MP : Quiz d’apprentissage

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

Si f est différentiable, le gradient de f est

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Si f est différentiable sur un compact...

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

Un compact est un fermé borné

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Dans C, le cercle trigonométrique est

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

GL(n,R) est

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Dans R, [2,+infini[ est

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

La fonction ln est intégrable sur

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

La fonction Gamma est

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

La fonction cos est polynomiale

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Toute matrice de M(n,R) est

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Soit p un nombre premier et G un groupe fini d'ordre p. Alors G est abélien

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Z/6Z est isomorphe à...

(Z/6Z,+,*) est...

Dans un anneau commutatif, tout idéal est un sous-anneau.

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

Quels éléments sont inversibles dans l'anneau Z/165Z ?

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

La série de terme général cos(x)^n

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

La série de terme général sin(2/n²) est

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :