MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

190

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il suffit qu'elle soit continue en a

il faut qu'elle soit continue en a

2 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un minimum local

un point col

un point critique

un maximum local

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

3 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Faux

Vrai

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

4 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Faux

Vrai

5 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

C^2 en (0,0)

Rien de tout cela

continue en (0,0)

différentiable en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

6 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Faux

Vrai

7 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Vrai

df(I_n)(H) = nH

Faux

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

8 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f admet un extremum global

tout extremum local est global

f peut admettre un extremum en un point non critique

f admet un extremum local en tout point critique

9 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Vrai

Faux

10 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

f est continue

f est différentiable

df=0

df=f

Votre score est

Le score moyen est 45%

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Espaces vectoriels normés

354

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Vrai

Faux

vrai si K=C, faux si K=R

2 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Vrai

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

3 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Vrai

Vrai dans un compact

4 / 10

GL(n,R) est

connexe par arcs

compact

fermé

ouvert

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

5 / 10

Un compact est un fermé borné

Vrai

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

6 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Vrai

Faux

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

7 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Vrai

Faux

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

8 / 10

Sur un compact, une application continue est

uniformément continue

bornée

lipschitizienne

linéaire

9 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Vrai

Faux

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

10 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Faux

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

236

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

divergente

convergente

semi-convergente

absolument convergente

2 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

3 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Faux

Vrai

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

4 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

5 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

6 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n)! = n+1

Gamma(n+1) = n!

Gamma(n) = n!

Gamma(n) = (n+1)!

7 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Vrai

Faux

1 n'est pas intégrable sur R+

8 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

9 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

[1,+infini[

R+

sur aucun de ces intervalles

]0,1]

10 / 10

La fonction ln est intégrable sur

]0,1]

sur aucun de ces intervalles

[1,+infini[

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

198

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

3,5

2,5

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)+E[X]²

E[X]²

V(X)

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{0, ..., n}

{1,..., n}

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois de Poisson

les lois uniformes

les lois géométriques

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Faux

Vrai

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

1 fois

4 fois

3 fois

2 fois

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-9)/4

(X-9)/2

(X-3)/4

(X-3)/2

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

suit une loi de Poisson de paramètre 1

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

suit une loi de Poisson de paramètre 2

Votre score est

Le score moyen est 61%

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Algèbre

123

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

de degré 2

de degré 1

constante non nulle

nulle

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

divisible par X-z dans R[X]

égal à X-z dans R[X]

divisible par X²-2*Re(z)+|z|² dans R[X]

égal à X²-2*Re(z)+|z|²

Soit D = PGCD(A,B). Comme A,B sont dans R[X], D aussi et donc D(z) = D(\bar z) = 0. Ainsi, (X-z)(X-\bar z) divise D, mais rien ne permet d'affirmer l'égalité.

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

on ne peut pas conclure

P est scindé à racines simples

P est scindé mais pas à racines simples

P n'est pas scindé

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

P n'admet pas de racines réelles

P est réductible dans R[X]

P admet des racines réelles

P est irréductible dans R[X]

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Faux

Vrai

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

4X+2

4X-2

-4X+2

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Faux

Vrai

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

3 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Les polynômes constants

Les polynômes de degré 2 à discriminant négatif

Les polynômes n'admettant pas de racines réelles

Les polynômes de degré 1

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

x**4+1

X**2-16X+64

X**2+1

X**2-X-2

Votre score est

Le score moyen est 45%

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310

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

A est trigonalisable dans M(n,R)

A est diagonalisable dans M(n,C)

A est diagonalisable dans M(n,R)

A est trigonalisable dans M(n,C)

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A est inversible

A n'est pas diagonalisable

A est diagonalisable

A n'est pas inversible

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

vrai si K=R ou C

vrai si K=R, faux si K=C

faux si K=R ou C

vrai si K=C, faux si K=R

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

A est diagonalisable

X est valeur propre de A

2 est valeur propre de A

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Faux

Vrai

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Faux

Vrai

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Faux

Vrai

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Vrai

Faux

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est inversible

A est diagonalisable

A est nilpotente

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Vrai

On ne peut pas savoir

Votre score est

Le score moyen est 73%

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186

Algèbre générale

1 / 10

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

Faux

Vrai

Il n'est pas stable par produit.

2 / 10

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Déterminant

inversion

Trace

Transposition

3 / 10

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

Il faut observer que 7 est d'ordre 4 dans Z/10Z donc 7**(2023) = 7**3 (mod 10) mais 7**2 = -1 (mod 10) donc 7**3 = -7 (mod 10) = 3 (mod 10).

4 / 10

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

on ne peut pas savoir

au moins d

au plus d

5 / 10

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

6 / 10

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

Faux

Vrai

Z/9Z est cyclique donc contient un élément d'ordre 9 alors que tous les éléments de (Z/3Z)^2 sont d'ordre 1 ou 3.

7 / 10

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

Z/5Z

Z/12Z

Z/8Z

Z/6Z

8 / 10

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

au plus d

on ne peut pas savoir

au moins d

9 / 10

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

5 éléments inversibles

deux éléments inversibles

trois éléments inversibles

un élément inversible

10 / 10

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Z/6Z

Z/7Z

Z/3Z x Z/5Z

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

202

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

converge normalement sur R

converge uniformément sur R

ne converge d'aucune façon sur R

converge simplement sur R

Pour tout x réel, on a |sin(2*n*x)/n| <= 1/n. Il y a ainsi CU, et donc CS sur R.

2 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

converger

converger absolument

diverger

diverger grossièrement

3 / 10

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

sum a_n*x^(n+1)/(n+1)

sum n*a_n*x^(n-1)

sum a_n*(x^n)/n

sum (n+1)a_n x^(n+1)

4 / 10

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Vrai

Faux

Il faut ajouter une hypothèse de convergence uniforme.

5 / 10

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

f est continue sur I

f est continue sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points

f peut présenter une infinité de points de discontinuité

La continuité est une propriété locale, et chaque point de I admet un voisinage compact, donc la CU sur tout segment suffit à assurer la continuité en tout point de I.

6 / 10

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

R = 1

R = 0

R est strictement plus grand que 1

R est strictement plus petit que 1

7 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

faut

suffit

se peut

faut et il suffit

8 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

f est dérivable sur I

9 / 10

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge simplement vers 0

il faut que (f_n) converge uniformément vers 0

il faut et il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

10 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

son terme général converge uniformément vers 0

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

son terme général converge uniformément

elle converge normalement

Votre score est

Le score moyen est 46%

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414

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

on ne peut pas conclure

la série de terme général u_n diverge

la série de terme général u_n converge

Appliquer le critère de d'Alembert

2 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut 1/(1-x)

diverge

converge, et sa somme vaut (1-x^n)/(1-x)

converge, et sa somme vaut (1-x^(n+1))/(1-x)

3 / 10

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

semi-convergente

grossièrement divergente

divergente

absolument convergente

La série converge d'après le critère des séries alternées, mais ne converge pas absolument d'après le critère de Riemann.

4 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Vrai

on ne peut pas conclure

Faux

Si les séries convergent absolument, elles convergent donc (u_n) tend vers 0. A partir d'un certain rang, on a donc |u_n|<1 et |u_nv_n| < |v_n|. On conclut par comparaison.

5 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut e

diverge

converge, et sa somme vaut ln(2)

converge, et sa somme vaut 1/e

6 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

il faut que le terme général tende vers 0

il suffit que le terme général tende vers 0

7 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Faux

Vrai

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

8 / 10

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Faux

Vrai, si on ajoute l'hypothèse de convergence absolue.

Vrai

C'est déjà faux pour les sommes finies. Ce n'est pas la série \sum u_n*v_n qu'il faut considérer mais le produit de Cauchy des séries. Et il faut dans ce cas ajouter une hypothèse de convergence absolue.

9 / 10

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Faux

Vrai

la décroissance n'est pas stable par équivalence

10 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la divergence de U_n implique celle de V_n

la convergence de V_n implique celle de U_n

la divergence de V_n implique celle de U_n

la convergence de U_n implique celle de V_n

Votre score est

Le score moyen est 33%

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