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Le sujet de mathématiques de CCINP PSI 2023 était composé d’un exercice d’analyse (fonction de Bessel), d’un problème de probabilités (marches aléatoires sur Z) et d’un problème d’algèbre linéaire (convergence des puissances itérées d’une matrice).
Le premier exercice, assez complet, faisait intervenir de nombreuses notions au programme d’analyse : intégrales à paramètres, équations différentielles, séries de fonctions, etc. Il visait à étudier une fonction de Bessel particulière.
Le problème de probabilités portait sur la question très classique d’une marche aléatoire sur Z, et plus particulièrement sur la question du retour à l’origine. La résolution du problème, très bien guidée, faisait surtout appel à du calcul algébrique et à un peu de séries entières, mais globalement peu de raisonnements purement probabilistes.
Le problème d’algèbre visait à étudier la convergence vers 0 de la suite des puissances itérées d’une matrice de rayon spectral strictement plus petit que 1. Là aussi le problème est très guidé et ne faisait pas appel à de réels raisonnements topologies. La dernière partie propose une application à la méthode de Gauss-Seidel de résolution numérique de systèmes linéaires.
Relativement long, ce sujet abordait de très nombreuses parties du programme et l’étudiant sagace aura su tirer parti de la diversité des possibilités qui lui étaient offertes pour maximiser le nombre de points.
Comme toujours, je rappelle que je n’ai aucun lien avec les jurys de concours et que ce corrigé n’est en rien officiel. Il peut contenir des coquilles, maladresses ou erreurs. N’hésitez pas à me le signaler le cas échéant. Aussi, dans ce corrigé en particulier, j’ai pris la liberté de quelques ellipses pour gagner un peu de temps de rédaction, une copie mériterait parfois plus de détails.