MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

140

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il suffit qu'elle soit continue en a

il faut qu'elle soit continue en a

2 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

tout extremum local est global

f peut admettre un extremum en un point non critique

f admet un extremum local en tout point critique

f admet un extremum global

3 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Vrai

Faux

4 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un maximum local

un point critique

un minimum local

un point col

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

5 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

df(I_n)(H) = nH

Faux

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

Vrai

6 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

f est continue

df=f

f est différentiable

df=0

7 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un maximum local en a

un minimum local en a

un point col en a

8 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

orthogonal aux lignes de niveau

colinéaire aux lignes de niveau

9 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

continue en (0,0)

Rien de tout cela

C^2 en (0,0)

différentiable en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

10 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Vrai

Faux

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

Votre score est

Le score moyen est 46%

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Espaces vectoriels normés

308

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Vrai

Faux

Vrai si K=C, Faux si K=R

2 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai

Faux

Vrai dans un compact

Vrai en dimension finie uniquement

3 / 10

Un compact est un fermé borné

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

4 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Vrai

Faux

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

5 / 10

GL(n,R) est

connexe par arcs

fermé

ouvert

compact

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

6 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Vrai

Faux

vrai si K=C, faux si K=R

7 / 10

Sur un compact, une application continue est

linéaire

bornée

uniformément continue

lipschitizienne

8 / 10

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

A est fermée

A n'est pas fermée

A est ouverte

A n'est pas ouverte

9 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Vrai

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

10 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

fermé

connexe par arcs

ouvert

compact

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

202

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Vrai

Faux

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

2 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n)! = n+1

Gamma(n+1) = n!

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n) = n!

3 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Faux

Vrai

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

4 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R

sur aucun de ces intervalles

sur R+

sur R-

5 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Faux

Vrai

1 n'est pas intégrable sur R+

6 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

divergente

convergente

semi-convergente

absolument convergente

7 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^(x+1) e^(-t) dt

t^x e^(-t) dt

t^(x-1) e^(-t) dt

t^x e^(-t-1) dt

8 / 10

La fonction ln est intégrable sur

sur aucun de ces intervalles

[1,+infini[

]0,1]

9 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

10 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

149

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

XY admet une espérance inconnue

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-3)/2

(X-9)/4

(X-3)/4

(X-9)/2

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{1,..., n}

{0, ..., n}

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi de Bernoulli

une loi de Poisson

une loi géométrique

une loi binomiale

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Faux

Vrai

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

3,5

2,5

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

3 fois

4 fois

2 fois

1 fois

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

102

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Vrai

Faux

(X²+1)² n'a pas de racines réelles mais est réductible dans R[X].

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Vrai

Faux

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

K[X]

K_n[X]

M(n,K)

L(E,F)

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Les polynômes de degré 1

Les polynômes constants

Les polynômes de degré 2 à discriminant négatif

Les polynômes n'admettant pas de racines réelles

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

P est irréductible dans R[X]

P est réductible dans R[X]

P admet des racines réelles

P n'admet pas de racines réelles

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Vrai

Faux

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

X**2+1

x**4+1

X**2-X-2

X**2-16X+64

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

4X+2

-4X+2

4X-2

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

Q[X]

C[X]

R[X]

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

divisible par X²-2*Re(z)+|z|² dans R[X]

divisible par X-z dans R[X]

égal à X²-2*Re(z)+|z|²

égal à X-z dans R[X]

Soit D = PGCD(A,B). Comme A,B sont dans R[X], D aussi et donc D(z) = D(\bar z) = 0. Ainsi, (X-z)(X-\bar z) divise D, mais rien ne permet d'affirmer l'égalité.

Votre score est

Le score moyen est 45%

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262

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

On ne peut pas conclure

Vrai

Faux

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est nilpotente

A est inversible

A est diagonalisable

Si A est une matrice triangulaire, alors

A est diagonalisable

ses valeurs propres sont sur la diagonale

A est inversible

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

X est valeur propre de A

A est diagonalisable

2 est valeur propre de A

Si A est une matrice, P est une matrice inversible, Q = P^(-1) et D = QAP. Alors D^n =

Q^n A^n P^n

Q A^n P

Toute matrice de M(n,R) est

diagonalisable dans M(n,C)

diagonalisable dans M(n,R)

trigonalisable dans M(n,R)

trigonalisable dans M(n,C)

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Vrai

Faux

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Vrai

Faux

Le polynôme caractéristique doit être scindé, mais pas nécessairement à racines simples. C'est néanmoins une condition suffisante de diagonalisabilité.

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Faux

Vrai

Votre score est

Le score moyen est 73%

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167

Algèbre générale

1 / 10

Z/6Z est isomorphe à...

Z*6Z

(Z/2Z)*(Z/3Z)

(Z/2Z)*(Z/4Z)

(Z/5Z)

C'est une conséquence du théorème des restes chinois

2 / 10

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

Faux

Vrai

Il n'est pas stable par produit.

3 / 10

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

GL(n,K)

K_n[X]

K[X]

K(X)

4 / 10

Le groupe symétrique S_3 est isomorphe à un sous-groupe de S_n dès que n est supérieur ou égal à 3.

Vrai

Faux

S_3 s'identifie naturellement au sous-groupe de S_n formé des permutations qui laissent fixes les éléments 4,...,n.

5 / 10

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

Il faut observer que 7 est d'ordre 4 dans Z/10Z donc 7**(2023) = 7**3 (mod 10) mais 7**2 = -1 (mod 10) donc 7**3 = -7 (mod 10) = 3 (mod 10).

6 / 10

Le groupe U(Z/5Z) des inversibles de Z/5Z contient...

4 éléments

1 élément

aucun élément

5 éléments

Comme 5 est premier, Z/5Z est un corps et donc tous ses éléments non nuls sont inversibles. U(Z/5Z) contient donc 4 éléments, et est en fait isomorphe à (Z/4Z,+).

7 / 10

L'indicatrice d'Euler de 1400 vaut

240

1399

480

8 / 10

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

Z/12Z

Z/6Z

Z/5Z

Z/8Z

9 / 10

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

Vrai

Faux

Z/9Z est cyclique donc contient un élément d'ordre 9 alors que tous les éléments de (Z/3Z)^2 sont d'ordre 1 ou 3.

10 / 10

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Faux

Vrai

PGCD(33,121) = 11 donc 33 n'est pas inversible dans Z/121Z.

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

182

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

elle converge normalement sur [-R,R]

elle converge uniformément sur ]-R,R[

elle converge normalement sur tout segment de ]-R,R[

elle converge normalement sur ]-R,R[

2 / 10

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

f est continue sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points

f peut présenter une infinité de points de discontinuité

f est continue sur I

La continuité est une propriété locale, et chaque point de I admet un voisinage compact, donc la CU sur tout segment suffit à assurer la continuité en tout point de I.

3 / 10

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

sum a_n*x^(n+1)/(n+1)

sum (n+1)a_n x^(n+1)

sum n*a_n*x^(n-1)

sum a_n*(x^n)/n

4 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

on ne peut pas savoir

+ l'infini

5 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

suffit

faut

se peut

faut et il suffit

6 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

diverge si |z|=R

converge si |z|=R

converge absolument si |z| est strictement inférieur à R

diverge grossièrement si |z| est strictement supérieur à R

7 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

elle converge normalement

son terme général converge uniformément

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

son terme général converge uniformément vers 0

8 / 10

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Faux

Vrai

Il faut ajouter une hypothèse de convergence uniforme.

9 / 10

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

R est strictement plus petit que 1

R = 0

R = 1

R est strictement plus grand que 1

10 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

f est dérivable sur I

Votre score est

Le score moyen est 46%

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365

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

semi-convergente

convergente

divergente

grossièrement divergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

2 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Vrai

Faux

Le terme général est équivalent à 1/n^2. On conclut par comparaison.

3 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la divergence de V_n implique celle de U_n

la convergence de V_n implique celle de U_n

la divergence de U_n implique celle de V_n

la convergence de U_n implique celle de V_n

4 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

grossièrement divergente

divergente

semi-convergente

absolument convergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

5 / 10

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

divergente

absolument convergente

semi-convergente

grossièrement divergente

La série converge d'après le critère des séries alternées, mais ne converge pas absolument d'après le critère de Riemann.

6 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0

il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

7 / 10

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Faux

Vrai

Vrai, si on ajoute l'hypothèse de convergence absolue.

C'est déjà faux pour les sommes finies. Ce n'est pas la série \sum u_n*v_n qu'il faut considérer mais le produit de Cauchy des séries. Et il faut dans ce cas ajouter une hypothèse de convergence absolue.

8 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

les séries sum u_n et sum v_n sont de même nature

les sommes des séries correspondantes sont égales

les suites des sommes partielles sont équivalentes

les suites des restes partielles sont équivalentes

9 / 10

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Vrai

Faux

la décroissance n'est pas stable par équivalence

10 / 10

La série de terme général ln(1+1/n) est

divergente

absolument convergente

grossièrement divergente

semi-convergente

Son terme général est positif et équivalent à 1/n. On conclut par comparaison.

Votre score est

Le score moyen est 34%

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