MP : Quiz d’apprentissage

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

Si f est différentiable sur un compact...

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

Si f est différentiable, le gradient de f est

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

Dans R, [2,+infini[ est

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

GL(n,R) est

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Un compact est un fermé borné

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

La fonction ln est intégrable sur

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

Toute matrice de M(n,R) est

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

Soit p un nombre premier et G un groupe fini d'ordre p. Alors G est abélien

Le groupe U(Z/5Z) des inversibles de Z/5Z contient...

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

La série de terme général ln(n)/n est

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Pour que la série de terme général u_n converge...

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

La série de terme général sin(2/n²) est

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

La série de terme général ln(1+1/n) est