MP : Quiz d’apprentissage

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

Si f est différentiable sur un compact...

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

Si f est différentiable, le gradient de f est

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

GL(n,R) est

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

La fonction ln est intégrable sur

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

La fonction Gamma est

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

Si A est une matrice, P est une matrice inversible, Q = P^(-1) et D = QAP. Alors D^n =

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Le PGCD de 3080 et 364 est

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

Combien vaut l'indicatrice d'Euler de 57 ?

Quels éléments sont inversibles dans l'anneau Z/165Z ?

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

La série de terme général ln(1+1/n) est

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Pour que la série de terme général u_n converge...