MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

182

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un point col

un maximum local

un minimum local

un point critique

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

2 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

tout extremum local est global

f admet un extremum local en tout point critique

f admet un extremum global

f peut admettre un extremum en un point non critique

3 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

df(I_n)(H) = nH

Vrai

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

Faux

4 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

f est différentiable

df=0

f est continue

df=f

5 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il suffit qu'elle soit continue en a

il faut qu'elle soit continue en a

6 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un minimum local en a

un maximum local en a

un point col en a

7 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

orthogonal aux lignes de niveau

colinéaire aux lignes de niveau

8 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

différentiable en (0,0)

Rien de tout cela

continue en (0,0)

C^2 en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

9 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Faux

Vrai

10 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 46%

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Espaces vectoriels normés

350

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Vrai

Faux

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

2 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

connexe par arcs

fermé

ouvert

compact

3 / 10

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

A est ouverte

A n'est pas ouverte

A est fermée

A n'est pas fermée

4 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Faux

Vrai

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

5 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Faux

Vrai si K=C, Faux si K=R

Vrai

6 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Vrai

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

7 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Faux

vrai si K=C, faux si K=R

Vrai

8 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Vrai dans un compact

Faux

9 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Faux

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

10 / 10

Un compact est un fermé borné

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Vrai

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

235

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Faux

Vrai

1 n'est pas intégrable sur R+

2 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

[1,+infini[

R+

]0,1]

sur aucun de ces intervalles

3 / 10

La fonction ln est intégrable sur

sur aucun de ces intervalles

]0,1]

[1,+infini[

4 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

5 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Vrai

Faux

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

6 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

7 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^x e^(-t-1) dt

t^(x-1) e^(-t) dt

t^(x+1) e^(-t) dt

t^x e^(-t) dt

8 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R-

sur R

sur R+

sur aucun de ces intervalles

9 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

10 / 10

La fonction Gamma est

continue sur R*+

définie sur R*+

de limite infinie en l'infini

strictement convexe sur R*+

de classe C infini sur R*+

strictement croissante sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

196

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

XY admet une espérance inconnue

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

1 fois

2 fois

4 fois

3 fois

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois de Poisson

les lois uniformes

les lois géométriques

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-9)/2

(X-3)/2

(X-9)/4

(X-3)/4

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)

V(X)+E[X]²

E[X]²

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

2,5

3,5

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Vrai

Faux

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

X n'admet ni espérance ni variance finie

X admet une espérance et une variance finies

X admet une espérance finie mais une variance infinie

X admet une variance finie mais une espérance infinie

Votre score est

Le score moyen est 61%

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Algèbre

122

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Faux

Vrai

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

P admet des racines réelles

P n'admet pas de racines réelles

P est irréductible dans R[X]

P est réductible dans R[X]

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

de degré 2

constante non nulle

de degré 1

nulle

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

4 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

divisible par X-z dans R[X]

égal à X²-2*Re(z)+|z|²

divisible par X²-2*Re(z)+|z|² dans R[X]

égal à X-z dans R[X]

Soit D = PGCD(A,B). Comme A,B sont dans R[X], D aussi et donc D(z) = D(\bar z) = 0. Ainsi, (X-z)(X-\bar z) divise D, mais rien ne permet d'affirmer l'égalité.

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

L(E,F)

K_n[X]

K[X]

M(n,K)

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Vrai

Faux

(X²+1)² n'a pas de racines réelles mais est réductible dans R[X].

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

3 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Faux

Vrai

L'intersection de I et de J est un idéal M de K[X]. Comme tous les idéaux de K[X] sont principaux, il existe un unique polynôme unitaire P qui engendre M, et donc qui divise tous les éléments communs à I et J.

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Les polynômes de degré 1

Les polynômes n'admettant pas de racines réelles

Les polynômes de degré 2 à discriminant négatif

Les polynômes constants

Votre score est

Le score moyen est 45%

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307

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Faux

Vrai

f étant diagonalisable, il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Ce polynôme annule également la restriction, qui est donc diagonalisable.

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

A est diagonalisable

A est nilpotente

A est inversible

A est nulle

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Vrai

Faux

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

A+I

A^n + I

nA+I

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Vrai

Faux

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Faux

Vrai

Le polynôme caractéristique doit être scindé, mais pas nécessairement à racines simples. C'est néanmoins une condition suffisante de diagonalisabilité.

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Faux

Vrai

Toute matrice de M(n,R) est

trigonalisable dans M(n,R)

diagonalisable dans M(n,C)

diagonalisable dans M(n,R)

trigonalisable dans M(n,C)

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

X est valeur propre de A

2 est valeur propre de A

A est diagonalisable

Votre score est

Le score moyen est 73%

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186

Algèbre générale

1 / 10

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

Il faut observer que 7 est d'ordre 4 dans Z/10Z donc 7**(2023) = 7**3 (mod 10) mais 7**2 = -1 (mod 10) donc 7**3 = -7 (mod 10) = 3 (mod 10).

2 / 10

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Faux

Vrai

Si x est un générateur de G, alors le théorème de Lagrange assure que l'ordre de x divise l'ordre de G. Celui-ci étant p premier, l'ordre de x est 1 ou p. Et comme x n'est pas l'élément neutre, son ordre est p. Ainsi, G est engendré par x.

3 / 10

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

(Z/2Z,+)

(Z/3Z,+)

(Z/4Z,+)

(Z,+)

Il y a exactement deux éléments inversibles dans l'anneau Z/4Z donc U(Z/4Z) est d'ordre 2, et donc isomorphe à Z/2Z.

4 / 10

L'indicatrice d'Euler de 1400 vaut

480

1399

240

5 / 10

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

au plus d

on ne peut pas savoir

au moins d

6 / 10

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Déterminant

inversion

Transposition

Trace

7 / 10

(Z/4Z,+) contient

4 sous-groupes

1 sous-groupe

3 sous-groupes

2 sous-groupes

Il y a exactement trois sous-groupes:
{0}, Z/4Z et {0,2} (qui est isomorphe à Z/2Z)

8 / 10

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

Faux

Vrai

Z/9Z est cyclique donc contient un élément d'ordre 9 alors que tous les éléments de (Z/3Z)^2 sont d'ordre 1 ou 3.

9 / 10

Le groupe U(Z/5Z) des inversibles de Z/5Z contient...

1 élément

5 éléments

aucun élément

4 éléments

Comme 5 est premier, Z/5Z est un corps et donc tous ses éléments non nuls sont inversibles. U(Z/5Z) contient donc 4 éléments, et est en fait isomorphe à (Z/4Z,+).

10 / 10

L'ensemble des matrices de déterminant nul est un groupe pour le produit matriciel.

Vrai

Faux

Les matrices de déterminant nul ne sont pas inversibles pour le produit matriciel. Elles ne peuvent donc pas former un groupe pour cette opération.

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

202

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...pas forcément

...carrément !

...uniformément vers une primitive de f

...simplement vers une primitive de f

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

2 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f est dérivable sur I

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

3 / 10

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

on ne peut pas conclure

R_1 est strictement plus petit que R_2

R_1 = R_2

R_1 est strictement plus grand que R_2

4 / 10

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

ça dépend des cas

R est inférieur ou égal à R'

R est supérieur ou égal à R'

R=R'

5 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

suffit

faut

faut et il suffit

se peut

6 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

on ne peut pas conclure

f est dérivable sur I

f présente au plus un nombre fini de points de discontinuité

f est continue sur I

7 / 10

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

R = 1

R est strictement plus grand que 1

R est strictement plus petit que 1

R = 0

8 / 10

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il faut que (f_n) converge uniformément vers 0

il faut et il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge simplement vers 0

9 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

on ne peut pas savoir

+ l'infini

10 / 10

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

converge simplement sur R

converge normalement sur R

ne converge d'aucune façon sur R

converge uniformément sur R

Pour tout x réel, on a |sin(2*n*x)/n| <= 1/n. Il y a ainsi CU, et donc CS sur R.

Votre score est

Le score moyen est 46%

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414

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

absolument convergente

grossièrement divergente

semi-convergente

divergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

2 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

semi-convergente

grossièrement divergente

convergente

divergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

3 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

semi-convergente

absolument convergente

grossièrement divergente

divergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

4 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la convergence de V_n implique celle de U_n

la convergence de U_n implique celle de V_n

la divergence de V_n implique celle de U_n

la divergence de U_n implique celle de V_n

5 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

U_n = o(V_n)

T_n = o(R_n)

V_n = o(U_n)

R_n = o(T_n)

6 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il faut que le terme général tende vers 0

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

7 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Faux

Vrai

Le terme général est équivalent à 1/n^2. On conclut par comparaison.

8 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Faux

Vrai

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

9 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Faux

on ne peut pas conclure

Vrai

Si les séries convergent absolument, elles convergent donc (u_n) tend vers 0. A partir d'un certain rang, on a donc |u_n|<1 et |u_nv_n| < |v_n|. On conclut par comparaison.

10 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

la série de terme général u_n diverge

la série de terme général u_n converge

on ne peut pas conclure

Appliquer le critère de d'Alembert

Votre score est

Le score moyen est 33%

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