MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

C^2 en (0,0)

continue en (0,0)

différentiable en (0,0)

Rien de tout cela

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

2 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

df=f

f est différentiable

df=0

f est continue

3 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Vrai

Faux

4 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un minimum local

un point col

un maximum local

un point critique

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

5 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Vrai

Faux

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

6 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il suffit qu'elle soit continue en a

il faut qu'elle soit continue en a

7 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

orthogonal aux lignes de niveau

colinéaire aux lignes de niveau

8 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un point col en a

un minimum local en a

un maximum local en a

9 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Vrai

Faux

10 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f admet un extremum local en tout point critique

f admet un extremum global

tout extremum local est global

f peut admettre un extremum en un point non critique

Your score is

The average score is 45%

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Espaces vectoriels normés

164

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai dans un compact

Vrai

Faux

2 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Faux

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

3 / 10

GL(n,R) est

compact

connexe par arcs

fermé

ouvert

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

4 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

connexe par arcs

ouvert

fermé

compact

5 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Faux

Vrai

Vrai si K=C, Faux si K=R

6 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

compact

ouvert

connexe par arcs

fermé

7 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Faux

Vrai

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

8 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

vrai si K=C, faux si K=R

Faux

Vrai

9 / 10

Un compact est un fermé borné

Faux

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

10 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Vrai

Faux

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

Your score is

The average score is 50%

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Intégration

129

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

2 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^(x-1) e^(-t) dt

t^(x+1) e^(-t) dt

t^x e^(-t-1) dt

t^x e^(-t) dt

3 / 10

La fonction ln est intégrable sur

sur aucun de ces intervalles

]0,1]

[1,+infini[

4 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

5 / 10

La fonction Gamma est

strictement convexe sur R*+

de limite infinie en l'infini

définie sur R*+

continue sur R*+

de classe C infini sur R*+

strictement croissante sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

6 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

]0,1]

sur aucun de ces intervalles

R+

[1,+infini[

7 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

convergente

semi-convergente

divergente

absolument convergente

8 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Vrai

Faux

1 n'est pas intégrable sur R+

9 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n) = n!

Gamma(n+1) = n!

Gamma(n)! = n+1

Gamma(n) = (n+1)!

10 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

Your score is

The average score is 53%

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Probabilités

108

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

suit une loi de Poisson de paramètre 2

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

suit une loi de Poisson de paramètre 1

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)

E[X]²

V(X)+E[X]²

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois de Poisson

les lois uniformes

les lois géométriques

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

XY admet une espérance inconnue

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

B(p)

G(p)

P(np)

B(n,p)

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi de Poisson

une loi binomiale

une loi géométrique

une loi de Bernoulli

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Vrai

Faux

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{0, ..., n}

{1,..., n}

Your score is

The average score is 64%

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Algèbre

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Faux

Vrai

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

4X+2

4X-2

-4X+2

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Faux

Vrai

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Vrai

Faux

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Faux

Vrai

L'intersection de I et de J est un idéal M de K[X]. Comme tous les idéaux de K[X] sont principaux, il existe un unique polynôme unitaire P qui engendre M, et donc qui divise tous les éléments communs à I et J.

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Faux

Vrai

(X²+1)² n'a pas de racines réelles mais est réductible dans R[X].

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

P est réductible dans R[X]

P admet des racines réelles

P est irréductible dans R[X]

P n'admet pas de racines réelles

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Vrai

Faux

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

on ne peut pas conclure

P est scindé à racines simples

P n'est pas scindé

P est scindé mais pas à racines simples

Your score is

The average score is 46%

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184

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

A est diagonalisable dans M(n,C)

A est trigonalisable dans M(n,C)

A est trigonalisable dans M(n,R)

A est diagonalisable dans M(n,R)

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

1 est valeur propre

A n'est pas inversible

-1 est valeur propre

Toute matrice de M(n,R) est

trigonalisable dans M(n,C)

diagonalisable dans M(n,R)

diagonalisable dans M(n,C)

trigonalisable dans M(n,R)

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

A est nilpotente

A est diagonalisable

A est inversible

A est nulle

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

On ne peut pas savoir

Vrai

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Vrai

Faux

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

son polynôme minimal est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

son polynôme caractéristique est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

son polynôme minimal est scindé à racines simples

son polynôme caractéristique est scindé à racines simples

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Faux

Vrai

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Vrai

Faux

Your score is

The average score is 73%

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129

Algèbre générale

1 / 10

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

au moins d

on ne peut pas savoir

au plus d

2 / 10

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

3 / 10

Combien vaut l'indicatrice d'Euler de 57 ?

4 / 10

(Z/6Z,+,*) est...

un idéal

un corps

un anneau intègre mais pas un corps

un anneau non intègre

5 / 10

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

6 / 10

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

Z/12Z

Z/5Z

Z/8Z

Z/6Z

7 / 10

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

n éléments

n(n+1)/2 éléments

n(n-1)/2 éléments

n! éléments

8 / 10

Si A et B sont des anneaux et que f est un morphisme d'anneaux de A vers B, alors...

ker(f) est un idéal de A

im(f) est un sous-anneau de B

ker(f) est un sous-anneau de A

im(f) est un idéal de B

9 / 10

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Faux

Vrai

PGCD(33,121) = 11 donc 33 n'est pas inversible dans Z/121Z.

10 / 10

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Z/3Z x Z/5Z

Z/7Z

Z/6Z

Your score is

The average score is 54%

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Suites et séries

132

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

+ l'infini

on ne peut pas savoir

2 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...pas forcément

...uniformément vers une primitive de f

...simplement vers une primitive de f

...carrément !

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

3 / 10

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Faux

Vrai

Il faut que I soit un segment pour pouvoir l'affirmer (théorème de Weierstrass).

4 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

elle converge normalement sur tout segment de ]-R,R[

elle converge normalement sur [-R,R]

elle converge uniformément sur ]-R,R[

elle converge normalement sur ]-R,R[

5 / 10

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

R = 1

R est strictement plus grand que 1

R = 0

R est strictement plus petit que 1

6 / 10

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Faux

Vrai

Il faut ajouter une hypothèse de convergence uniforme.

7 / 10

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

f peut présenter une infinité de points de discontinuité

f est continue sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points

f est continue sur I

La continuité est une propriété locale, et chaque point de I admet un voisinage compact, donc la CU sur tout segment suffit à assurer la continuité en tout point de I.

8 / 10

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

converge simplement sur R

ne converge d'aucune façon sur R

converge uniformément sur R

converge normalement sur R

Pour tout x réel, on a |sin(2*n*x)/n| <= 1/n. Il y a ainsi CU, et donc CS sur R.

9 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

f est dérivable sur I

10 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

on ne peut pas conclure

f présente au plus un nombre fini de points de discontinuité

f est dérivable sur I

f est continue sur I

Your score is

The average score is 43%

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273

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Vrai

Faux

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

2 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

divergente

semi-convergente

grossièrement divergente

absolument convergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

3 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

grossièrement divergente

semi-convergente

divergente

convergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

4 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut 1/e

converge, et sa somme vaut ln(2)

converge, et sa somme vaut e

diverge

5 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

V_n = o(U_n)

T_n = o(R_n)

U_n = o(V_n)

R_n = o(T_n)

6 / 10

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

on ne peut pas conclure

Elle converge vers 1

Elle diverge grossièrement

Elle converge vers u_0-1

7 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Vrai

Faux

Le terme général est équivalent à 1/n^2. On conclut par comparaison.

8 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

les suites des sommes partielles sont équivalentes

les séries sum u_n et sum v_n sont de même nature

les suites des restes partielles sont équivalentes

les sommes des séries correspondantes sont égales

9 / 10

La série de terme général ln(1+1/n) est

semi-convergente

divergente

absolument convergente

grossièrement divergente

Son terme général est positif et équivalent à 1/n. On conclut par comparaison.

10 / 10

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Faux

Vrai, si on ajoute l'hypothèse de convergence absolue.

Vrai

C'est déjà faux pour les sommes finies. Ce n'est pas la série \sum u_n*v_n qu'il faut considérer mais le produit de Cauchy des séries. Et il faut dans ce cas ajouter une hypothèse de convergence absolue.

Your score is

The average score is 33%

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