MP : Quiz d’apprentissage

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Si f est différentiable, le gradient de f est

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Si f est différentiable sur un compact...

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

Dans R, [2,+infini[ est

Sur un compact, une application continue est

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Un compact est un fermé borné

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

La fonction Gamma est

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

La fonction cos est polynomiale

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

Quels éléments sont inversibles dans l'anneau Z/165Z ?

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

Soit p un nombre premier et G un groupe fini d'ordre p. Alors G est abélien

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Le PGCD de 3080 et 364 est

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

La série de terme général ln(n)/n est

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.