MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

108

MP

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

2 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

3 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

4 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

5 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

6 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

7 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

8 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

9 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

10 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

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Espaces vectoriels normés

259

MP

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

2 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

3 / 10

GL(n,R) est

4 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

5 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

6 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

7 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

8 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

9 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

10 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

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Intégration

170

MP

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

2 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

3 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

4 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

5 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

6 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

7 / 10

La fonction ln est intégrable sur

8 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

9 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

10 / 10

La fonction Gamma est

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Probabilités

135

MP

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

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Algèbre

87

MP

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

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The average score is 45%

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224

MP

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si A est une matrice, P est une matrice inversible, Q = P^(-1) et D = QAP. Alors D^n =

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

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157

Algèbre générale

1 / 10

Le PGCD de 3080 et 364 est

2 / 10

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

3 / 10

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

4 / 10

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

5 / 10

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

6 / 10

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

7 / 10

Combien vaut l'indicatrice d'Euler de 57 ?

8 / 10

Quels éléments sont inversibles dans l'anneau Z/165Z ?

9 / 10

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

10 / 10

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

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Suites et séries

166

MP

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

2 / 10

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

3 / 10

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

4 / 10

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

5 / 10

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

6 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

7 / 10

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

8 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

9 / 10

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

10 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

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326

MP

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

2 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

3 / 10

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

4 / 10

La série de terme général ln(1+1/n) est

5 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

6 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

7 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

8 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

9 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

10 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

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