MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

112

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un point critique

un point col

un maximum local

un minimum local

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

2 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Rien de tout cela

continue en (0,0)

C^2 en (0,0)

différentiable en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

3 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il suffit qu'elle soit continue en a

il faut qu'elle soit continue en a

4 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f admet un extremum global

tout extremum local est global

f admet un extremum local en tout point critique

f peut admettre un extremum en un point non critique

5 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

df(I_n)(H) = nH

Vrai

Faux

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

6 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

7 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un point col en a

un minimum local en a

un maximum local en a

8 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

colinéaire aux lignes de niveau

orthogonal aux lignes de niveau

9 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Vrai

Faux

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

10 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Faux

Vrai

Your score is

The average score is 45%

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Espaces vectoriels normés

261

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Vrai

Faux

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

2 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Vrai

Faux

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

3 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Faux

Vrai

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

4 / 10

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

A n'est pas ouverte

A n'est pas fermée

A est fermée

A est ouverte

5 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

6 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Vrai

Faux

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

7 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

8 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

égale à 2

inférieure ou égale à 2

pas nécessairement définie

supérieure ou égale à 2

9 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

fermé

ouvert

compact

connexe par arcs

10 / 10

Un compact est un fermé borné

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Faux

Your score is

The average score is 55%

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Intégration

174

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

2 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Vrai

Faux

1 n'est pas intégrable sur R+

3 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

semi-convergente

convergente

divergente

absolument convergente

4 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^x e^(-t) dt

t^(x-1) e^(-t) dt

t^(x+1) e^(-t) dt

t^x e^(-t-1) dt

5 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

6 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

7 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Faux

Vrai

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

8 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

]0,1]

sur aucun de ces intervalles

R+

[1,+infini[

9 / 10

La fonction Gamma est

de classe C infini sur R*+

continue sur R*+

de limite infinie en l'infini

strictement croissante sur R*+

définie sur R*+

strictement convexe sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

10 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n)! = n+1

Gamma(n+1) = n!

Gamma(n) = n!

Gamma(n) = (n+1)!

Your score is

The average score is 54%

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Probabilités

137

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

P(np)

G(p)

B(p)

B(n,p)

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY admet une espérance inconnue

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)+E[X]²

E[X]²

V(X)

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{0, ..., n}

{1,..., n}

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi géométrique

une loi binomiale

une loi de Bernoulli

une loi de Poisson

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

4 fois

2 fois

1 fois

3 fois

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-9)/2

(X-9)/4

(X-3)/4

(X-3)/2

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois géométriques

les lois de Poisson

les lois uniformes

Your score is

The average score is 64%

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Algèbre

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

Q[X]

R[X]

C[X]

La fonction cos est polynomiale

Vrai

Faux

On ne peut pas savoir

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

3 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

on ne peut pas conclure

P n'est pas scindé

P est scindé à racines simples

P est scindé mais pas à racines simples

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Faux

Vrai

(X²+1)² n'a pas de racines réelles mais est réductible dans R[X].

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

P admet des racines réelles

P n'admet pas de racines réelles

P est réductible dans R[X]

P est irréductible dans R[X]

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Vrai

Faux

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Vrai

Faux

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

E non nul 0, a = -4, b = 5

E =0, a = 4, b = -5

E =0, a = 4, b = 5

E =0, a = -4, b = 5

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

Vrai

Faux

X²-2 est irréductible dans Q[X] mais se factorise dans R[X]

Your score is

The average score is 45%

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228

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

vrai si K=R, faux si K=C

vrai si K=R ou C

vrai si K=C, faux si K=R

faux si K=R ou C

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A n'est pas inversible

A est inversible

A est diagonalisable

A n'est pas diagonalisable

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Vrai

Faux

Le polynôme caractéristique doit être scindé, mais pas nécessairement à racines simples. C'est néanmoins une condition suffisante de diagonalisabilité.

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Vrai

Faux

Si le polynôme minimal est scindé sur C mais pas sur R, la matrice est diagonalisable dans M(n,C) mais pas dans M(n,R). C'est par exemple le cas pour une matrice de rotation.

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Faux

Vrai

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

X est valeur propre de A

A est diagonalisable

2 est valeur propre de A

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Faux

Vrai

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

nulle

inversible

diagonale

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Vrai

Faux

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Vrai

On ne peut pas savoir

Your score is

The average score is 73%

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157

Algèbre générale

1 / 10

Combien vaut l'indicatrice d'Euler de 57 ?

2 / 10

Le PGCD de 3080 et 364 est

3 / 10

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

Z/2Z x Z/30Z

Z/3Z x Z/20Z

Z/10Z x Z/6Z

Z/12Z x Z/5Z

4 / 10

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

Vrai

Faux

Z/9Z est cyclique donc contient un élément d'ordre 9 alors que tous les éléments de (Z/3Z)^2 sont d'ordre 1 ou 3.

5 / 10

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Faux

Vrai

Si x est un générateur de G, alors le théorème de Lagrange assure que l'ordre de x divise l'ordre de G. Celui-ci étant p premier, l'ordre de x est 1 ou p. Et comme x n'est pas l'élément neutre, son ordre est p. Ainsi, G est engendré par x.

6 / 10

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

un élément inversible

trois éléments inversibles

5 éléments inversibles

deux éléments inversibles

7 / 10

Z/6Z est isomorphe à...

Z*6Z

(Z/2Z)*(Z/3Z)

(Z/5Z)

(Z/2Z)*(Z/4Z)

C'est une conséquence du théorème des restes chinois

8 / 10

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

au moins d

au plus d

on ne peut pas savoir

9 / 10

Soit p un nombre premier et G un groupe fini d'ordre p. Alors G est abélien

Vrai

Faux

Un groupe d'ordre p premier est nécessairement cyclique ; il est en particulier abélien.

10 / 10

L'indicatrice d'Euler de 1400 vaut

480

1399

240

Your score is

The average score is 52%

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Suites et séries

168

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

ne converge d'aucune façon sur R

converge uniformément sur R

converge normalement sur R

converge simplement sur R

Pour tout x réel, on a |sin(2*n*x)/n| <= 1/n. Il y a ainsi CU, et donc CS sur R.

2 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

diverge si |z|=R

converge si |z|=R

diverge grossièrement si |z| est strictement supérieur à R

converge absolument si |z| est strictement inférieur à R

3 / 10

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

sum n*a_n*x^(n-1)

sum a_n*x^(n+1)/(n+1)

sum (n+1)a_n x^(n+1)

sum a_n*(x^n)/n

4 / 10

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

R_1 est strictement plus petit que R_2

R_1 est strictement plus grand que R_2

on ne peut pas conclure

R_1 = R_2

5 / 10

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

il suffit que (f_n) converge simplement vers 0

il faut que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il faut et il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

6 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

suffit

se peut

faut

faut et il suffit

7 / 10

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

R_a est supérieur ou égal à R_b

R_a est strictement inférieur à R_b

R_a est strictement supérieur à R_b

R_a est inférrieur ou égal à R_b

8 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

on ne peut pas savoir

+ l'infini

9 / 10

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Faux

Vrai

Il faut que I soit un segment pour pouvoir l'affirmer (théorème de Weierstrass).

10 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

son terme général converge uniformément

son terme général converge uniformément vers 0

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

elle converge normalement

Your score is

The average score is 45%

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327

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

on ne peut pas conclure

la série de terme général u_n diverge

la série de terme général u_n converge

Appliquer le critère de d'Alembert

2 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

V_n = o(U_n)

T_n = o(R_n)

U_n = o(V_n)

R_n = o(T_n)

3 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Vrai

Faux

Le terme général est équivalent à 1/n^2. On conclut par comparaison.

4 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

divergente

semi-convergente

grossièrement divergente

absolument convergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

5 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

les suites des restes partielles sont équivalentes

les séries sum u_n et sum v_n sont de même nature

les suites des sommes partielles sont équivalentes

les sommes des séries correspondantes sont égales

6 / 10

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

on ne peut pas conclure

Elle converge vers u_0-1

Elle converge vers 1

Elle diverge grossièrement

7 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut e

diverge

converge, et sa somme vaut ln(2)

converge, et sa somme vaut 1/e

8 / 10

La série de terme général ln(1+1/n) est

semi-convergente

absolument convergente

divergente

grossièrement divergente

Son terme général est positif et équivalent à 1/n. On conclut par comparaison.

9 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

divergente

absolument convergente

semi-convergente

grossièrement divergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

10 / 10

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Faux

Vrai

la décroissance n'est pas stable par équivalence

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