MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

148

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un minimum local en a

un maximum local en a

un point col en a

2 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Faux

Vrai

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

3 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f admet un extremum global

tout extremum local est global

f peut admettre un extremum en un point non critique

f admet un extremum local en tout point critique

4 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Vrai

Faux

5 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Rien de tout cela

C^2 en (0,0)

différentiable en (0,0)

continue en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

6 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

colinéaire aux lignes de niveau

orthogonal aux lignes de niveau

7 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

8 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un point col

un point critique

un maximum local

un minimum local

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

9 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

df(I_n)(H) = nH

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

Faux

Vrai

10 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il suffit qu'elle soit continue en a

il faut qu'elle soit continue en a

Votre score est

Le score moyen est 46%

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Espaces vectoriels normés

325

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

A n'est pas fermée

A est fermée

A est ouverte

A n'est pas ouverte

2 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Faux

Vrai

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

3 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

ouvert

compact

connexe par arcs

fermé

4 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Vrai

Faux

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

5 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

ouvert

connexe par arcs

compact

fermé

6 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Vrai

Faux

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

7 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Faux

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

8 / 10

Un compact est un fermé borné

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

9 / 10

Sur un compact, une application continue est

lipschitizienne

linéaire

bornée

uniformément continue

10 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Vrai

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

212

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R-

sur R+

sur aucun de ces intervalles

sur R

2 / 10

La fonction ln est intégrable sur

]0,1]

sur aucun de ces intervalles

[1,+infini[

3 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

4 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

5 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Vrai

Faux

1 n'est pas intégrable sur R+

6 / 10

La fonction Gamma est

strictement croissante sur R*+

de classe C infini sur R*+

définie sur R*+

continue sur R*+

de limite infinie en l'infini

strictement convexe sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

7 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

8 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Faux

Vrai

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

9 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n)! = n+1

Gamma(n+1) = n!

Gamma(n) = n!

10 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

Votre score est

Le score moyen est 56%

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Probabilités

164

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

X admet une espérance finie mais une variance infinie

X admet une variance finie mais une espérance infinie

X n'admet ni espérance ni variance finie

X admet une espérance et une variance finies

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Faux

Vrai

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-3)/4

(X-3)/2

(X-9)/4

(X-9)/2

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)

V(X)+E[X]²

E[X]²

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

suit une loi de Poisson de paramètre 2

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

suit une loi de Poisson de paramètre 1

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

XY admet une espérance inconnue

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi binomiale

une loi géométrique

une loi de Poisson

une loi de Bernoulli

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois de Poisson

les lois géométriques

les lois uniformes

Votre score est

Le score moyen est 63%

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Algèbre

108

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Faux

Vrai

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

P est scindé mais pas à racines simples

P est scindé à racines simples

on ne peut pas conclure

P n'est pas scindé

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

6 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Faux

Vrai

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

E =0, a = 4, b = -5

E =0, a = 4, b = 5

E =0, a = -4, b = 5

E non nul 0, a = -4, b = 5

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

X**2+1

x**4+1

X**2-16X+64

X**2-X-2

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Faux

Vrai

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

P est irréductible dans R[X]

P admet des racines réelles

P est réductible dans R[X]

P n'admet pas de racines réelles

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Les polynômes de degré 1

Les polynômes n'admettant pas de racines réelles

Les polynômes de degré 2 à discriminant négatif

Les polynômes constants

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Faux

Vrai

Votre score est

Le score moyen est 46%

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276

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Si A est une matrice triangulaire, alors

A est inversible

A est diagonalisable

ses valeurs propres sont sur la diagonale

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Vrai

Faux

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

2 est valeur propre de A

X est valeur propre de A

A est diagonalisable

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Vrai

Faux

Le polynôme caractéristique doit être scindé, mais pas nécessairement à racines simples. C'est néanmoins une condition suffisante de diagonalisabilité.

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Faux

On ne peut pas conclure

Vrai

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A est inversible

A n'est pas inversible

A est diagonalisable

A n'est pas diagonalisable

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

A est diagonalisable

A est nilpotente

A est inversible

A est nulle

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

son polynôme minimal est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

son polynôme caractéristique est scindé à racines simples

son polynôme minimal est scindé à racines simples

son polynôme caractéristique est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est diagonalisable

A est inversible

A est nilpotente

Votre score est

Le score moyen est 73%

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172

Algèbre générale

1 / 10

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Z/7Z

Z/3Z x Z/5Z

Z/6Z

2 / 10

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

3 / 10

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

4 / 10

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

au plus d

on ne peut pas savoir

au moins d

5 / 10

Combien 4900 admet-il de diviseurs positifs ?

6 / 10

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

Vrai

Faux

Z/9Z est cyclique donc contient un élément d'ordre 9 alors que tous les éléments de (Z/3Z)^2 sont d'ordre 1 ou 3.

7 / 10

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

Z/6Z

Z/8Z

Z/12Z

Z/5Z

8 / 10

(Z/6Z,+,*) est...

un corps

un anneau non intègre

un idéal

un anneau intègre mais pas un corps

9 / 10

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

(Z/2Z,+)

(Z/4Z,+)

(Z/3Z,+)

(Z,+)

Il y a exactement deux éléments inversibles dans l'anneau Z/4Z donc U(Z/4Z) est d'ordre 2, et donc isomorphe à Z/2Z.

10 / 10

Quels éléments sont inversibles dans l'anneau Z/165Z ?

164

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

190

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

f est dérivable sur I

2 / 10

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

ça dépend des cas

R=R'

R est supérieur ou égal à R'

R est inférieur ou égal à R'

3 / 10

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Vrai

Faux

Il faut ajouter une hypothèse de convergence uniforme.

4 / 10

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

R_1 est strictement plus grand que R_2

on ne peut pas conclure

R_1 = R_2

R_1 est strictement plus petit que R_2

5 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

converger

diverger grossièrement

diverger

converger absolument

6 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

+ l'infini

on ne peut pas savoir

7 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...simplement vers une primitive de f

...carrément !

...uniformément vers une primitive de f

...pas forcément

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

8 / 10

La série de terme général cos(x)^n

converge simplement sur ]0,pi[

ne converge pas sur ]0,pi[

converge normalement sur ]0,pi[

converge simplement sur R

Sur ]0,\pi[, la borne sup de |cos(x)^n| est 1, donc il n'y a pas convergence normale. Néanmoins, |cos(x)|<1 donc il y a convergence simple (série géométrique).

Sur R, il n'y a pas convergence simple car le terme général ne tend pas simplement vers 0.

9 / 10

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

il faut et il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge simplement vers 0

il faut que (f_n) converge uniformément vers 0

10 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

se peut

suffit

faut

faut et il suffit

Votre score est

Le score moyen est 46%

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376

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Vrai, si on ajoute l'hypothèse de convergence absolue.

Faux

Vrai

C'est déjà faux pour les sommes finies. Ce n'est pas la série \sum u_n*v_n qu'il faut considérer mais le produit de Cauchy des séries. Et il faut dans ce cas ajouter une hypothèse de convergence absolue.

2 / 10

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

semi-convergente

absolument convergente

divergente

grossièrement divergente

La série converge d'après le critère des séries alternées, mais ne converge pas absolument d'après le critère de Riemann.

3 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

la série de terme général u_n converge

la série de terme général u_n diverge

on ne peut pas conclure

Appliquer le critère de d'Alembert

4 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il faut que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

il suffit que le terme général tende vers 0

5 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Faux

Vrai

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

6 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

les sommes des séries correspondantes sont égales

les suites des sommes partielles sont équivalentes

les suites des restes partielles sont équivalentes

les séries sum u_n et sum v_n sont de même nature

7 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

semi-convergente

grossièrement divergente

divergente

absolument convergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

8 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut 1/e

converge, et sa somme vaut ln(2)

converge, et sa somme vaut e

diverge

9 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

divergente

grossièrement divergente

convergente

semi-convergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

10 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la convergence de U_n implique celle de V_n

la divergence de U_n implique celle de V_n

la convergence de V_n implique celle de U_n

la divergence de V_n implique celle de U_n

Votre score est

Le score moyen est 34%

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