MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

f est différentiable

f est continue

df=f

df=0

2 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un maximum local

un point col

un minimum local

un point critique

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

3 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Vrai

Faux

4 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

colinéaire aux lignes de niveau

orthogonal aux lignes de niveau

5 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Faux

Vrai

6 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

df(I_n)(H) = nH

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

Vrai

Faux

7 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Rien de tout cela

différentiable en (0,0)

continue en (0,0)

C^2 en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

8 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f admet un extremum global

tout extremum local est global

f peut admettre un extremum en un point non critique

f admet un extremum local en tout point critique

9 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un maximum local en a

un minimum local en a

un point col en a

10 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Faux

Vrai

Your score is

The average score is 51%

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Espaces vectoriels normés

112

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Vrai

Faux

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

2 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Faux

Vrai

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

3 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Vrai

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

4 / 10

GL(n,R) est

compact

fermé

connexe par arcs

ouvert

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

5 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai dans un compact

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Faux

6 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Vrai

Faux

Vrai si K=C, Faux si K=R

7 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Faux

Vrai

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

8 / 10

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

A n'est pas fermée

A n'est pas ouverte

A est fermée

A est ouverte

9 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

vrai si K=C, faux si K=R

Faux

Vrai

10 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

supérieure ou égale à 2

pas nécessairement définie

égale à 2

inférieure ou égale à 2

Your score is

The average score is 47%

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Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

2 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^x e^(-t) dt

t^(x+1) e^(-t) dt

t^x e^(-t-1) dt

t^(x-1) e^(-t) dt

3 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R

sur aucun de ces intervalles

sur R-

sur R+

4 / 10

La fonction Gamma est

de classe C infini sur R*+

définie sur R*+

de limite infinie en l'infini

strictement convexe sur R*+

strictement croissante sur R*+

continue sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

5 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

divergente

semi-convergente

convergente

absolument convergente

6 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Faux

Vrai

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

7 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n) = n!

Gamma(n)! = n+1

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n+1) = n!

8 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

R+

[1,+infini[

]0,1]

sur aucun de ces intervalles

9 / 10

La fonction ln est intégrable sur

sur aucun de ces intervalles

[1,+infini[

]0,1]

10 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

Your score is

The average score is 51%

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Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

1 fois

2 fois

3 fois

4 fois

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

G(p)

B(p)

B(n,p)

P(np)

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois géométriques

les lois de Poisson

les lois uniformes

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{1,..., n}

{0, ..., n}

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Faux

Vrai

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi de Bernoulli

une loi de Poisson

une loi géométrique

une loi binomiale

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)

E[X]²

V(X)+E[X]²

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

XY admet une espérance inconnue

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

Your score is

The average score is 63%

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Algèbre

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Vrai

Faux

L'intersection de I et de J est un idéal M de K[X]. Comme tous les idéaux de K[X] sont principaux, il existe un unique polynôme unitaire P qui engendre M, et donc qui divise tous les éléments communs à I et J.

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

P n'est pas scindé

on ne peut pas conclure

P est scindé à racines simples

P est scindé mais pas à racines simples

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

de degré 2

nulle

constante non nulle

de degré 1

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Les polynômes constants

Les polynômes n'admettant pas de racines réelles

Les polynômes de degré 2 à discriminant négatif

Les polynômes de degré 1

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

K[X]

L(E,F)

K_n[X]

M(n,K)

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

X**2-X-2

X**2-16X+64

X**2+1

x**4+1

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Vrai

Faux

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

4X+2

-4X+2

4X-2

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

3 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

Vrai

Faux

X²-2 est irréductible dans Q[X] mais se factorise dans R[X]

Your score is

The average score is 45%

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139

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Toute matrice de M(n,R) est

diagonalisable dans M(n,C)

diagonalisable dans M(n,R)

trigonalisable dans M(n,C)

trigonalisable dans M(n,R)

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

A est nilpotente

A est inversible

A est nulle

A est diagonalisable

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Vrai

Faux

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Vrai

Faux

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

nA+I

A+I

A^n + I

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est inversible

A est diagonalisable

A est nilpotente

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Vrai

Faux

Si le polynôme minimal est scindé sur C mais pas sur R, la matrice est diagonalisable dans M(n,C) mais pas dans M(n,R). C'est par exemple le cas pour une matrice de rotation.

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A est inversible

A est diagonalisable

A n'est pas inversible

A n'est pas diagonalisable

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Faux

Vrai

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

son polynôme caractéristique est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

son polynôme caractéristique est scindé à racines simples

son polynôme minimal est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

son polynôme minimal est scindé à racines simples

Your score is

The average score is 72%

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110

Algèbre générale

1 / 10

(Z/6Z,+,*) est...

un anneau non intègre

un idéal

un anneau intègre mais pas un corps

un corps

2 / 10

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

3 / 10

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

au moins d

au plus d

on ne peut pas savoir

4 / 10

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Transposition

inversion

Déterminant

Trace

5 / 10

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

Z/3Z x Z/20Z

Z/12Z x Z/5Z

Z/10Z x Z/6Z

Z/2Z x Z/30Z

6 / 10

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

Z/6Z

Z/5Z

Z/8Z

Z/12Z

7 / 10

Soit p un nombre premier et G un groupe fini d'ordre p. Alors G est abélien

Vrai

Faux

Un groupe d'ordre p premier est nécessairement cyclique ; il est en particulier abélien.

8 / 10

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Z/3Z x Z/5Z

Z/6Z

Z/7Z

9 / 10

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

(Z/4Z,+)

(Z/3Z,+)

(Z/2Z,+)

(Z,+)

Il y a exactement deux éléments inversibles dans l'anneau Z/4Z donc U(Z/4Z) est d'ordre 2, et donc isomorphe à Z/2Z.

10 / 10

Combien vaut l'indicatrice d'Euler de 57 ?

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The average score is 52%

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Suites et séries

107

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...pas forcément

...simplement vers une primitive de f

...uniformément vers une primitive de f

...carrément !

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

2 / 10

La série de terme général cos(x)^n

ne converge pas sur ]0,pi[

converge simplement sur R

converge normalement sur ]0,pi[

converge simplement sur ]0,pi[

Sur ]0,\pi[, la borne sup de |cos(x)^n| est 1, donc il n'y a pas convergence normale. Néanmoins, |cos(x)|<1 donc il y a convergence simple (série géométrique).

Sur R, il n'y a pas convergence simple car le terme général ne tend pas simplement vers 0.

3 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

f est dérivable sur I

4 / 10

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

R_a est strictement supérieur à R_b

R_a est supérieur ou égal à R_b

R_a est strictement inférieur à R_b

R_a est inférrieur ou égal à R_b

5 / 10

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

converge simplement sur R

converge uniformément sur R

converge normalement sur R

ne converge d'aucune façon sur R

Pour tout x réel, on a |sin(2*n*x)/n| <= 1/n. Il y a ainsi CU, et donc CS sur R.

6 / 10

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

R_1 est strictement plus petit que R_2

R_1 est strictement plus grand que R_2

R_1 = R_2

on ne peut pas conclure

7 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

on ne peut pas conclure

f est continue sur I

f présente au plus un nombre fini de points de discontinuité

f est dérivable sur I

8 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

elle converge normalement sur tout segment de ]-R,R[

elle converge normalement sur [-R,R]

elle converge normalement sur ]-R,R[

elle converge uniformément sur ]-R,R[

9 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

son terme général converge uniformément vers 0

son terme général converge uniformément

elle converge normalement

10 / 10

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

ça dépend des cas

R est inférieur ou égal à R'

R est supérieur ou égal à R'

R=R'

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234

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

les sommes des séries correspondantes sont égales

les suites des sommes partielles sont équivalentes

les séries sum u_n et sum v_n sont de même nature

les suites des restes partielles sont équivalentes

2 / 10

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Faux

Vrai

la décroissance n'est pas stable par équivalence

3 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

divergente

absolument convergente

grossièrement divergente

semi-convergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

4 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

la série de terme général u_n diverge

la série de terme général u_n converge

on ne peut pas conclure

Appliquer le critère de d'Alembert

5 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut 1/(1-x)

converge, et sa somme vaut (1-x^(n+1))/(1-x)

diverge

converge, et sa somme vaut (1-x^n)/(1-x)

6 / 10

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Vrai

Vrai, si on ajoute l'hypothèse de convergence absolue.

Faux

C'est déjà faux pour les sommes finies. Ce n'est pas la série \sum u_n*v_n qu'il faut considérer mais le produit de Cauchy des séries. Et il faut dans ce cas ajouter une hypothèse de convergence absolue.

7 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

divergente

semi-convergente

absolument convergente

grossièrement divergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

8 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

il faut que le terme général tende vers 0

il suffit que le terme général tende vers 0

9 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Vrai

Faux

on ne peut pas conclure

Si les séries convergent absolument, elles convergent donc (u_n) tend vers 0. A partir d'un certain rang, on a donc |u_n|<1 et |u_nv_n| < |v_n|. On conclut par comparaison.

10 / 10

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Elle converge vers 1

Elle converge vers u_0-1

on ne peut pas conclure

Elle diverge grossièrement

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