MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

81

MP

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

2 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

3 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

4 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

5 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

6 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

7 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

8 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

9 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

10 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

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Espaces vectoriels normés

227

MP

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

GL(n,R) est

2 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

3 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

4 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

5 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

6 / 10

Un compact est un fermé borné

7 / 10

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

8 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

9 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

10 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

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Intégration

149

MP

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

2 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

3 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

4 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

5 / 10

La fonction Gamma est

6 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

7 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

8 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

9 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

10 / 10

La fonction ln est intégrable sur

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Probabilités

118

MP

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

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Algèbre

68

MP

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

La fonction cos est polynomiale

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

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201

MP

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si A est une matrice, P est une matrice inversible, Q = P^(-1) et D = QAP. Alors D^n =

Toute matrice de M(n,R) est

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Si A est une matrice triangulaire, alors

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

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143

Algèbre générale

1 / 10

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

2 / 10

Quels éléments sont inversibles dans l'anneau Z/165Z ?

3 / 10

Le groupe U(Z/5Z) des inversibles de Z/5Z contient...

4 / 10

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

5 / 10

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

6 / 10

L'ensemble des matrices de déterminant nul est un groupe pour le produit matriciel.

7 / 10

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

8 / 10

Combien vaut l'indicatrice d'Euler de 57 ?

9 / 10

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

10 / 10

Si A et B sont des anneaux et que f est un morphisme d'anneaux de A vers B, alors...

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The average score is 54%

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Suites et séries

152

MP

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

La série de terme général cos(x)^n

2 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

3 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

4 / 10

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

5 / 10

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

6 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

7 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

8 / 10

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

9 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

10 / 10

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

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289

MP

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

2 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

3 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

4 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

5 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

6 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

7 / 10

La série de terme général ln(1+1/n) est

8 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

9 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

10 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

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