MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

187

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Vrai

Faux

2 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Faux

Vrai

3 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

Vrai

df(I_n)(H) = nH

Faux

4 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

différentiable en (0,0)

continue en (0,0)

Rien de tout cela

C^2 en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

5 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

df=0

f est différentiable

f est continue

df=f

6 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

7 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f admet un extremum global

tout extremum local est global

f admet un extremum local en tout point critique

f peut admettre un extremum en un point non critique

8 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un maximum local

un point critique

un minimum local

un point col

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

9 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il suffit qu'elle soit continue en a

il faut qu'elle soit continue en a

10 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

orthogonal aux lignes de niveau

colinéaire aux lignes de niveau

Votre score est

Le score moyen est 46%

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Espaces vectoriels normés

352

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Vrai dans un compact

2 / 10

Sur un compact, une application continue est

linéaire

uniformément continue

bornée

lipschitizienne

3 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Faux

vrai si K=C, faux si K=R

Vrai

4 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

égale à 2

supérieure ou égale à 2

pas nécessairement définie

inférieure ou égale à 2

5 / 10

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

A n'est pas ouverte

A n'est pas fermée

A est fermée

A est ouverte

6 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Vrai

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

7 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Vrai

Faux

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

8 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

connexe par arcs

fermé

ouvert

compact

9 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

fermé

ouvert

connexe par arcs

compact

10 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Vrai si K=C, Faux si K=R

Faux

Vrai

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

236

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

absolument convergente

divergente

semi-convergente

convergente

2 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

3 / 10

La fonction ln est intégrable sur

[1,+infini[

]0,1]

sur aucun de ces intervalles

4 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Vrai

Faux

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

5 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Vrai

Faux

1 n'est pas intégrable sur R+

6 / 10

La fonction Gamma est

strictement croissante sur R*+

définie sur R*+

de classe C infini sur R*+

continue sur R*+

strictement convexe sur R*+

de limite infinie en l'infini

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

7 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur aucun de ces intervalles

sur R+

sur R-

sur R

8 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

9 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Vrai

Faux

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

10 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

[1,+infini[

]0,1]

R+

sur aucun de ces intervalles

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

197

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

suit une loi de Poisson de paramètre 2

suit une loi de Poisson de paramètre 1

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

4 fois

1 fois

2 fois

3 fois

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{0, ..., n}

{1,..., n}

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

2,5

3,5

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

X n'admet ni espérance ni variance finie

X admet une espérance finie mais une variance infinie

X admet une espérance et une variance finies

X admet une variance finie mais une espérance infinie

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi de Bernoulli

une loi binomiale

une loi de Poisson

une loi géométrique

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)+E[X]²

E[X]²

V(X)

Votre score est

Le score moyen est 61%

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Algèbre

123

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Faux

Vrai

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

E =0, a = -4, b = 5

E =0, a = 4, b = 5

E non nul 0, a = -4, b = 5

E =0, a = 4, b = -5

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

Q[X]

R[X]

C[X]

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Vrai

Faux

La fonction cos est polynomiale

Faux

Vrai

On ne peut pas savoir

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

x**4+1

X**2+1

X**2-16X+64

X**2-X-2

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

(X-j²) divise P

(X²+1) divise P

(X²+X+1) divise P

(X-j) divise P

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

égal à X²-2*Re(z)+|z|²

égal à X-z dans R[X]

divisible par X-z dans R[X]

divisible par X²-2*Re(z)+|z|² dans R[X]

Soit D = PGCD(A,B). Comme A,B sont dans R[X], D aussi et donc D(z) = D(\bar z) = 0. Ainsi, (X-z)(X-\bar z) divise D, mais rien ne permet d'affirmer l'égalité.

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

3 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Votre score est

Le score moyen est 45%

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307

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

A est nilpotente

A est diagonalisable

A est inversible

A est nulle

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

On ne peut pas conclure

Vrai

Faux

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Faux

Vrai

f étant diagonalisable, il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Ce polynôme annule également la restriction, qui est donc diagonalisable.

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

A+I

nA+I

A^n + I

Si A est une matrice triangulaire, alors

A est diagonalisable

ses valeurs propres sont sur la diagonale

A est inversible

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Vrai

Faux

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Faux

Vrai

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

A est trigonalisable dans M(n,R)

A est trigonalisable dans M(n,C)

A est diagonalisable dans M(n,C)

A est diagonalisable dans M(n,R)

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

inversible

nulle

diagonale

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A n'est pas diagonalisable

A n'est pas inversible

A est diagonalisable

A est inversible

Votre score est

Le score moyen est 73%

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186

Algèbre générale

1 / 10

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

2 / 10

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Transposition

Déterminant

Trace

inversion

3 / 10

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Vrai

Faux

Si x est un générateur de G, alors le théorème de Lagrange assure que l'ordre de x divise l'ordre de G. Celui-ci étant p premier, l'ordre de x est 1 ou p. Et comme x n'est pas l'élément neutre, son ordre est p. Ainsi, G est engendré par x.

4 / 10

(Z/6Z,+,*) est...

un idéal

un anneau non intègre

un corps

un anneau intègre mais pas un corps

5 / 10

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

un élément inversible

5 éléments inversibles

trois éléments inversibles

deux éléments inversibles

6 / 10

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Faux

Vrai

PGCD(33,121) = 11 donc 33 n'est pas inversible dans Z/121Z.

7 / 10

Quels éléments sont inversibles dans l'anneau Z/165Z ?

164

8 / 10

L'indicatrice d'Euler de 1400 vaut

240

1399

480

9 / 10

Combien vaut l'indicatrice d'Euler de 57 ?

10 / 10

Le groupe U(Z/5Z) des inversibles de Z/5Z contient...

1 élément

5 éléments

4 éléments

aucun élément

Comme 5 est premier, Z/5Z est un corps et donc tous ses éléments non nuls sont inversibles. U(Z/5Z) contient donc 4 éléments, et est en fait isomorphe à (Z/4Z,+).

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

202

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f est dérivable sur I

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

2 / 10

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

R est strictement plus petit que 1

R est strictement plus grand que 1

R = 0

R = 1

3 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

converger absolument

converger

diverger grossièrement

diverger

4 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

f est continue sur I

on ne peut pas conclure

f est dérivable sur I

f présente au plus un nombre fini de points de discontinuité

5 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

elle converge normalement sur tout segment de ]-R,R[

elle converge normalement sur ]-R,R[

elle converge normalement sur [-R,R]

elle converge uniformément sur ]-R,R[

6 / 10

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Faux

Vrai

Il faut que I soit un segment pour pouvoir l'affirmer (théorème de Weierstrass).

7 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

on ne peut pas savoir

+ l'infini

8 / 10

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

sum a_n*x^(n+1)/(n+1)

sum a_n*(x^n)/n

sum (n+1)a_n x^(n+1)

sum n*a_n*x^(n-1)

9 / 10

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Vrai

Faux

Il faut ajouter une hypothèse de convergence uniforme.

10 / 10

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

R_a est supérieur ou égal à R_b

R_a est strictement inférieur à R_b

R_a est strictement supérieur à R_b

R_a est inférrieur ou égal à R_b

Votre score est

Le score moyen est 46%

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414

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Faux

Vrai

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

2 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il faut que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

il suffit que le terme général tende vers 0

3 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

semi-convergente

absolument convergente

divergente

grossièrement divergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

4 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

on ne peut pas conclure

la série de terme général u_n converge

la série de terme général u_n diverge

Appliquer le critère de d'Alembert

5 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

absolument convergente

divergente

semi-convergente

grossièrement divergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

6 / 10

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Faux

Vrai

la décroissance n'est pas stable par équivalence

7 / 10

La série de terme général ln(1+1/n) est

semi-convergente

divergente

absolument convergente

grossièrement divergente

Son terme général est positif et équivalent à 1/n. On conclut par comparaison.

8 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

R_n = o(T_n)

T_n = o(R_n)

U_n = o(V_n)

V_n = o(U_n)

9 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

semi-convergente

convergente

grossièrement divergente

divergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

10 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

les sommes des séries correspondantes sont égales

les suites des restes partielles sont équivalentes

les séries sum u_n et sum v_n sont de même nature

les suites des sommes partielles sont équivalentes

Votre score est

Le score moyen est 33%

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