MP : Quiz d’apprentissage

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Si f est différentiable, le gradient de f est

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Sur un compact, une application continue est

Dans R, [2,+infini[ est

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Dans C, le cercle trigonométrique est

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

La fonction Gamma est

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Toute matrice de M(n,R) est

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Si A est une matrice, P est une matrice inversible, Q = P^(-1) et D = QAP. Alors D^n =

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Le PGCD de 3080 et 364 est

Combien 4900 admet-il de diviseurs positifs ?

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

Le groupe symétrique S_3 est isomorphe à un sous-groupe de S_n dès que n est supérieur ou égal à 3.

(Z/4Z,+) contient

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

Pour que la série de terme général u_n converge...

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

La série de terme général ln(1+1/n) est

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.