MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

140

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

2 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

df=0

f est différentiable

f est continue

df=f

3 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Vrai

Faux

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

4 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Faux

Vrai

5 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un point col en a

un minimum local en a

un maximum local en a

6 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

orthogonal aux lignes de niveau

colinéaire aux lignes de niveau

7 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Vrai

Faux

8 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il suffit qu'elle soit continue en a

il faut qu'elle soit continue en a

9 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

df(I_n)(H) = nH

Faux

Vrai

10 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

différentiable en (0,0)

Rien de tout cela

continue en (0,0)

C^2 en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

Votre score est

Le score moyen est 46%

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Espaces vectoriels normés

310

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Faux

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

2 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

ouvert

connexe par arcs

fermé

compact

3 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

vrai si K=C, faux si K=R

Faux

Vrai

4 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Vrai

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

5 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

fermé

connexe par arcs

ouvert

compact

6 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Vrai

Faux

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

7 / 10

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

A n'est pas ouverte

A est ouverte

A est fermée

A n'est pas fermée

8 / 10

Sur un compact, une application continue est

linéaire

bornée

uniformément continue

lipschitizienne

9 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Vrai

Faux

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

10 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

inférieure ou égale à 2

égale à 2

supérieure ou égale à 2

pas nécessairement définie

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

203

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

2 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Vrai

Faux

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

3 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

4 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Vrai

Faux

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

5 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^x e^(-t) dt

t^x e^(-t-1) dt

t^(x-1) e^(-t) dt

t^(x+1) e^(-t) dt

6 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Vrai

Faux

1 n'est pas intégrable sur R+

7 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

8 / 10

La fonction Gamma est

de classe C infini sur R*+

strictement convexe sur R*+

strictement croissante sur R*+

définie sur R*+

de limite infinie en l'infini

continue sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

9 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R

sur R-

sur R+

sur aucun de ces intervalles

10 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

semi-convergente

divergente

convergente

absolument convergente

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

150

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois de Poisson

les lois géométriques

les lois uniformes

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

suit une loi de Poisson de paramètre 2

suit une loi de Poisson de paramètre 1

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

2,5

3,5

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{1,..., n}

{0, ..., n}

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)+E[X]²

E[X]²

V(X)

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Faux

Vrai

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

1 fois

2 fois

4 fois

3 fois

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

X admet une espérance et une variance finies

X n'admet ni espérance ni variance finie

X admet une espérance finie mais une variance infinie

X admet une variance finie mais une espérance infinie

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

103

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Vrai

Faux

L'intersection de I et de J est un idéal M de K[X]. Comme tous les idéaux de K[X] sont principaux, il existe un unique polynôme unitaire P qui engendre M, et donc qui divise tous les éléments communs à I et J.

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

4X+2

-4X+2

4X-2

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Vrai

Faux

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Faux

Vrai

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

E =0, a = 4, b = -5

E =0, a = -4, b = 5

E non nul 0, a = -4, b = 5

E =0, a = 4, b = 5

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Vrai

Faux

(X²+1)² n'a pas de racines réelles mais est réductible dans R[X].

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Vrai

Faux

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Faux

Vrai

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Faux

Vrai

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

K_n[X]

M(n,K)

K[X]

L(E,F)

Votre score est

Le score moyen est 45%

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266

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

A est diagonalisable dans M(n,R)

A est trigonalisable dans M(n,R)

A est diagonalisable dans M(n,C)

A est trigonalisable dans M(n,C)

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

A n'est pas inversible

1 est valeur propre

-1 est valeur propre

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A n'est pas inversible

A est diagonalisable

A est inversible

A n'est pas diagonalisable

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Vrai

Faux

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Vrai

Faux

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

A+I

A^n + I

nA+I

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Faux

Vrai

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est diagonalisable

A est nilpotente

A est inversible

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Faux

Vrai

Si le polynôme minimal est scindé sur C mais pas sur R, la matrice est diagonalisable dans M(n,C) mais pas dans M(n,R). C'est par exemple le cas pour une matrice de rotation.

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

On ne peut pas savoir

Vrai

Votre score est

Le score moyen est 73%

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168

Algèbre générale

1 / 10

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

2 / 10

Dans un anneau commutatif, tout idéal est un sous-anneau.

Vrai

Faux

Un sous-anneau contient l'unité. Et le seul idéal qui contient l'unité est l'anneau lui-même.

3 / 10

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

n éléments

n(n+1)/2 éléments

n! éléments

n(n-1)/2 éléments

4 / 10

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

(Z,+)

(Z/2Z,+)

(Z/4Z,+)

(Z/3Z,+)

Il y a exactement deux éléments inversibles dans l'anneau Z/4Z donc U(Z/4Z) est d'ordre 2, et donc isomorphe à Z/2Z.

5 / 10

Le groupe U(Z/5Z) des inversibles de Z/5Z contient...

1 élément

aucun élément

4 éléments

5 éléments

Comme 5 est premier, Z/5Z est un corps et donc tous ses éléments non nuls sont inversibles. U(Z/5Z) contient donc 4 éléments, et est en fait isomorphe à (Z/4Z,+).

6 / 10

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

Faux

Vrai

Il n'est pas stable par produit.

7 / 10

Le PGCD de 3080 et 364 est

8 / 10

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

9 / 10

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Déterminant

Transposition

inversion

Trace

10 / 10

Combien vaut l'indicatrice d'Euler de 57 ?

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

183

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

diverger grossièrement

converger absolument

diverger

converger

2 / 10

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

on ne peut rien dire

elle converge uniformément sur I

elle converge simplement sur I

3 / 10

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

sum a_n*(x^n)/n

sum a_n*x^(n+1)/(n+1)

sum (n+1)a_n x^(n+1)

sum n*a_n*x^(n-1)

4 / 10

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

il suffit que (f_n) converge simplement vers 0

il faut que (f_n) converge uniformément vers 0

il faut et il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

5 / 10

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

f est continue sur I

f peut présenter une infinité de points de discontinuité

f est continue sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points

La continuité est une propriété locale, et chaque point de I admet un voisinage compact, donc la CU sur tout segment suffit à assurer la continuité en tout point de I.

6 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

f est continue sur I

f présente au plus un nombre fini de points de discontinuité

on ne peut pas conclure

f est dérivable sur I

7 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

elle converge normalement

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

son terme général converge uniformément vers 0

son terme général converge uniformément

8 / 10

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

R_1 est strictement plus petit que R_2

R_1 est strictement plus grand que R_2

on ne peut pas conclure

R_1 = R_2

9 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

f est dérivable sur I

10 / 10

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

R=R'

R est inférieur ou égal à R'

R est supérieur ou égal à R'

ça dépend des cas

Votre score est

Le score moyen est 46%

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367

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut (1-x^(n+1))/(1-x)

converge, et sa somme vaut (1-x^n)/(1-x)

diverge

converge, et sa somme vaut 1/(1-x)

2 / 10

La série de terme général ln(1+1/n) est

grossièrement divergente

semi-convergente

divergente

absolument convergente

Son terme général est positif et équivalent à 1/n. On conclut par comparaison.

3 / 10

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Faux

Vrai

la décroissance n'est pas stable par équivalence

4 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

grossièrement divergente

divergente

semi-convergente

absolument convergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

5 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

grossièrement divergente

absolument convergente

semi-convergente

divergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

6 / 10

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Vrai

Vrai, si on ajoute l'hypothèse de convergence absolue.

Faux

C'est déjà faux pour les sommes finies. Ce n'est pas la série \sum u_n*v_n qu'il faut considérer mais le produit de Cauchy des séries. Et il faut dans ce cas ajouter une hypothèse de convergence absolue.

7 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Faux

Vrai

Le terme général est équivalent à 1/n^2. On conclut par comparaison.

8 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

divergente

grossièrement divergente

semi-convergente

convergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

9 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Faux

Vrai

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

10 / 10

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

divergente

grossièrement divergente

absolument convergente

semi-convergente

La série converge d'après le critère des séries alternées, mais ne converge pas absolument d'après le critère de Riemann.

Votre score est

Le score moyen est 34%

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