MP : Quiz d’apprentissage

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Si f est différentiable, le gradient de f est

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Si f est différentiable sur un compact...

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Sur un compact, une application continue est

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Un compact est un fermé borné

GL(n,R) est

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

La fonction ln est intégrable sur

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Si A est une matrice triangulaire, alors

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

Le groupe U(Z/5Z) des inversibles de Z/5Z contient...

(Z/6Z,+,*) est...

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Combien vaut l'indicatrice d'Euler de 57 ?

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

L'indicatrice d'Euler de 1400 vaut

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

La série de terme général cos(x)^n

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

La série de terme général sin(2/n²) est

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

La série de terme général ln(1+1/n) est