PCSI : Quiz d’apprentissage

Algèbre

/10

PCSI

Calcul algébrique

Dix questions de calcul algébrique tirées au hasard dans la base de données.

1 / 10

(x^2)^3 =

x^5

x^8

x^6

2 / 10

Comment est |x+y| par rapport à |x|+|y| ?

supérieur ou égal

inférieur ou égal

égal

on ne peut pas savoir

3 / 10

(x-1)(x-2) = ?

x²-3x+2

x²-3x-2

x²+3x+2

4 / 10

1+x+x²+....+x^n =

(1/(1-x))^(n+1)

1/(1-x)

(1-x^(n+1))/(1-x)

(1-x^n)/(1-x)

5 / 10

P(x) = x²-5x+4 admet pour racine évidente

-1

Aucun des trois

0

1

6 / 10

La racine de 2 est environ égale à

4

1,4

1,6

0,9

7 / 10

x² = y² si et seulement si

x = y

|x| = |y|

x = -y

x = y et x et y sont positifs

8 / 10

Le nombre e est approximativement égal à

2,7

3,1

1,4

9 / 10

Si a et b sont des réels, (a+b)^3 =

a^3+3ab+b^3

a^3+3a²b+3ab²+b^3

a^3+b^3

10 / 10

exp(3x)/exp(2x) =

exp(3/2)

exp(5x)

exp(x)

Your score is
The average score is 78%
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PCSI

Trigonométrie circulaire

Des questions autour du cercle trigonométrique : cosinus, sinus et tangente.
10 questions prises au hasard dans la base de données sur ce sujet.

1 / 10

La fonction cosinus est :

décroissante sur [-pi,pi]

croissante sur [0,pi]

décroissante sur [0,pi]

croissante sur [-pi,pi]

2 / 10

cos(a)+cos(b)=

2*sin((a+b)/2)*sin((a-b)/2)

2*cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2)

2*cos((a+b)/2)*sin((a-b)/2)

3 / 10

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = sin(3x). Alors une primitive F de f sur R est donnée par F(x) =

-cos(3x)

-cos(3x)/3

cos(3x)/3

cos(3x)

4 / 10

sqrt(2)/2 =

cos(pi/2)

cos(pi/3)

cos(pi/6)

cos(pi/4)

5 / 10

sin(2a)=

2cos(a)sin(a)

2sin²(a)-1

1-2cos²(a)

6 / 10

tan(pi/4) =

1

-1

Non défini

0

7 / 10

La fonction sinus est

croissante sur [-pi,pi]

Rien de tout cela

décroissante sur [0,2*pi]

croissante sur [0,pi]

8 / 10

Ceci est la représentation graphique de la fonction définie par f(x) =

sin(2*x+pi/4)

2*sin(x+pi/4)

2*sin(x-pi/4)

sin(2*x-pi/4)

9 / 10

cos(x+pi/2) =

sin(x)

-sin(x)

-cos(x)

cos(x)

10 / 10

sin(a-b)=

cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a)

sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)

Your score is
The average score is 59%
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Nombres complexes et trigonométrie

Des questions sur les nombres complexes et leurs relations avec la trigonométrie.
10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

sin(a+b)=

cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

cos(a)sin(b)+sin(a)cos(b)

cos(a)sin(b)-sin(a)cos(b)

cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

2 / 10

Si on note bar(z) le conjugué de z, alors z-bar(z) =

2*Im(z)

2*i*Im(z)

Im(z)

2*Re(z)

3 / 10

La linéarisation de cos^3(x) est

3*cos(x)/4+cos(3*x)/4

3*sin(x)/4-sin(3*x)/4

cos^4(x)/4

cos(3x)

4 / 10

"Pour tous réels a,b, on a exp(i*a)*exp(i*b) = exp(i*(a+b))" se démontre

par les propriétés de l'exponentielle

à l'aide des formules trigonométriques

pas car elle est fausse

par récurrence

5 / 10

tan(a+b)=

(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))

(tan(a)-tan(b))/(1-tan(a)tan(b))

(tan(a)+tan(b))/(1+tan(a)tan(b))

6 / 10

sin(a)cos(b)=

1/2*(sin(a+b)+sin(a-b))

1/2*(cos(a+b)+cos(a-b))

1/2*(cos(a+b)-cos(a-b))

1/2*(sin(a+b)-sin(a-b))

7 / 10

Quels nombres complexes sont des imaginaires purs ?
(plusieurs réponses possibles)

exp(15*i*pi/2)

exp(i*pi/4)

exp(18*i*pi/2)

exp(i*pi/2)

8 / 10

exp(i*x)-exp(-i*x) =

2*i*cos(x)

2*i*sin(x)

2*sin(x)

2*cos(x)

9 / 10

cos(a)cos(b)=

1/2*(cos(a+b)-cos(a-b))

1/2*(cos(a+b)+cos(a-b))

1/2*(sin(a+b)-sin(a-b))

1/2*(sin(a+b)+sin(a-b))

10 / 10

arg(j) =

pi/3

-2*pi/3

2*pi/3

-pi/3

Your score is
The average score is 61%
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47

Dénombrement

Des questions sur le dénombrement.
10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

On lance successivement trois fois un dé à six faces. Combien y a-t-il de suites de résultats possibles ?

6^3

2^6

3 parmi 6

3^6

2 / 10

Combien y a-t-il d'applications injectives de [[1,n]] vers [[1,m]], avec n<m ?

Le nombre de n-arrangements de [[1,m]]

n parmi m

Le nombre de m-arrangements de [[1,n]]

n^m

3 / 10

Combien y a-t-il de suites de Pile/Face possibles pour n lancers consécutifs d'une pièce ?

2 parmi n

2^n

n^2

n

4 / 10

On tire successivement et avec remise p boules dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à n. Combien y a-t-il de tirages distincts possibles ?

p parmi n (combinaison)

n^p (p-liste)

n!/(n-p)! (arrangement)

p^n (n-liste)

5 / 10

Le coefficient binomial "2 parmi n" est égal à

n(n+1)/2

2

n

n(n-1)/2

6 / 10

Combien y a-t-il de façons de cocher quatre cases distinctes dans un quadrillage à n lignes et n colonnes ?

(4 parmi n)²

4 parmi n²

n^4

4 parmi n

7 / 10

On tire successivement et sans remise p boules dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à n. Combien y a-t-il de tirages distincts possibles ?

p parmi n (combinaison)

p^n (n-liste)

n!/(n-p)! (arrangement)

n^p (p-liste)

8 / 10

La somme pour k allant de 0 à n des coefficients binomiaux "k parmi n" est égale à

n

2^n

k^n

n!

9 / 10

Combien y a-t-il de bijections de [[1,6]] vers [[1,5]] ?

0

6^5

5^6

5 parmi 6

10 / 10

Combien existe-t-il d'applications surjectives de [[1,n]] vers {0,1} ?

0

2^n-1

2^n

2^n-2

Your score is
The average score is 56%
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Polynômes

Des questions sur les polynômes à coefficients réels ou complexes.
10 questions prises au hasard dans la base.

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

P est irréductible dans R[X]

P admet des racines réelles

P est réductible dans R[X]

P n'admet pas de racines réelles

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Les polynômes de degré 2 à discriminant négatif

Les polynômes constants

Les polynômes n'admettant pas de racines réelles

Les polynômes de degré 1

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Faux

Vrai

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

2 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

La fonction cos est polynomiale

Vrai

On ne peut pas savoir

Faux

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

E =0, a = 4, b = 5

E non nul 0, a = -4, b = 5

E =0, a = -4, b = 5

E =0, a = 4, b = -5

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

de degré 2

nulle

de degré 1

constante non nulle

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Faux

Vrai

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Vrai

Faux

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Vrai

Faux

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Analyse

PCSI

Dérivées et primitives

Des calculs classiques de dérivées et de primitives.
10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Une primitive de ln(x) est

1/x

xln(x)-x

ln(x)-x

1/ln(x)

2 / 10

Une primitive de x/(x²+1) est

Arctan(x)

ln(x²+1)

x*Arctan(x)

1/2*ln(x²+1)

3 / 10

Une primitive de cos(x)*cos(2x) est

cos(3x)

-2cos(x)^3/3

sin(3x)

sin(x)/2+sin(3x)/6

4 / 10

Une primitive sur R* de 1/x est

ln(x)

-1/x²

ln(|x|)

1/x²

5 / 10

La dérivée de ch(3x) est

3*sh(3x)

-sh(3x)

-3*sh(3x)

sh(3x)

6 / 10

La dérivée de Arccos(-x) est

-1/sqrt(1-x²)

1/sqrt(1+x²)

1/sqrt(1-x²)

-1/sqrt(1+x²)

7 / 10

Une primitive de 1/(1+x²) est :

-1/(1+x)

1/(1+x)

Arctan(x)

ln((1+x)/(1-x))

8 / 10

La dérivée de exp(3x²+x+1) est

exp(3x²+x+1)

(6x+1)/(3x²+x+1)

(6x+1)*exp(6x+1)

(6x+1)*exp(3x²+x+1)

9 / 10

Si u est dérivable, la dérivée de u^n est

n*u^(n-1)

u^(n+1)/(n+1)

n*u'*u^(n-1)

n*u'^(n-1)

10 / 10

La dérivée de log_2(3x^2+1) est

1/(ln(2)*(3x²+1))

6x/(ln(2)*(3x²+1))

1/(2*(3x²+1))

6x/(2*(3x²+1))

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The average score is 52%
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Fondamentaux du formalisme

Les symboles mathématiques

Alphabet grec, symboles variés, etc. Quels sont leurs noms ?
Testez vos connaissances en 10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

ρ se lit

do

tau

rho

pô

2 / 10

Φ se lit

Chi

Psi

Xi

Phi

3 / 10

λ se lit

mu

lu

lambda

lambada

4 / 10

θ se lit

eta

zeta

theta

beta

5 / 10

ι se lit

jota

eta

iota

lambda

6 / 10

Que signifie ce symbole ?

appartenance

strictement inférieur

inclusion

implication

7 / 10

"A⊆B" se lit

A contient B

A est inclus dans B

A appartient à B

A est strictement inclus dans B

8 / 10

π se lit

pi

pee

pih

pie

9 / 10

Δ se lit

Nabla

Delta

Theta

b²-4ac

10 / 10

α se lit

lambda

alpha

gamma

sigma

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PCSI

Formalisme et logique

Questions autour de la logique formelle et des fondamentaux du formalisme mathématique.

1 / 10

Soit x un réel. Si on note P l'assertion "x est un entier relatif" et Q l'assertion "x est le carré d'un entier", alors on a :

P équivaut à Q

P implique Q

Q implique P

2 / 10

Si f est une fonction définie sur un ensemble I, la négation de "f est strictement positive" est :

Pour tout x dans I, f(x) est strictement négatif

Il existe x dans I tel que f(x) est négatif

Pour tout x dans I, f(x) est négatif

Il existe x dans I tel que f(x) est strictement négatif

3 / 10

L'assertion "Pour tout réel x strictement positif, il existe un réel y tel que y<x" est :

Vraie

Indécidable

Fausse

4 / 10

L'ensemble des solutions réelles de l'équation x²+1=0

est la paire {-1,1}

est vide

est la paire {-i,i}

n'existe pas

5 / 10

Une fonction f est décroissante sur I si et seulement si, pour tous x et y dans I, on a :

x inférieur à y implique f(x) inférieur à f(y)

x inférieur à y implique f(x) supérieur à f(y)

x strictement inférieur à y implique f(x) strictement inférieur à f(y)

x strictement inférieur à y implique f(x) strictement supérieur à f(y)

6 / 10

Soient E = {1,..., 10}, A = {1,2,3}, B = {3,4,5} et C = {6,7,8,9,10}. Alors A, B et C forment

une partition de E

un recouvrement de E

ni l'un, ni l'autre

7 / 10

L'assertion "Pour tout y dans [-1,1], il existe un unique x tel que cos(x)=1" est :

Fausse

Indécidable

Vraie

8 / 10

Si A = {1,2,3,5} et B = {2,3,4}, alors la réunion de A et de B contient :

2 éléments

8 éléments

3 éléments

5 éléments

9 / 10

"Si I et J sont des intervalles, alors la réunion de I et de J est un intervalle"

Vrai si I et J ne sont pas disjoints

Vrai si I et J sont disjoints

Tout le temps vrai

Tout le temps faux

10 / 10

Une propriété P(n) qui s'initialise pour n=1 et qui est héréditaire est vraie :

uniquement si n est supérieur ou égal à 2

pour tout entier naturel n non nul

pour tout entier naturel n

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Informatique

ITC

Python - niveau 1

Dix questions simples, prises au hasard dans la base de données et portant sur les bases de la syntaxe Python. Ces questions sont pour l'essentiel accessibles dès le début du cursus en CPGE.

1 / 10

Que renvoie l'instruction 3*'a'

'aaa'

'a' 'a' 'a'

'3a'

une erreur

2 / 10

Que trace le script suivant ?

Rien

Un triangle

Un carré

Deux lignes brisées

Ce script trace la ligne brisée joignant dans cet ordre A-B-C-D. Mais comme A et D sont confondus ici, on obtient un triangle.

3 / 10

Que fait ce bloc d'instructions ?

il affiche les entiers entre 1 et 9

il affiche les entiers entre 1 et 10

il affiche les entiers pairs entre 1 et 9

il affiche les entiers impairs entre 1 et 9

4 / 10

Après exécution de l'instruction L = [k**2 for k in range(1,10,2)], la liste L contient les valeurs :

4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,100

1, 9, 25, 49, 81

2, 6, 10, 14, 18

5 / 10

Que contient la liste L après cette instruction ?

Les nombres impairs de 1 à 9

Les nombres pairs entre 0 à 8

Les nombres pairs entre 0 à 10

Les nombres entre 0 à 9

6 / 10

Que renvoie l'instruction suivante : (2=1) and (3>0)

False

une erreur

rien

True

L'instruction (2=1) génère une erreur car elle tente d'affecter une constante à une autre. On aurait ici dû taper (2==1) pour effectuer une comparaison.

7 / 10

Après cette suite d'instructions, la variable a contient la valeur :

'a'

2

'b'

3

8 / 10

Quel est le nombre affiché à l'issue de ces instructions ?

9

11

1

10

9 / 10

Que renvoie l'instruction suivante : True or False

rien

une erreur

False

True

10 / 10

Ce bloc d'instructions affiche :

les nombres de 1 à 10

les nombres de 1 à 9

les nombres de 0 à 10

les nombres de 0 à 9

range(n) parcourt les n entiers de 0 inclus à n exclus.

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