-1,1}

est la paire {-i,i}

Votre score est

Le score moyen est 58%

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Informatique

ITC

Python - niveau 1

Dix questions simples, prises au hasard dans la base de données et portant sur les bases de la syntaxe Python. Ces questions sont pour l'essentiel accessibles dès le début du cursus en CPGE.

1 / 10

Que renvoie l'instruction [1,2,3]+[3,4,5]

[1,2,3,4,5]

[1,2,3,3,4,5]

[1,6,8]

une erreur

2 / 10

Que renvoie l'instruction 2*[1,2,3] ?

Une erreur

[1,2,3,1,2,3]

[2,4,6]

rien

3 / 10

Que fait ce bloc d'instructions ?

il affiche les entiers entre 1 et 9

il affiche les entiers impairs entre 1 et 9

il affiche les entiers pairs entre 1 et 9

il affiche les entiers entre 1 et 10

4 / 10

Après exécution de ce bloc d'instructions, a et b valent respectivement

3 et 2

2 et 2

2 et 3

3 et 3

Ce programme effectue six échanges successifs, on est donc revenu au départ.

5 / 10

Que renvoie mystere(5) ?

120

15

5

Une erreur

Si n est un entier, la fonction récursive mystere(n) calcule la somme des entiers de 0 à n.

6 / 10

Quelle instruction renvoie "tuple" ?

type("2,3,4")

type((2,3,4))

type(2,3,4)

type([2,3,4])

7 / 10

Si L = [1,2,3,4,5], que renvoie L[::-1] ?

[1,2,3,4]

[2,3,4,5]

[5,4,3,2,1]

[1,2,3,4,5]

L[::-1] parcourt l'intégralité de la liste en sens inverse.

8 / 10

Si L = ['a','b','c','d','e'], que renvoie L[1:3] ?

['a','b','c','d']

['b','c','d']

['b','c']

['a','b','c']

L[1:3] extrait la sous-liste formée des L[k] avec k supérieur ou égal à 1 et strictement inférieur à 3. Il s'agit donc des entrées d'indices 1 et 2 dans la liste.

9 / 10

Que contient la liste L après cette instruction ?

Les nombres pairs entre 0 à 10

Les nombres entre 0 à 9

Les nombres pairs entre 0 à 8

Les nombres impairs de 1 à 9

10 / 10

Qu'affiche ce programme si, dans la console interactive, l'utilisateur saisit 4 ?

44

une erreur

rien

8

La variable résultant d'un input est une chaîne de caractères. Si l'on souhaite obtenir un nombre, il ne faut pas oublier de convertir le résultat par le biais de a = float(input("Entrer un nombre : "))

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