MP : Quiz d’apprentissage

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Si f est différentiable sur un compact...

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Si f est différentiable, le gradient de f est

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Dans R, [2,+infini[ est

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Dans C, le cercle trigonométrique est

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

GL(n,R) est

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

La fonction Gamma est

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

La fonction ln est intégrable sur

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Si A est une matrice triangulaire, alors

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

Combien 4900 admet-il de diviseurs positifs ?

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Soit p un nombre premier et G un groupe fini d'ordre p. Alors G est abélien

Le PGCD de 3080 et 364 est

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

La série de terme général cos(x)^n

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Pour que la série de terme général u_n converge...

La série de terme général ln(n)/n est

La série de terme général ln(1+1/n) est