MP : Quiz d’apprentissage

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Si f est différentiable sur un compact...

Si f est différentiable, le gradient de f est

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

Un compact est un fermé borné

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

GL(n,R) est

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Sur un compact, une application continue est

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

La fonction ln est intégrable sur

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

La fonction Gamma est

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

Si A est une matrice triangulaire, alors

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

Quels éléments sont inversibles dans l'anneau Z/165Z ?

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

(Z/6Z,+,*) est...

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

L'indicatrice d'Euler de 1400 vaut

Dans un anneau commutatif, tout idéal est un sous-anneau.

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

La série de terme général cos(x)^n

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

La série de terme général ln(n)/n est

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

La série de terme général ln(1+1/n) est

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.