MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

191

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Vrai

Faux

2 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

3 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un minimum local en a

un maximum local en a

un point col en a

4 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Faux

Vrai

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

5 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Vrai

Faux

6 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f admet un extremum local en tout point critique

f admet un extremum global

f peut admettre un extremum en un point non critique

tout extremum local est global

7 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

df=0

f est différentiable

f est continue

df=f

8 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

C^2 en (0,0)

différentiable en (0,0)

Rien de tout cela

continue en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

9 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

orthogonal aux lignes de niveau

colinéaire aux lignes de niveau

10 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un point col

un minimum local

un point critique

un maximum local

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

Votre score est

Le score moyen est 45%

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Espaces vectoriels normés

356

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Vrai

vrai si K=C, faux si K=R

Faux

2 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Vrai

Faux

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

3 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai dans un compact

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Vrai

4 / 10

Sur un compact, une application continue est

lipschitizienne

uniformément continue

bornée

linéaire

5 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Faux

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

6 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

compact

connexe par arcs

fermé

ouvert

7 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Faux

Vrai

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

8 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

fermé

ouvert

connexe par arcs

compact

9 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

pas nécessairement définie

inférieure ou égale à 2

supérieure ou égale à 2

égale à 2

10 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Vrai

Faux

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

239

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Vrai

Faux

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

2 / 10

La fonction Gamma est

définie sur R*+

strictement croissante sur R*+

de classe C infini sur R*+

strictement convexe sur R*+

de limite infinie en l'infini

continue sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

3 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n+1) = n!

Gamma(n) = n!

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n)! = n+1

4 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

absolument convergente

divergente

convergente

semi-convergente

5 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

6 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Vrai

Faux

1 n'est pas intégrable sur R+

7 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

8 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^(x-1) e^(-t) dt

t^x e^(-t-1) dt

t^(x+1) e^(-t) dt

t^x e^(-t) dt

9 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Faux

Vrai

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

10 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Probabilités

198

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

G(p)

B(n,p)

B(p)

P(np)

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-3)/2

(X-3)/4

(X-9)/2

(X-9)/4

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

4 fois

3 fois

1 fois

2 fois

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

2,5

3,5

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

E[X]²

V(X)

V(X)+E[X]²

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois géométriques

les lois uniformes

les lois de Poisson

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

X admet une espérance finie mais une variance infinie

X n'admet ni espérance ni variance finie

X admet une variance finie mais une espérance infinie

X admet une espérance et une variance finies

Votre score est

Le score moyen est 61%

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Algèbre

124

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Faux

Vrai

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

C[X]

R[X]

Q[X]

La fonction cos est polynomiale

Faux

On ne peut pas savoir

Vrai

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

-4X+2

4X+2

4X-2

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

K[X]

L(E,F)

M(n,K)

K_n[X]

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

égal à X²-2*Re(z)+|z|²

divisible par X-z dans R[X]

divisible par X²-2*Re(z)+|z|² dans R[X]

égal à X-z dans R[X]

Soit D = PGCD(A,B). Comme A,B sont dans R[X], D aussi et donc D(z) = D(\bar z) = 0. Ainsi, (X-z)(X-\bar z) divise D, mais rien ne permet d'affirmer l'égalité.

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

E =0, a = 4, b = 5

E =0, a = -4, b = 5

E =0, a = 4, b = -5

E non nul 0, a = -4, b = 5

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Faux

Vrai

L'intersection de I et de J est un idéal M de K[X]. Comme tous les idéaux de K[X] sont principaux, il existe un unique polynôme unitaire P qui engendre M, et donc qui divise tous les éléments communs à I et J.

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

de degré 1

de degré 2

nulle

constante non nulle

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 45%

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313

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Toute matrice de M(n,R) est

diagonalisable dans M(n,C)

diagonalisable dans M(n,R)

trigonalisable dans M(n,R)

trigonalisable dans M(n,C)

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Vrai

On ne peut pas savoir

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A n'est pas inversible

A n'est pas diagonalisable

A est inversible

A est diagonalisable

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Faux

Vrai

Si le polynôme minimal est scindé sur C mais pas sur R, la matrice est diagonalisable dans M(n,C) mais pas dans M(n,R). C'est par exemple le cas pour une matrice de rotation.

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est nilpotente

A est inversible

A est diagonalisable

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Vrai

Faux

Si A est une matrice triangulaire, alors

ses valeurs propres sont sur la diagonale

A est diagonalisable

A est inversible

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

Faux

Vrai

f étant trigonalisable, son polynôme caractéristique est scindé. Le polynôme caractéristique de la restriction divisant celui de f, il est aussi scindé, et donc cette restriction est trigonalisable.

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

A^n + I

A+I

nA+I

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Faux

Vrai

f étant diagonalisable, il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Ce polynôme annule également la restriction, qui est donc diagonalisable.

Votre score est

Le score moyen est 73%

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186

Algèbre générale

1 / 10

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

Il faut observer que 7 est d'ordre 4 dans Z/10Z donc 7**(2023) = 7**3 (mod 10) mais 7**2 = -1 (mod 10) donc 7**3 = -7 (mod 10) = 3 (mod 10).

2 / 10

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

3 / 10

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

K_n[X]

K[X]

GL(n,K)

K(X)

4 / 10

(Z/6Z,+,*) est...

un idéal

un anneau intègre mais pas un corps

un corps

un anneau non intègre

5 / 10

Combien 4900 admet-il de diviseurs positifs ?

6 / 10

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

Z/12Z x Z/5Z

Z/3Z x Z/20Z

Z/2Z x Z/30Z

Z/10Z x Z/6Z

7 / 10

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Vrai

Faux

PGCD(33,121) = 11 donc 33 n'est pas inversible dans Z/121Z.

8 / 10

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Faux

Vrai

Si x est un générateur de G, alors le théorème de Lagrange assure que l'ordre de x divise l'ordre de G. Celui-ci étant p premier, l'ordre de x est 1 ou p. Et comme x n'est pas l'élément neutre, son ordre est p. Ainsi, G est engendré par x.

9 / 10

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

(Z,+)

(Z/2Z,+)

(Z/3Z,+)

(Z/4Z,+)

Il y a exactement deux éléments inversibles dans l'anneau Z/4Z donc U(Z/4Z) est d'ordre 2, et donc isomorphe à Z/2Z.

10 / 10

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

Vrai

Faux

Il n'est pas stable par produit.

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

203

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

elle converge simplement sur I

elle converge uniformément sur I

on ne peut rien dire

2 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...uniformément vers une primitive de f

...pas forcément

...carrément !

...simplement vers une primitive de f

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

3 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

f est dérivable sur I

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

4 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

converge absolument si |z| est strictement inférieur à R

diverge grossièrement si |z| est strictement supérieur à R

converge si |z|=R

diverge si |z|=R

5 / 10

La série de terme général cos(x)^n

ne converge pas sur ]0,pi[

converge normalement sur ]0,pi[

converge simplement sur ]0,pi[

converge simplement sur R

Sur ]0,\pi[, la borne sup de |cos(x)^n| est 1, donc il n'y a pas convergence normale. Néanmoins, |cos(x)|<1 donc il y a convergence simple (série géométrique).

Sur R, il n'y a pas convergence simple car le terme général ne tend pas simplement vers 0.

6 / 10

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

R_1 = R_2

R_1 est strictement plus grand que R_2

R_1 est strictement plus petit que R_2

on ne peut pas conclure

7 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

elle converge normalement sur ]-R,R[

elle converge normalement sur [-R,R]

elle converge normalement sur tout segment de ]-R,R[

elle converge uniformément sur ]-R,R[

8 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

f présente au plus un nombre fini de points de discontinuité

f est dérivable sur I

f est continue sur I

on ne peut pas conclure

9 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

on ne peut pas savoir

+ l'infini

10 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

diverger

converger absolument

diverger grossièrement

converger

Votre score est

Le score moyen est 46%

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414

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut (1-x^n)/(1-x)

converge, et sa somme vaut 1/(1-x)

converge, et sa somme vaut (1-x^(n+1))/(1-x)

diverge

2 / 10

La série de terme général ln(1+1/n) est

grossièrement divergente

absolument convergente

semi-convergente

divergente

Son terme général est positif et équivalent à 1/n. On conclut par comparaison.

3 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il faut que le terme général tende vers 0

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

4 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

U_n = o(V_n)

R_n = o(T_n)

T_n = o(R_n)

V_n = o(U_n)

5 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

diverge

converge, et sa somme vaut 1/e

converge, et sa somme vaut ln(2)

converge, et sa somme vaut e

6 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la divergence de U_n implique celle de V_n

la convergence de U_n implique celle de V_n

la divergence de V_n implique celle de U_n

la convergence de V_n implique celle de U_n

7 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

divergente

grossièrement divergente

semi-convergente

absolument convergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

8 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

grossièrement divergente

convergente

semi-convergente

divergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

9 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

la série de terme général u_n diverge

on ne peut pas conclure

la série de terme général u_n converge

Appliquer le critère de d'Alembert

10 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

divergente

grossièrement divergente

absolument convergente

semi-convergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

Votre score est

Le score moyen est 33%

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