PCSI : Quiz d’apprentissage

Algèbre

/10

PCSI

Calcul algébrique

Dix questions de calcul algébrique tirées au hasard dans la base de données.

1 / 10

(1-q)(1+q+q²+q^3) =

1-q

1-q^4

1-q^2

2 / 10

Si a et b sont des réels, (a+b)^3 =

a^3+b^3

a^3+3ab+b^3

a^3+3a²b+3ab²+b^3

3 / 10

exp(3x)/exp(2x) =

exp(x)

exp(3/2)

exp(5x)

4 / 10

La somme des n premiers carrés d'entiers est égale à

n(n+1)(2n+1)/6

n(n-1)/2

n(n+1)/2

n(n-1)(2n-1)/6

5 / 10

1+x+x²+....+x^n =

(1-x^n)/(1-x)

(1-x^(n+1))/(1-x)

1/(1-x)

(1/(1-x))^(n+1)

6 / 10

ln(8) =

3ln(2)

2ln(3)

2ln(4)

7 / 10

P(x) = x²-5x+4 admet pour racine évidente

-1

Aucun des trois

1

0

8 / 10

La somme pour k allant de 1 à n de ln(k+1)-ln(k) est égale à

ln(n+1)-ln(2)

ln(2)

ln(n)

ln(n+1)

9 / 10

Comment est |x+y| par rapport à |x|+|y| ?

on ne peut pas savoir

égal

supérieur ou égal

inférieur ou égal

10 / 10

(x-1)(x-2) = ?

x²-3x-2

x²+3x+2

x²-3x+2

Your score is
The average score is 78%
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PCSI

Trigonométrie circulaire

Des questions autour du cercle trigonométrique : cosinus, sinus et tangente.
10 questions prises au hasard dans la base de données sur ce sujet.

1 / 10

Ceci est la représentation graphique de la fonction définie par f(x) =

sin(2*x+pi/4)

sin(2*x-pi/4)

2*sin(x+pi/4)

2*sin(x-pi/4)

2 / 10

cos(2a)=

2cos(a)sin(a)

2sin²(a)-1

2cos²(a)-1

3 / 10

sin(a)sin(b)=

1/2*(cos(a-b)-cos(a+b))

1/2*(sin(a+b)-sin(a-b))

1/2*(cos(a-b)+cos(a+b))

1/2*(sin(a+b)+sin(a-b))

4 / 10

tan(a+b)=

(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))

(tan(a)+tan(b))/(1+tan(a)tan(b))

(tan(a)-tan(b))/(1-tan(a)tan(b))

5 / 10

cos(a)+cos(b)=

2*sin((a+b)/2)*sin((a-b)/2)

2*cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2)

2*cos((a+b)/2)*sin((a-b)/2)

6 / 10

tan(pi/2) =

1

0

-1

Non défini

7 / 10

L'équation sin(x) = 1/2 d'inconnue x réelle admet

une infinité de solutions

une unique solution

exactement deux solutions

aucune solution

8 / 10

tan(pi/4) =

1

-1

0

Non défini

9 / 10

sin(a+b)=

cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

cos(a)sin(b)-sin(a)cos(b)

cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

cos(a)sin(b)+sin(a)cos(b)

10 / 10

Pour tout x dans ]-pi/2,pi/2[, on a tan'(x) =

1/sin(x)^2

1+tan(x)^2

1/cos(x)^2

1-tan(x)^2

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Nombres complexes et trigonométrie

Des questions sur les nombres complexes et leurs relations avec la trigonométrie.
10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si on note bar(z) le conjugué de z, alors z-bar(z) =

Im(z)

2*Re(z)

2*i*Im(z)

2*Im(z)

2 / 10

sin(a)cos(b)=

1/2*(cos(a+b)-cos(a-b))

1/2*(sin(a+b)+sin(a-b))

1/2*(sin(a+b)-sin(a-b))

1/2*(cos(a+b)+cos(a-b))

3 / 10

sin(2a)=

1-2cos²(a)

2cos(a)sin(a)

2sin²(a)-1

4 / 10

Arctan(1)=

0

pi/4

pi/3

pi/2

5 / 10

cos(x+pi/2) =

-sin(x)

sin(x)

-cos(x)

cos(x)

6 / 10

sin(a-b)=

cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a)

cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)

7 / 10

cos(2a)=

2cos²(a)-1

2cos(a)sin(a)

2sin²(a)-1

8 / 10

cos(a-b)=

cos(a)sin(b)+sin(a)cos(b)

cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

cos(a)sin(b)-sin(a)cos(b)

cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

9 / 10

Si z=3*exp(7*i*pi/6), alors son argument principal est

-5*pi/6

-pi/6

pi/6

7*pi/6

10 / 10

cos(a)+cos(b)=

2*cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2)

2*cos((a+b)/2)*sin((a-b)/2)

2*sin((a+b)/2)*sin((a-b)/2)

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41

Dénombrement

Des questions sur le dénombrement.
10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Combien peut on réaliser de numéros de téléphones à huit chiffres ?

8!

8^10

10^8

8 parmi 10

2 / 10

On tire successivement et sans remise p boules dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à n. Combien y a-t-il de tirages distincts possibles ?

n^p (p-liste)

p parmi n (combinaison)

p^n (n-liste)

n!/(n-p)! (arrangement)

3 / 10

On tire simultanément p boules dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à n. Combien y a-t-il de tirages distincts possibles ?

n^p (p-liste)

p parmi n (combinaison)

n!/(n-p)! (arrangement)

p^n (n-liste)

4 / 10

Combien existe-t-il d'applications surjectives de [[1,n]] vers {0,1} ?

2^n

2^n-2

2^n-1

0

5 / 10

Combien existe-t-il de mains de cinq cartes possibles avec un jeu de 32 cartes ?

32^5

5 parmi 32

5^32

Le nombre de 5-arrangements de [[1,32]]

6 / 10

Combien y a-t-il de bijections de [[1,6]] vers [[1,5]] ?

5^6

6^5

5 parmi 6

0

7 / 10

Combien y a-t-il de façons de cocher quatre cases distinctes dans un quadrillage à n lignes et n colonnes ?

4 parmi n²

4 parmi n

n^4

(4 parmi n)²

8 / 10

Combien y a-t-il de suites de Pile/Face possibles pour n lancers consécutifs d'une pièce ?

2 parmi n

n

2^n

n^2

9 / 10

Le coefficient binomial "2 parmi n" est égal à

n(n-1)/2

n

n(n+1)/2

2

10 / 10

On tire successivement et avec remise p boules dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à n. Combien y a-t-il de tirages distincts possibles ?

n!/(n-p)! (arrangement)

p parmi n (combinaison)

p^n (n-liste)

n^p (p-liste)

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Polynômes

Des questions sur les polynômes à coefficients réels ou complexes.
10 questions prises au hasard dans la base.

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

a=b=c=0

on a une contradiction

on ne peut pas déterminer a, b et c

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

(X-j²) divise P

(X²+1) divise P

(X²+X+1) divise P

(X-j) divise P

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

3 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

P n'est pas scindé

P est scindé à racines simples

on ne peut pas conclure

P est scindé mais pas à racines simples

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Vrai

Faux

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Vrai

Faux

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Vrai

Faux

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Faux

Vrai

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

E =0, a = 4, b = 5

E =0, a = 4, b = -5

E =0, a = -4, b = 5

E non nul 0, a = -4, b = 5

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Les polynômes n'admettant pas de racines réelles

Les polynômes constants

Les polynômes de degré 1

Les polynômes de degré 2 à discriminant négatif

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Analyse

PCSI

Dérivées et primitives

Des calculs classiques de dérivées et de primitives.
10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Une primitive de ln(x) est

1/x

x*ln(x)-x

x*ln(x)

exp(x)

2 / 10

Une primitive de 1/(1-x) est :

ln(1-x)

ln(x-1)

ln(|1-x|)

-ln(|1-x|)

3 / 10

Une primitive de x^n est :

x^(n-1)/n

x^(n+1)/(n+1)

(n+1)x^(n+1)

nx^(n-1)

4 / 10

Une primitive de x*exp(x²) est :

exp(x²)/2

exp(x²)

exp(x)

exp(x)/2

5 / 10

La dérivée de cos(x)/sin(x) est

1/cos²(x)

-1/sin²(x)

-1/cos²(x)

1/sin²(x)

6 / 10

Une primitive de x/(x²+1) est

Arctan(x)

x*Arctan(x)

ln(x²+1)

1/2*ln(x²+1)

7 / 10

La dérivée de exp(3x²+x+1) est

(6x+1)*exp(6x+1)

(6x+1)*exp(3x²+x+1)

(6x+1)/(3x²+x+1)

exp(3x²+x+1)

8 / 10

Une primitive de ln(x) est

ln(x)-x

1/ln(x)

1/x

xln(x)-x

9 / 10

Une primitive de 1/(x-a)^2 est

ln|x-a|

-1/(x-a)

1/(x-a)

ln(x-a)

10 / 10

Si u est de classe C^1, une primitive de u'*u^n est

u^n/n

u^n

u^(n+1)

u^(n+1)/(n+1)

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Fondamentaux du formalisme

Les symboles mathématiques

Alphabet grec, symboles variés, etc. Quels sont leurs noms ?
Testez vos connaissances en 10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

ι se lit

lambda

eta

iota

jota

2 / 10

ξ se lit

zeta

epsilon

chi

xi

3 / 10

λ se lit

lambda

lu

lambada

mu

4 / 10

"∀x" se lit

aucun x

pour tout x

il existe x

il existe un unique x

5 / 10

Θ se lit

Eta

Zeta

Theta

Bouclier

6 / 10

δ se lit

lambda

alpha

gamma

delta

7 / 10

τ se lit

theta

sigma

tau

ti

8 / 10

$\nabla se lit$

Delta

Gamma

Nabla

Triangla

9 / 10

κ se lit

chi

komega

gamma

kappa

10 / 10

Ω se lit

Omega

Gamma

Alpha

Ultra

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PCSI

Formalisme et logique

Questions autour de la logique formelle et des fondamentaux du formalisme mathématique.

1 / 10

Si I=[-1,2] et J = [1,3], alors I privé de J est l'ensemble :

[-1,3]

vide

[-1,1[

]2,3]

2 / 10

L'assertion "Pour tout réel x strictement positif, il existe un réel y tel que y<x" est :

Fausse

Indécidable

Vraie

3 / 10

Soit x un réel. Si on note P l'assertion "x est un entier relatif" et Q l'assertion "x est le carré d'un entier", alors on a :

Q implique P

P équivaut à Q

P implique Q

4 / 10

Si f est une fonction définie sur un ensemble I, la négation de "f est strictement positive" est :

Il existe x dans I tel que f(x) est strictement négatif

Il existe x dans I tel que f(x) est négatif

Pour tout x dans I, f(x) est strictement négatif

Pour tout x dans I, f(x) est négatif

5 / 10

Une fonction croissante et décroissante

est nulle

n'existe pas

est constante

6 / 10

Soient E = {1,..., 10}, A = {1,2,3}, B = {3,4,5} et C = {6,7,8,9,10}. Alors A, B et C forment

une partition de E

un recouvrement de E

ni l'un, ni l'autre

7 / 10

Une fonction f est décroissante sur I si et seulement si, pour tous x et y dans I, on a :

x inférieur à y implique f(x) inférieur à f(y)

x inférieur à y implique f(x) supérieur à f(y)

x strictement inférieur à y implique f(x) strictement supérieur à f(y)

x strictement inférieur à y implique f(x) strictement inférieur à f(y)

8 / 10

L'assertion "Pour tout y dans [-1,1], il existe un unique x tel que cos(x)=1" est :

Indécidable

Vraie

Fausse

9 / 10

Une propriété P(n) qui s'initialise pour n=1 et qui est héréditaire est vraie :

pour tout entier naturel n

pour tout entier naturel n non nul

uniquement si n est supérieur ou égal à 2

10 / 10

L'ensemble des solutions réelles de l'équation x²+1=0

est vide

est la paire {-1,1}

est la paire {-i,i}

n'existe pas

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Informatique

ITC

Python - niveau 1

Dix questions simples, prises au hasard dans la base de données et portant sur les bases de la syntaxe Python. Ces questions sont pour l'essentiel accessibles dès le début du cursus en CPGE.

1 / 10

Après exécution de ce script, que contient M[0] ?

L

0

-1

1

C'est ici un comportement particulier des listes. L'affectation M=L fait que M et L pointent vers le même objet en mémoire, toute modification de l'une affecte l'autre.

2 / 10

Quel est le type de (1,2,3) ?

float

int

tuple

list

3 / 10

Ce programme simule le lancer de 3 dés à six faces. S'il affiche "Gagné", cela signifie que :

on a obtenu exactement un 6

on a obtenu trois 6

on a obtenu au moins un 6

on n'a obtenu aucun 6

4 / 10

Que renvoie l'instruction mystere(2) ?

"Erreur"

1

1.4142135623730951

4

5 / 10

Que fait ce bloc d'instructions ?

il affiche les entiers entre 1 et 9

il affiche les entiers entre 1 et 10

il affiche les entiers impairs entre 1 et 9

il affiche les entiers pairs entre 1 et 9

6 / 10

Ce bloc d'instructions affiche :

les nombres de 0 à 9

les nombres de 1 à 9

les nombres de 0 à 10

les nombres de 1 à 10

range(n) parcourt les n entiers de 0 inclus à n exclus.

7 / 10

Que renvoie mystere(5) ?

Une erreur

120

5

15

Si n est un entier, la fonction récursive mystere(n) calcule la somme des entiers de 0 à n.

8 / 10

Quelle instruction renvoie "tuple" ?

type(2,3,4)

type((2,3,4))

type([2,3,4])

type("2,3,4")

9 / 10

Qu'affiche ce programme si, dans la console interactive, l'utilisateur saisit 4 ?

une erreur

8

44

rien

La variable résultant d'un input est une chaîne de caractères. Si l'on souhaite obtenir un nombre, il ne faut pas oublier de convertir le résultat par le biais de a = float(input("Entrer un nombre : "))

10 / 10

Si a est un flottant et n est un entier, mystere(a,n) calcule :

a*n

a puissance n+1

n puissance a

a puissance n

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