MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

139

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Vrai

Faux

2 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

colinéaire aux lignes de niveau

orthogonal aux lignes de niveau

3 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Vrai

Faux

4 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

différentiable en (0,0)

Rien de tout cela

C^2 en (0,0)

continue en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

5 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Vrai

df(I_n)(H) = nH

Faux

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

6 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un minimum local

un point col

un point critique

un maximum local

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

7 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Faux

Vrai

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

8 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un maximum local en a

un minimum local en a

un point col en a

9 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

df=0

f est différentiable

df=f

f est continue

10 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il suffit qu'elle soit continue en a

il faut qu'elle soit continue en a

Votre score est

Le score moyen est 46%

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Espaces vectoriels normés

307

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

A est ouverte

A est fermée

A n'est pas ouverte

A n'est pas fermée

2 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Vrai

Faux

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

3 / 10

GL(n,R) est

connexe par arcs

compact

ouvert

fermé

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

4 / 10

Un compact est un fermé borné

Vrai

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

5 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Faux

Vrai

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

6 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

supérieure ou égale à 2

inférieure ou égale à 2

pas nécessairement définie

égale à 2

7 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Vrai

Faux

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

8 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Vrai si K=C, Faux si K=R

Vrai

Faux

9 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

compact

fermé

connexe par arcs

ouvert

10 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

connexe par arcs

compact

ouvert

fermé

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

201

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

R+

]0,1]

[1,+infini[

sur aucun de ces intervalles

2 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^x e^(-t) dt

t^(x+1) e^(-t) dt

t^(x-1) e^(-t) dt

t^x e^(-t-1) dt

3 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

4 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Vrai

Faux

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

5 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

6 / 10

La fonction Gamma est

définie sur R*+

strictement convexe sur R*+

de limite infinie en l'infini

continue sur R*+

de classe C infini sur R*+

strictement croissante sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

7 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur aucun de ces intervalles

sur R+

sur R

sur R-

8 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Vrai

Faux

1 n'est pas intégrable sur R+

9 / 10

La fonction ln est intégrable sur

]0,1]

[1,+infini[

sur aucun de ces intervalles

10 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

148

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

1 fois

3 fois

4 fois

2 fois

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

suit une loi de Poisson de paramètre 1

suit une loi de Poisson de paramètre 2

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

X admet une espérance et une variance finies

X admet une espérance finie mais une variance infinie

X admet une variance finie mais une espérance infinie

X n'admet ni espérance ni variance finie

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi binomiale

une loi géométrique

une loi de Bernoulli

une loi de Poisson

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

P(np)

B(p)

G(p)

B(n,p)

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Faux

Vrai

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois de Poisson

les lois géométriques

les lois uniformes

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

101

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

P admet des racines réelles

P est réductible dans R[X]

P n'admet pas de racines réelles

P est irréductible dans R[X]

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

P est scindé à racines simples

P n'est pas scindé

on ne peut pas conclure

P est scindé mais pas à racines simples

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Faux

Vrai

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Vrai

Faux

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

Vrai

Faux

X²-2 est irréductible dans Q[X] mais se factorise dans R[X]

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

X**2+1

X**2-16X+64

x**4+1

X**2-X-2

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

E =0, a = 4, b = -5

E =0, a = 4, b = 5

E non nul 0, a = -4, b = 5

E =0, a = -4, b = 5

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

on a une contradiction

a=b=c=0

on ne peut pas déterminer a, b et c

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

divisible par X²-2*Re(z)+|z|² dans R[X]

égal à X²-2*Re(z)+|z|²

égal à X-z dans R[X]

divisible par X-z dans R[X]

Soit D = PGCD(A,B). Comme A,B sont dans R[X], D aussi et donc D(z) = D(\bar z) = 0. Ainsi, (X-z)(X-\bar z) divise D, mais rien ne permet d'affirmer l'égalité.

Votre score est

Le score moyen est 45%

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261

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Faux

Vrai

Si le polynôme minimal est scindé sur C mais pas sur R, la matrice est diagonalisable dans M(n,C) mais pas dans M(n,R). C'est par exemple le cas pour une matrice de rotation.

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Vrai

Faux

Le polynôme caractéristique doit être scindé, mais pas nécessairement à racines simples. C'est néanmoins une condition suffisante de diagonalisabilité.

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

Faux

Vrai

f étant trigonalisable, son polynôme caractéristique est scindé. Le polynôme caractéristique de la restriction divisant celui de f, il est aussi scindé, et donc cette restriction est trigonalisable.

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

On ne peut pas savoir

Vrai

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Vrai

Faux

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Faux

Vrai

On ne peut pas conclure

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

A est nulle

A est diagonalisable

A est nilpotente

A est inversible

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

1 est valeur propre

A n'est pas inversible

-1 est valeur propre

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

son polynôme minimal est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

son polynôme minimal est scindé à racines simples

son polynôme caractéristique est scindé à racines simples

son polynôme caractéristique est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

Si A est une matrice, P est une matrice inversible, Q = P^(-1) et D = QAP. Alors D^n =

Q A^n P

Q^n A^n P^n

Votre score est

Le score moyen est 73%

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166

Algèbre générale

1 / 10

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

Z/2Z x Z/30Z

Z/12Z x Z/5Z

Z/3Z x Z/20Z

Z/10Z x Z/6Z

2 / 10

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

GL(n,K)

K[X]

K(X)

K_n[X]

3 / 10

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

n(n-1)/2 éléments

n éléments

n! éléments

n(n+1)/2 éléments

4 / 10

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

au moins d

au plus d

on ne peut pas savoir

5 / 10

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

6 / 10

Si A et B sont des anneaux et que f est un morphisme d'anneaux de A vers B, alors...

ker(f) est un idéal de A

im(f) est un idéal de B

ker(f) est un sous-anneau de A

im(f) est un sous-anneau de B

7 / 10

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

Il faut observer que 7 est d'ordre 4 dans Z/10Z donc 7**(2023) = 7**3 (mod 10) mais 7**2 = -1 (mod 10) donc 7**3 = -7 (mod 10) = 3 (mod 10).

8 / 10

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

(Z/2Z,+)

(Z/4Z,+)

(Z,+)

(Z/3Z,+)

Il y a exactement deux éléments inversibles dans l'anneau Z/4Z donc U(Z/4Z) est d'ordre 2, et donc isomorphe à Z/2Z.

9 / 10

Le groupe U(Z/5Z) des inversibles de Z/5Z contient...

4 éléments

aucun élément

5 éléments

1 élément

Comme 5 est premier, Z/5Z est un corps et donc tous ses éléments non nuls sont inversibles. U(Z/5Z) contient donc 4 éléments, et est en fait isomorphe à (Z/4Z,+).

10 / 10

Dans un anneau commutatif, tout idéal est un sous-anneau.

Faux

Vrai

Un sous-anneau contient l'unité. Et le seul idéal qui contient l'unité est l'anneau lui-même.

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

181

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f est dérivable sur I

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

2 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

diverge grossièrement si |z| est strictement supérieur à R

converge absolument si |z| est strictement inférieur à R

diverge si |z|=R

converge si |z|=R

3 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

diverger

converger

converger absolument

diverger grossièrement

4 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

elle converge normalement

son terme général converge uniformément

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

son terme général converge uniformément vers 0

5 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

+ l'infini

on ne peut pas savoir

6 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...carrément !

...pas forcément

...simplement vers une primitive de f

...uniformément vers une primitive de f

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

7 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

se peut

faut et il suffit

suffit

faut

8 / 10

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Faux

Vrai

Il faut que I soit un segment pour pouvoir l'affirmer (théorème de Weierstrass).

9 / 10

La série de terme général cos(x)^n

converge normalement sur ]0,pi[

converge simplement sur ]0,pi[

converge simplement sur R

ne converge pas sur ]0,pi[

Sur ]0,\pi[, la borne sup de |cos(x)^n| est 1, donc il n'y a pas convergence normale. Néanmoins, |cos(x)|<1 donc il y a convergence simple (série géométrique).

Sur R, il n'y a pas convergence simple car le terme général ne tend pas simplement vers 0.

10 / 10

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

il faut que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge simplement vers 0

il faut et il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

Votre score est

Le score moyen est 46%

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364

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la divergence de U_n implique celle de V_n

la convergence de V_n implique celle de U_n

la convergence de U_n implique celle de V_n

la divergence de V_n implique celle de U_n

2 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut 1/e

diverge

converge, et sa somme vaut e

converge, et sa somme vaut ln(2)

3 / 10

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Vrai

Faux

la décroissance n'est pas stable par équivalence

4 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

grossièrement divergente

divergente

absolument convergente

semi-convergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

5 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

R_n = o(T_n)

T_n = o(R_n)

V_n = o(U_n)

U_n = o(V_n)

6 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

convergente

divergente

semi-convergente

grossièrement divergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

7 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Vrai

Faux

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

8 / 10

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Elle converge vers 1

on ne peut pas conclure

Elle converge vers u_0-1

Elle diverge grossièrement

9 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Vrai

Faux

Le terme général est équivalent à 1/n^2. On conclut par comparaison.

10 / 10

La série de terme général ln(1+1/n) est

divergente

absolument convergente

semi-convergente

grossièrement divergente

Son terme général est positif et équivalent à 1/n. On conclut par comparaison.

Votre score est

Le score moyen est 33%

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