MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

140

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un minimum local

un maximum local

un point critique

un point col

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

2 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

df(I_n)(H) = nH

Faux

Vrai

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

3 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il faut qu'elle soit continue en a

il suffit qu'elle soit continue en a

4 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Vrai

Faux

5 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Vrai

Faux

6 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

différentiable en (0,0)

Rien de tout cela

continue en (0,0)

C^2 en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

7 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

colinéaire aux lignes de niveau

orthogonal aux lignes de niveau

8 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f peut admettre un extremum en un point non critique

f admet un extremum local en tout point critique

f admet un extremum global

tout extremum local est global

9 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Vrai

Faux

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

10 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

f est différentiable

df=f

df=0

f est continue

Votre score est

Le score moyen est 46%

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Espaces vectoriels normés

312

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

égale à 2

pas nécessairement définie

supérieure ou égale à 2

inférieure ou égale à 2

2 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

compact

ouvert

connexe par arcs

fermé

3 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Faux

Vrai dans un compact

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

4 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Faux

Vrai

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

5 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Vrai

Faux

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

6 / 10

Un compact est un fermé borné

Faux

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

7 / 10

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

A n'est pas ouverte

A n'est pas fermée

A est ouverte

A est fermée

8 / 10

GL(n,R) est

compact

fermé

connexe par arcs

ouvert

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

9 / 10

Sur un compact, une application continue est

lipschitizienne

linéaire

bornée

uniformément continue

10 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

vrai si K=C, faux si K=R

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

204

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

2 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

3 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Faux

Vrai

1 n'est pas intégrable sur R+

4 / 10

La fonction Gamma est

continue sur R*+

strictement convexe sur R*+

définie sur R*+

de limite infinie en l'infini

de classe C infini sur R*+

strictement croissante sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

5 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

6 / 10

La fonction ln est intégrable sur

sur aucun de ces intervalles

]0,1]

[1,+infini[

7 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^x e^(-t) dt

t^(x+1) e^(-t) dt

t^(x-1) e^(-t) dt

t^x e^(-t-1) dt

8 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R+

sur aucun de ces intervalles

sur R-

sur R

9 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Faux

Vrai

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

10 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n)! = n+1

Gamma(n+1) = n!

Gamma(n) = n!

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

153

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

X n'admet ni espérance ni variance finie

X admet une espérance et une variance finies

X admet une variance finie mais une espérance infinie

X admet une espérance finie mais une variance infinie

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

P(np)

B(n,p)

G(p)

B(p)

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

suit une loi de Poisson de paramètre 2

suit une loi de Poisson de paramètre 1

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{0, ..., n}

{1,..., n}

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

3,5

2,5

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY admet une espérance inconnue

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Vrai

Faux

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

103

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Vrai

Faux

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Vrai

Faux

L'intersection de I et de J est un idéal M de K[X]. Comme tous les idéaux de K[X] sont principaux, il existe un unique polynôme unitaire P qui engendre M, et donc qui divise tous les éléments communs à I et J.

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

R[X]

C[X]

Q[X]

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

P admet des racines réelles

P n'admet pas de racines réelles

P est réductible dans R[X]

P est irréductible dans R[X]

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

-4X+2

4X-2

4X+2

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Vrai

Faux

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

égal à X-z dans R[X]

divisible par X-z dans R[X]

égal à X²-2*Re(z)+|z|²

divisible par X²-2*Re(z)+|z|² dans R[X]

Soit D = PGCD(A,B). Comme A,B sont dans R[X], D aussi et donc D(z) = D(\bar z) = 0. Ainsi, (X-z)(X-\bar z) divise D, mais rien ne permet d'affirmer l'égalité.

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

X**2-16X+64

x**4+1

X**2-X-2

X**2+1

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Faux

Vrai

Votre score est

Le score moyen est 45%

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266

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est nilpotente

A est inversible

A est diagonalisable

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

diagonale

nulle

inversible

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

1 est valeur propre

A n'est pas inversible

-1 est valeur propre

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

vrai si K=R, faux si K=C

vrai si K=C, faux si K=R

faux si K=R ou C

vrai si K=R ou C

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A est diagonalisable

A n'est pas diagonalisable

A n'est pas inversible

A est inversible

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Vrai

Faux

Le polynôme caractéristique doit être scindé, mais pas nécessairement à racines simples. C'est néanmoins une condition suffisante de diagonalisabilité.

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Vrai

Faux

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Vrai

On ne peut pas savoir

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Faux

Vrai

Si A est une matrice triangulaire, alors

ses valeurs propres sont sur la diagonale

A est diagonalisable

A est inversible

Votre score est

Le score moyen est 73%

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168

Algèbre générale

1 / 10

L'ensemble des matrices de déterminant nul est un groupe pour le produit matriciel.

Faux

Vrai

Les matrices de déterminant nul ne sont pas inversibles pour le produit matriciel. Elles ne peuvent donc pas former un groupe pour cette opération.

2 / 10

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

trois éléments inversibles

un élément inversible

deux éléments inversibles

5 éléments inversibles

3 / 10

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

Vrai

Faux

Z/9Z est cyclique donc contient un élément d'ordre 9 alors que tous les éléments de (Z/3Z)^2 sont d'ordre 1 ou 3.

4 / 10

(Z/6Z,+,*) est...

un corps

un idéal

un anneau intègre mais pas un corps

un anneau non intègre

5 / 10

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Z/3Z x Z/5Z

Z/7Z

Z/6Z

6 / 10

(Z/4Z,+) contient

4 sous-groupes

2 sous-groupes

1 sous-groupe

3 sous-groupes

Il y a exactement trois sous-groupes:
{0}, Z/4Z et {0,2} (qui est isomorphe à Z/2Z)

7 / 10

Le groupe U(Z/5Z) des inversibles de Z/5Z contient...

4 éléments

5 éléments

1 élément

aucun élément

Comme 5 est premier, Z/5Z est un corps et donc tous ses éléments non nuls sont inversibles. U(Z/5Z) contient donc 4 éléments, et est en fait isomorphe à (Z/4Z,+).

8 / 10

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

9 / 10

Le PGCD de 3080 et 364 est

10 / 10

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Faux

Vrai

PGCD(33,121) = 11 donc 33 n'est pas inversible dans Z/121Z.

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

184

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

elle converge normalement sur [-R,R]

elle converge normalement sur ]-R,R[

elle converge uniformément sur ]-R,R[

elle converge normalement sur tout segment de ]-R,R[

2 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

+ l'infini

on ne peut pas savoir

3 / 10

La série de terme général cos(x)^n

converge normalement sur ]0,pi[

converge simplement sur R

ne converge pas sur ]0,pi[

converge simplement sur ]0,pi[

Sur ]0,\pi[, la borne sup de |cos(x)^n| est 1, donc il n'y a pas convergence normale. Néanmoins, |cos(x)|<1 donc il y a convergence simple (série géométrique).

Sur R, il n'y a pas convergence simple car le terme général ne tend pas simplement vers 0.

4 / 10

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

R_a est supérieur ou égal à R_b

R_a est strictement inférieur à R_b

R_a est inférrieur ou égal à R_b

R_a est strictement supérieur à R_b

5 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

converger absolument

converger

diverger grossièrement

diverger

6 / 10

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Vrai

Faux

Il faut ajouter une hypothèse de convergence uniforme.

7 / 10

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Faux

Vrai

Il faut que I soit un segment pour pouvoir l'affirmer (théorème de Weierstrass).

8 / 10

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

on ne peut rien dire

elle converge uniformément sur I

elle converge simplement sur I

9 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

son terme général converge uniformément vers 0

elle converge normalement

son terme général converge uniformément

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

10 / 10

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

sum n*a_n*x^(n-1)

sum (n+1)a_n x^(n+1)

sum a_n*(x^n)/n

sum a_n*x^(n+1)/(n+1)

Votre score est

Le score moyen est 46%

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367

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

les suites des sommes partielles sont équivalentes

les sommes des séries correspondantes sont égales

les séries sum u_n et sum v_n sont de même nature

les suites des restes partielles sont équivalentes

2 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Vrai

Faux

Le terme général est équivalent à 1/n^2. On conclut par comparaison.

3 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

on ne peut pas conclure

la série de terme général u_n diverge

la série de terme général u_n converge

Appliquer le critère de d'Alembert

4 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut (1-x^(n+1))/(1-x)

diverge

converge, et sa somme vaut 1/(1-x)

converge, et sa somme vaut (1-x^n)/(1-x)

5 / 10

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Elle converge vers 1

on ne peut pas conclure

Elle converge vers u_0-1

Elle diverge grossièrement

6 / 10

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Vrai, si on ajoute l'hypothèse de convergence absolue.

Vrai

Faux

C'est déjà faux pour les sommes finies. Ce n'est pas la série \sum u_n*v_n qu'il faut considérer mais le produit de Cauchy des séries. Et il faut dans ce cas ajouter une hypothèse de convergence absolue.

7 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

V_n = o(U_n)

U_n = o(V_n)

T_n = o(R_n)

R_n = o(T_n)

8 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

absolument convergente

divergente

semi-convergente

grossièrement divergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

9 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

grossièrement divergente

convergente

divergente

semi-convergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

10 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

divergente

absolument convergente

grossièrement divergente

semi-convergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

Votre score est

Le score moyen est 34%

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