MP : Quiz d’apprentissage

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

Si f est différentiable, le gradient de f est

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Si f est différentiable sur un compact...

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

Sur un compact, une application continue est

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

GL(n,R) est

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

Un compact est un fermé borné

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

La fonction ln est intégrable sur

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

La fonction cos est polynomiale

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Si A est une matrice triangulaire, alors

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

Soit p un nombre premier et G un groupe fini d'ordre p. Alors G est abélien

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

L'indicatrice d'Euler de 1400 vaut

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

La série de terme général ln(1+1/n) est

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Pour que la série de terme général u_n converge...

La série de terme général sin(2/n²) est

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.