MP : Quiz d’apprentissage

Si f est différentiable sur un compact...

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Si f est différentiable, le gradient de f est

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Sur un compact, une application continue est

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Dans C, le cercle trigonométrique est

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Un compact est un fermé borné

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

La fonction ln est intégrable sur

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

La fonction cos est polynomiale

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Si A est une matrice triangulaire, alors

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Soit p un nombre premier et G un groupe fini d'ordre p. Alors G est abélien

L'ensemble des matrices de déterminant nul est un groupe pour le produit matriciel.

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

La série de terme général sin(2/n²) est

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

La série de terme général ln(n)/n est

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.