MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

orthogonal aux lignes de niveau

colinéaire aux lignes de niveau

2 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

df=0

df=f

f est différentiable

f est continue

3 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Vrai

Faux

4 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Vrai

Faux

5 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Rien de tout cela

C^2 en (0,0)

différentiable en (0,0)

continue en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

6 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f peut admettre un extremum en un point non critique

f admet un extremum local en tout point critique

tout extremum local est global

f admet un extremum global

7 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

8 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Vrai

Faux

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

9 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un point critique

un maximum local

un minimum local

un point col

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

10 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Vrai

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

Faux

df(I_n)(H) = nH

Your score is

The average score is 44%

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Espaces vectoriels normés

227

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Un compact est un fermé borné

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Vrai

2 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Vrai

Faux

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

3 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Vrai

Faux

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

4 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai dans un compact

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Faux

5 / 10

GL(n,R) est

connexe par arcs

fermé

compact

ouvert

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

6 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Faux

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

7 / 10

Sur un compact, une application continue est

lipschitizienne

bornée

linéaire

uniformément continue

8 / 10

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

A n'est pas fermée

A est fermée

A n'est pas ouverte

A est ouverte

9 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Faux

Vrai

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

10 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Faux

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

Your score is

The average score is 54%

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Intégration

149

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

2 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

[1,+infini[

]0,1]

R+

sur aucun de ces intervalles

3 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

semi-convergente

absolument convergente

convergente

divergente

4 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R

sur R-

sur aucun de ces intervalles

sur R+

5 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Vrai

Faux

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

6 / 10

La fonction ln est intégrable sur

[1,+infini[

sur aucun de ces intervalles

]0,1]

7 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

8 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Faux

Vrai

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

9 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n+1) = n!

Gamma(n) = n!

Gamma(n)! = n+1

10 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

Your score is

The average score is 54%

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Probabilités

118

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi de Bernoulli

une loi de Poisson

une loi géométrique

une loi binomiale

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-9)/4

(X-3)/4

(X-9)/2

(X-3)/2

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

X admet une variance finie mais une espérance infinie

X admet une espérance et une variance finies

X admet une espérance finie mais une variance infinie

X n'admet ni espérance ni variance finie

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

XY admet une espérance inconnue

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{1,..., n}

{0, ..., n}

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

2,5

3,5

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois de Poisson

les lois uniformes

les lois géométriques

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

B(p)

B(n,p)

G(p)

P(np)

Your score is

The average score is 65%

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Algèbre

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Les polynômes constants

Les polynômes de degré 2 à discriminant négatif

Les polynômes n'admettant pas de racines réelles

Les polynômes de degré 1

La fonction cos est polynomiale

Faux

On ne peut pas savoir

Vrai

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

4X-2

-4X+2

4X+2

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

X**2+1

X**2-16X+64

X**2-X-2

x**4+1

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Faux

Vrai

L'intersection de I et de J est un idéal M de K[X]. Comme tous les idéaux de K[X] sont principaux, il existe un unique polynôme unitaire P qui engendre M, et donc qui divise tous les éléments communs à I et J.

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Faux

Vrai

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

divisible par X²-2*Re(z)+|z|² dans R[X]

égal à X²-2*Re(z)+|z|²

égal à X-z dans R[X]

divisible par X-z dans R[X]

Soit D = PGCD(A,B). Comme A,B sont dans R[X], D aussi et donc D(z) = D(\bar z) = 0. Ainsi, (X-z)(X-\bar z) divise D, mais rien ne permet d'affirmer l'égalité.

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Faux

Vrai

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

L(E,F)

K[X]

M(n,K)

K_n[X]

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Your score is

The average score is 46%

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201

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Faux

Vrai

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Faux

Vrai

Si le polynôme minimal est scindé sur C mais pas sur R, la matrice est diagonalisable dans M(n,C) mais pas dans M(n,R). C'est par exemple le cas pour une matrice de rotation.

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est diagonalisable

A est inversible

A est nilpotente

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A est inversible

A est diagonalisable

A n'est pas inversible

A n'est pas diagonalisable

Toute matrice de M(n,R) est

diagonalisable dans M(n,R)

trigonalisable dans M(n,C)

diagonalisable dans M(n,C)

trigonalisable dans M(n,R)

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

1 est valeur propre

-1 est valeur propre

A n'est pas inversible

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Faux

Vrai

f étant diagonalisable, il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Ce polynôme annule également la restriction, qui est donc diagonalisable.

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Vrai

Faux

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

X est valeur propre de A

A est diagonalisable

2 est valeur propre de A

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Vrai

On ne peut pas savoir

Your score is

The average score is 74%

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143

Algèbre générale

1 / 10

Soit p un nombre premier et G un groupe fini d'ordre p. Alors G est abélien

Vrai

Faux

Un groupe d'ordre p premier est nécessairement cyclique ; il est en particulier abélien.

2 / 10

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Z/7Z

Z/3Z x Z/5Z

Z/6Z

3 / 10

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

4 / 10

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Déterminant

inversion

Trace

Transposition

5 / 10

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

Faux

Vrai

Z/9Z est cyclique donc contient un élément d'ordre 9 alors que tous les éléments de (Z/3Z)^2 sont d'ordre 1 ou 3.

6 / 10

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

Z/6Z

Z/5Z

Z/8Z

Z/12Z

7 / 10

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

8 / 10

Z/6Z est isomorphe à...

Z*6Z

(Z/2Z)*(Z/3Z)

(Z/2Z)*(Z/4Z)

(Z/5Z)

C'est une conséquence du théorème des restes chinois

9 / 10

(Z/6Z,+,*) est...

un anneau non intègre

un corps

un idéal

un anneau intègre mais pas un corps

10 / 10

Le groupe symétrique S_3 est isomorphe à un sous-groupe de S_n dès que n est supérieur ou égal à 3.

Faux

Vrai

S_3 s'identifie naturellement au sous-groupe de S_n formé des permutations qui laissent fixes les éléments 4,...,n.

Your score is

The average score is 54%

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Suites et séries

152

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

sum a_n*(x^n)/n

sum a_n*x^(n+1)/(n+1)

sum (n+1)a_n x^(n+1)

sum n*a_n*x^(n-1)

2 / 10

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

R_a est strictement supérieur à R_b

R_a est supérieur ou égal à R_b

R_a est strictement inférieur à R_b

R_a est inférrieur ou égal à R_b

3 / 10

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

f est continue sur I

f peut présenter une infinité de points de discontinuité

f est continue sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points

La continuité est une propriété locale, et chaque point de I admet un voisinage compact, donc la CU sur tout segment suffit à assurer la continuité en tout point de I.

4 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f est dérivable sur I

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

5 / 10

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

R_1 est strictement plus grand que R_2

on ne peut pas conclure

R_1 = R_2

R_1 est strictement plus petit que R_2

6 / 10

La série de terme général cos(x)^n

ne converge pas sur ]0,pi[

converge simplement sur R

converge simplement sur ]0,pi[

converge normalement sur ]0,pi[

Sur ]0,\pi[, la borne sup de |cos(x)^n| est 1, donc il n'y a pas convergence normale. Néanmoins, |cos(x)|<1 donc il y a convergence simple (série géométrique).

Sur R, il n'y a pas convergence simple car le terme général ne tend pas simplement vers 0.

7 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

on ne peut pas conclure

f est continue sur I

f présente au plus un nombre fini de points de discontinuité

f est dérivable sur I

8 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...carrément !

...pas forcément

...simplement vers une primitive de f

...uniformément vers une primitive de f

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

9 / 10

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

ça dépend des cas

R est inférieur ou égal à R'

R est supérieur ou égal à R'

R=R'

10 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

+ l'infini

on ne peut pas savoir

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289

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

absolument convergente

grossièrement divergente

semi-convergente

divergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

2 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

semi-convergente

convergente

divergente

grossièrement divergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

3 / 10

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

semi-convergente

grossièrement divergente

divergente

absolument convergente

La série converge d'après le critère des séries alternées, mais ne converge pas absolument d'après le critère de Riemann.

4 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la divergence de U_n implique celle de V_n

la convergence de V_n implique celle de U_n

la divergence de V_n implique celle de U_n

la convergence de U_n implique celle de V_n

5 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut (1-x^(n+1))/(1-x)

converge, et sa somme vaut 1/(1-x)

diverge

converge, et sa somme vaut (1-x^n)/(1-x)

6 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Faux

Vrai

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

7 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Vrai

Faux

Le terme général est équivalent à 1/n^2. On conclut par comparaison.

8 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

les suites des sommes partielles sont équivalentes

les sommes des séries correspondantes sont égales

les suites des restes partielles sont équivalentes

les séries sum u_n et sum v_n sont de même nature

9 / 10

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Elle converge vers 1

Elle diverge grossièrement

on ne peut pas conclure

Elle converge vers u_0-1

10 / 10

La série de terme général ln(1+1/n) est

absolument convergente

grossièrement divergente

divergente

semi-convergente

Son terme général est positif et équivalent à 1/n. On conclut par comparaison.

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