MP : Quiz d’apprentissage

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

Si f est différentiable, le gradient de f est

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Si f est différentiable sur un compact...

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

Un compact est un fermé borné

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Sur un compact, une application continue est

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

La fonction Gamma est

La fonction ln est intégrable sur

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Si A est une matrice triangulaire, alors

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Combien vaut l'indicatrice d'Euler de 57 ?

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

Le groupe U(Z/5Z) des inversibles de Z/5Z contient...

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

La série de terme général sin(2/n²) est

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

Pour que la série de terme général u_n converge...

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.