MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

140

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Vrai

Faux

2 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Vrai

Faux

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

3 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

C^2 en (0,0)

continue en (0,0)

différentiable en (0,0)

Rien de tout cela

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

4 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il suffit qu'elle soit continue en a

il faut qu'elle soit continue en a

5 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

f est différentiable

df=0

f est continue

df=f

6 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Vrai

Faux

7 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

tout extremum local est global

f admet un extremum global

f peut admettre un extremum en un point non critique

f admet un extremum local en tout point critique

8 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un point col en a

un maximum local en a

un minimum local en a

9 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Faux

Vrai

df(I_n)(H) = nH

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

10 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

colinéaire aux lignes de niveau

orthogonal aux lignes de niveau

Votre score est

Le score moyen est 46%

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Espaces vectoriels normés

308

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Vrai si K=C, Faux si K=R

Vrai

Faux

2 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Vrai

Faux

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

3 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

pas nécessairement définie

inférieure ou égale à 2

supérieure ou égale à 2

égale à 2

4 / 10

GL(n,R) est

connexe par arcs

fermé

ouvert

compact

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

5 / 10

Sur un compact, une application continue est

uniformément continue

linéaire

bornée

lipschitizienne

6 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

connexe par arcs

compact

ouvert

fermé

7 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

fermé

ouvert

connexe par arcs

compact

8 / 10

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

A n'est pas ouverte

A est ouverte

A n'est pas fermée

A est fermée

9 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Vrai

Faux

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

10 / 10

Un compact est un fermé borné

Faux

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

202

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n) = n!

Gamma(n)! = n+1

Gamma(n+1) = n!

2 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

sur aucun de ces intervalles

R+

]0,1]

[1,+infini[

3 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

4 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Vrai

Faux

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

5 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

6 / 10

La fonction Gamma est

de classe C infini sur R*+

continue sur R*+

strictement croissante sur R*+

strictement convexe sur R*+

de limite infinie en l'infini

définie sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

7 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Vrai

Faux

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

8 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

divergente

convergente

semi-convergente

absolument convergente

9 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^(x+1) e^(-t) dt

t^x e^(-t-1) dt

t^(x-1) e^(-t) dt

t^x e^(-t) dt

10 / 10

La fonction ln est intégrable sur

sur aucun de ces intervalles

]0,1]

[1,+infini[

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

149

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-9)/2

(X-9)/4

(X-3)/4

(X-3)/2

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Faux

Vrai

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)+E[X]²

E[X]²

V(X)

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

XY admet une espérance inconnue

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi géométrique

une loi binomiale

une loi de Bernoulli

une loi de Poisson

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

X admet une espérance et une variance finies

X admet une variance finie mais une espérance infinie

X admet une espérance finie mais une variance infinie

X n'admet ni espérance ni variance finie

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{1,..., n}

{0, ..., n}

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

3,5

2,5

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

suit une loi de Poisson de paramètre 1

suit une loi de Poisson de paramètre 2

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

102

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

de degré 1

nulle

de degré 2

constante non nulle

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Vrai

Faux

(X²+1)² n'a pas de racines réelles mais est réductible dans R[X].

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Vrai

Faux

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

4 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Faux

Vrai

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Faux

Vrai

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

4X-2

-4X+2

4X+2

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Vrai

Faux

L'intersection de I et de J est un idéal M de K[X]. Comme tous les idéaux de K[X] sont principaux, il existe un unique polynôme unitaire P qui engendre M, et donc qui divise tous les éléments communs à I et J.

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

P n'admet pas de racines réelles

P est irréductible dans R[X]

P est réductible dans R[X]

P admet des racines réelles

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 45%

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262

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

A^n + I

A+I

nA+I

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Vrai

On ne peut pas savoir

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Faux

Vrai

Si le polynôme minimal est scindé sur C mais pas sur R, la matrice est diagonalisable dans M(n,C) mais pas dans M(n,R). C'est par exemple le cas pour une matrice de rotation.

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Faux

On ne peut pas conclure

Vrai

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Faux

Vrai

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est diagonalisable

A est nilpotente

A est inversible

Si A est une matrice triangulaire, alors

ses valeurs propres sont sur la diagonale

A est diagonalisable

A est inversible

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A n'est pas diagonalisable

A est diagonalisable

A est inversible

A n'est pas inversible

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

A est trigonalisable dans M(n,C)

A est diagonalisable dans M(n,C)

A est trigonalisable dans M(n,R)

A est diagonalisable dans M(n,R)

Si A est une matrice, P est une matrice inversible, Q = P^(-1) et D = QAP. Alors D^n =

Q A^n P

Q^n A^n P^n

Votre score est

Le score moyen est 73%

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167

Algèbre générale

1 / 10

Le PGCD de 3080 et 364 est

2 / 10

Le groupe symétrique S_3 est isomorphe à un sous-groupe de S_n dès que n est supérieur ou égal à 3.

Faux

Vrai

S_3 s'identifie naturellement au sous-groupe de S_n formé des permutations qui laissent fixes les éléments 4,...,n.

3 / 10

(Z/4Z,+) contient

2 sous-groupes

1 sous-groupe

3 sous-groupes

4 sous-groupes

Il y a exactement trois sous-groupes:
{0}, Z/4Z et {0,2} (qui est isomorphe à Z/2Z)

4 / 10

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

n(n+1)/2 éléments

n(n-1)/2 éléments

n éléments

n! éléments

5 / 10

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

Z/3Z x Z/20Z

Z/2Z x Z/30Z

Z/10Z x Z/6Z

Z/12Z x Z/5Z

6 / 10

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

5 éléments inversibles

trois éléments inversibles

deux éléments inversibles

un élément inversible

7 / 10

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

(Z,+)

(Z/3Z,+)

(Z/2Z,+)

(Z/4Z,+)

Il y a exactement deux éléments inversibles dans l'anneau Z/4Z donc U(Z/4Z) est d'ordre 2, et donc isomorphe à Z/2Z.

8 / 10

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

au moins d

au plus d

on ne peut pas savoir

9 / 10

Si A et B sont des anneaux et que f est un morphisme d'anneaux de A vers B, alors...

ker(f) est un sous-anneau de A

im(f) est un sous-anneau de B

im(f) est un idéal de B

ker(f) est un idéal de A

10 / 10

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

K(X)

K_n[X]

GL(n,K)

K[X]

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

182

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

converger absolument

converger

diverger grossièrement

diverger

2 / 10

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

R est inférieur ou égal à R'

R=R'

ça dépend des cas

R est supérieur ou égal à R'

3 / 10

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Faux

Vrai

Il faut que I soit un segment pour pouvoir l'affirmer (théorème de Weierstrass).

4 / 10

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

converge normalement sur R

ne converge d'aucune façon sur R

converge simplement sur R

converge uniformément sur R

Pour tout x réel, on a |sin(2*n*x)/n| <= 1/n. Il y a ainsi CU, et donc CS sur R.

5 / 10

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

R_1 est strictement plus petit que R_2

R_1 est strictement plus grand que R_2

on ne peut pas conclure

R_1 = R_2

6 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

faut et il suffit

suffit

faut

se peut

7 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f est dérivable sur I

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

8 / 10

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Faux

Vrai

Il faut ajouter une hypothèse de convergence uniforme.

9 / 10

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

f peut présenter une infinité de points de discontinuité

f est continue sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points

f est continue sur I

La continuité est une propriété locale, et chaque point de I admet un voisinage compact, donc la CU sur tout segment suffit à assurer la continuité en tout point de I.

10 / 10

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

R = 0

R = 1

R est strictement plus petit que 1

R est strictement plus grand que 1

Votre score est

Le score moyen est 46%

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365

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

convergente

semi-convergente

grossièrement divergente

divergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

2 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

T_n = o(R_n)

V_n = o(U_n)

R_n = o(T_n)

U_n = o(V_n)

3 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

semi-convergente

grossièrement divergente

absolument convergente

divergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

4 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

semi-convergente

absolument convergente

divergente

grossièrement divergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

5 / 10

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Elle converge vers u_0-1

Elle diverge grossièrement

on ne peut pas conclure

Elle converge vers 1

6 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Vrai

on ne peut pas conclure

Faux

Si les séries convergent absolument, elles convergent donc (u_n) tend vers 0. A partir d'un certain rang, on a donc |u_n|<1 et |u_nv_n| < |v_n|. On conclut par comparaison.

7 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut (1-x^(n+1))/(1-x)

converge, et sa somme vaut 1/(1-x)

diverge

converge, et sa somme vaut (1-x^n)/(1-x)

8 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la convergence de U_n implique celle de V_n

la convergence de V_n implique celle de U_n

la divergence de U_n implique celle de V_n

la divergence de V_n implique celle de U_n

9 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Vrai

Faux

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

10 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

la série de terme général u_n diverge

la série de terme général u_n converge

on ne peut pas conclure

Appliquer le critère de d'Alembert

Votre score est

Le score moyen est 34%

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