MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

142

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un maximum local

un point critique

un point col

un minimum local

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

2 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

df(I_n)(H) = nH

Vrai

Faux

3 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Faux

Vrai

4 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un point col en a

un maximum local en a

un minimum local en a

5 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il faut qu'elle soit continue en a

il suffit qu'elle soit continue en a

6 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

C^2 en (0,0)

différentiable en (0,0)

continue en (0,0)

Rien de tout cela

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

7 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

f est différentiable

df=f

df=0

f est continue

8 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Vrai

Faux

9 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

10 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

orthogonal aux lignes de niveau

colinéaire aux lignes de niveau

Votre score est

Le score moyen est 45%

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Espaces vectoriels normés

313

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Vrai

Faux

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

2 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

fermé

compact

connexe par arcs

ouvert

3 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Vrai

Faux

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

4 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

fermé

compact

ouvert

connexe par arcs

5 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Faux

Vrai

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

6 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Vrai

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

7 / 10

Un compact est un fermé borné

Faux

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

8 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Vrai

Faux

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

9 / 10

Sur un compact, une application continue est

uniformément continue

linéaire

bornée

lipschitizienne

10 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Vrai si K=C, Faux si K=R

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

204

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R

sur R+

sur R-

sur aucun de ces intervalles

2 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Vrai

Faux

1 n'est pas intégrable sur R+

3 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

4 / 10

La fonction ln est intégrable sur

]0,1]

sur aucun de ces intervalles

[1,+infini[

5 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

]0,1]

R+

[1,+infini[

sur aucun de ces intervalles

6 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

7 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

8 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

divergente

absolument convergente

convergente

semi-convergente

9 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Faux

Vrai

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

10 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Vrai

Faux

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

159

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

XY admet une espérance inconnue

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{1,..., n}

{0, ..., n}

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)+E[X]²

V(X)

E[X]²

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

suit une loi de Poisson de paramètre 1

suit une loi de Poisson de paramètre 2

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

B(p)

G(p)

B(n,p)

P(np)

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

3,5

2,5

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi de Bernoulli

une loi géométrique

une loi de Poisson

une loi binomiale

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

104

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Vrai

Faux

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Faux

Vrai

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

Q[X]

R[X]

C[X]

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Faux

Vrai

L'intersection de I et de J est un idéal M de K[X]. Comme tous les idéaux de K[X] sont principaux, il existe un unique polynôme unitaire P qui engendre M, et donc qui divise tous les éléments communs à I et J.

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Faux

Vrai

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

a=b=c=0

on a une contradiction

on ne peut pas déterminer a, b et c

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Vrai

Faux

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Vrai

Faux

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

K[X]

M(n,K)

L(E,F)

K_n[X]

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

P n'admet pas de racines réelles

P est irréductible dans R[X]

P est réductible dans R[X]

P admet des racines réelles

Votre score est

Le score moyen est 45%

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268

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

A est trigonalisable dans M(n,R)

A est diagonalisable dans M(n,R)

A est diagonalisable dans M(n,C)

A est trigonalisable dans M(n,C)

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

vrai si K=C, faux si K=R

faux si K=R ou C

vrai si K=R, faux si K=C

vrai si K=R ou C

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Faux

On ne peut pas conclure

Vrai

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Vrai

On ne peut pas savoir

Si A est une matrice triangulaire, alors

A est diagonalisable

ses valeurs propres sont sur la diagonale

A est inversible

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Faux

Vrai

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Faux

Vrai

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Vrai

Faux

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

2 est valeur propre de A

A est diagonalisable

X est valeur propre de A

Votre score est

Le score moyen est 73%

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169

Algèbre générale

1 / 10

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

Z/12Z

Z/5Z

Z/8Z

Z/6Z

2 / 10

Soit p un nombre premier et G un groupe fini d'ordre p. Alors G est abélien

Vrai

Faux

Un groupe d'ordre p premier est nécessairement cyclique ; il est en particulier abélien.

3 / 10

(Z/6Z,+,*) est...

un idéal

un corps

un anneau non intègre

un anneau intègre mais pas un corps

4 / 10

Le PGCD de 3080 et 364 est

5 / 10

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

K[X]

K(X)

K_n[X]

GL(n,K)

6 / 10

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

7 / 10

Combien vaut l'indicatrice d'Euler de 57 ?

8 / 10

Si A et B sont des anneaux et que f est un morphisme d'anneaux de A vers B, alors...

im(f) est un sous-anneau de B

ker(f) est un idéal de A

ker(f) est un sous-anneau de A

im(f) est un idéal de B

9 / 10

Le groupe symétrique S_3 est isomorphe à un sous-groupe de S_n dès que n est supérieur ou égal à 3.

Faux

Vrai

S_3 s'identifie naturellement au sous-groupe de S_n formé des permutations qui laissent fixes les éléments 4,...,n.

10 / 10

Combien 4900 admet-il de diviseurs positifs ?

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

185

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

on ne peut pas conclure

f est continue sur I

f est dérivable sur I

f présente au plus un nombre fini de points de discontinuité

2 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

converge absolument si |z| est strictement inférieur à R

diverge si |z|=R

converge si |z|=R

diverge grossièrement si |z| est strictement supérieur à R

3 / 10

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

R est strictement plus petit que 1

R = 0

R = 1

R est strictement plus grand que 1

4 / 10

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

on ne peut rien dire

elle converge simplement sur I

elle converge uniformément sur I

5 / 10

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

R_a est strictement supérieur à R_b

R_a est strictement inférieur à R_b

R_a est supérieur ou égal à R_b

R_a est inférrieur ou égal à R_b

6 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

son terme général converge uniformément

elle converge normalement

son terme général converge uniformément vers 0

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

7 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

elle converge normalement sur ]-R,R[

elle converge normalement sur [-R,R]

elle converge uniformément sur ]-R,R[

elle converge normalement sur tout segment de ]-R,R[

8 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

converger

converger absolument

diverger

diverger grossièrement

9 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

on ne peut pas savoir

+ l'infini

10 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

faut et il suffit

faut

se peut

suffit

Votre score est

Le score moyen est 46%

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368

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

on ne peut pas conclure

Faux

Vrai

Si les séries convergent absolument, elles convergent donc (u_n) tend vers 0. A partir d'un certain rang, on a donc |u_n|<1 et |u_nv_n| < |v_n|. On conclut par comparaison.

2 / 10

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Faux

Vrai

la décroissance n'est pas stable par équivalence

3 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0

il suffit que le terme général tende vers 0

4 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

divergente

semi-convergente

convergente

grossièrement divergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

5 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

absolument convergente

semi-convergente

grossièrement divergente

divergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

6 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut 1/e

converge, et sa somme vaut ln(2)

converge, et sa somme vaut e

diverge

7 / 10

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Elle converge vers u_0-1

on ne peut pas conclure

Elle converge vers 1

Elle diverge grossièrement

8 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la convergence de U_n implique celle de V_n

la divergence de V_n implique celle de U_n

la convergence de V_n implique celle de U_n

la divergence de U_n implique celle de V_n

9 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

absolument convergente

semi-convergente

divergente

grossièrement divergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

10 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

T_n = o(R_n)

U_n = o(V_n)

R_n = o(T_n)

V_n = o(U_n)

Votre score est

Le score moyen est 34%

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