MP : Quiz d’apprentissage

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

Si f est différentiable, le gradient de f est

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

GL(n,R) est

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Sur un compact, une application continue est

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Dans C, le cercle trigonométrique est

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

La fonction ln est intégrable sur

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

La fonction Gamma est

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

La fonction cos est polynomiale

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

Toute matrice de M(n,R) est

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

Soit p un nombre premier et G un groupe fini d'ordre p. Alors G est abélien

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

Le groupe symétrique S_3 est isomorphe à un sous-groupe de S_n dès que n est supérieur ou égal à 3.

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

L'ensemble des matrices de déterminant nul est un groupe pour le produit matriciel.

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

La série de terme général ln(n)/n est

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...