MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

190

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un minimum local en a

un maximum local en a

un point col en a

2 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

f est différentiable

f est continue

df=0

df=f

3 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f admet un extremum local en tout point critique

tout extremum local est global

f peut admettre un extremum en un point non critique

f admet un extremum global

4 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

5 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un point critique

un minimum local

un point col

un maximum local

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

6 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Vrai

Faux

7 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Vrai

Faux

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

8 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

df(I_n)(H) = nH

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

Vrai

Faux

9 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il suffit qu'elle soit continue en a

il faut qu'elle soit continue en a

10 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 45%

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Espaces vectoriels normés

354

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Un compact est un fermé borné

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

2 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Vrai si K=C, Faux si K=R

Vrai

Faux

3 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

ouvert

compact

fermé

connexe par arcs

4 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Vrai

Faux

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

5 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Vrai

Faux

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

6 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Faux

Vrai

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

7 / 10

Sur un compact, une application continue est

linéaire

lipschitizienne

uniformément continue

bornée

8 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Faux

Vrai

vrai si K=C, faux si K=R

9 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Vrai

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

10 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Faux

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

236

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

2 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^x e^(-t) dt

t^(x-1) e^(-t) dt

t^x e^(-t-1) dt

t^(x+1) e^(-t) dt

3 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n) = n!

Gamma(n)! = n+1

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n+1) = n!

4 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Vrai

Faux

1 n'est pas intégrable sur R+

5 / 10

La fonction ln est intégrable sur

sur aucun de ces intervalles

[1,+infini[

]0,1]

6 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

7 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Vrai

Faux

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

8 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R

sur R+

sur R-

sur aucun de ces intervalles

9 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Vrai

Faux

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

10 / 10

La fonction Gamma est

continue sur R*+

de classe C infini sur R*+

strictement convexe sur R*+

définie sur R*+

de limite infinie en l'infini

strictement croissante sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

198

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Faux

Vrai

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

E[X]²

V(X)

V(X)+E[X]²

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

2,5

3,5

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

G(p)

B(n,p)

P(np)

B(p)

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

1 fois

4 fois

3 fois

2 fois

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi de Bernoulli

une loi binomiale

une loi géométrique

une loi de Poisson

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-9)/2

(X-3)/2

(X-9)/4

(X-3)/4

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

Votre score est

Le score moyen est 61%

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Algèbre

123

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Vrai

Faux

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

P est scindé à racines simples

P est scindé mais pas à racines simples

on ne peut pas conclure

P n'est pas scindé

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

4 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Vrai

Faux

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

E =0, a = 4, b = 5

E non nul 0, a = -4, b = 5

E =0, a = 4, b = -5

E =0, a = -4, b = 5

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

R[X]

Q[X]

C[X]

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

égal à X²-2*Re(z)+|z|²

divisible par X²-2*Re(z)+|z|² dans R[X]

divisible par X-z dans R[X]

égal à X-z dans R[X]

Soit D = PGCD(A,B). Comme A,B sont dans R[X], D aussi et donc D(z) = D(\bar z) = 0. Ainsi, (X-z)(X-\bar z) divise D, mais rien ne permet d'affirmer l'égalité.

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Vrai

Faux

(X²+1)² n'a pas de racines réelles mais est réductible dans R[X].

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Faux

Vrai

Votre score est

Le score moyen est 45%

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310

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Faux

Vrai

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Vrai

Faux

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

On ne peut pas savoir

Vrai

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Vrai

Faux

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A est inversible

A n'est pas inversible

A est diagonalisable

A n'est pas diagonalisable

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Vrai

Faux

f étant diagonalisable, il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Ce polynôme annule également la restriction, qui est donc diagonalisable.

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

A est diagonalisable

X est valeur propre de A

2 est valeur propre de A

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

A est nilpotente

A est inversible

A est nulle

A est diagonalisable

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Faux

Vrai

Le polynôme caractéristique doit être scindé, mais pas nécessairement à racines simples. C'est néanmoins une condition suffisante de diagonalisabilité.

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

On ne peut pas conclure

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 73%

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186

Algèbre générale

1 / 10

L'indicatrice d'Euler de 1400 vaut

480

1399

240

2 / 10

Quels éléments sont inversibles dans l'anneau Z/165Z ?

164

3 / 10

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

Faux

Vrai

Il n'est pas stable par produit.

4 / 10

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

Faux

Vrai

Z/9Z est cyclique donc contient un élément d'ordre 9 alors que tous les éléments de (Z/3Z)^2 sont d'ordre 1 ou 3.

5 / 10

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

6 / 10

Si A et B sont des anneaux et que f est un morphisme d'anneaux de A vers B, alors...

ker(f) est un idéal de A

im(f) est un idéal de B

im(f) est un sous-anneau de B

ker(f) est un sous-anneau de A

7 / 10

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

8 / 10

(Z/6Z,+,*) est...

un idéal

un corps

un anneau intègre mais pas un corps

un anneau non intègre

9 / 10

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

n éléments

n(n+1)/2 éléments

n(n-1)/2 éléments

n! éléments

10 / 10

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Trace

Transposition

inversion

Déterminant

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

202

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

diverge si |z|=R

converge absolument si |z| est strictement inférieur à R

converge si |z|=R

diverge grossièrement si |z| est strictement supérieur à R

2 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

elle converge normalement

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

son terme général converge uniformément

son terme général converge uniformément vers 0

3 / 10

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

R_a est supérieur ou égal à R_b

R_a est inférrieur ou égal à R_b

R_a est strictement inférieur à R_b

R_a est strictement supérieur à R_b

4 / 10

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

on ne peut pas conclure

R_1 est strictement plus petit que R_2

R_1 = R_2

R_1 est strictement plus grand que R_2

5 / 10

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

f est continue sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points

f peut présenter une infinité de points de discontinuité

f est continue sur I

La continuité est une propriété locale, et chaque point de I admet un voisinage compact, donc la CU sur tout segment suffit à assurer la continuité en tout point de I.

6 / 10

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Faux

Vrai

Il faut que I soit un segment pour pouvoir l'affirmer (théorème de Weierstrass).

7 / 10

La série de terme général cos(x)^n

converge normalement sur ]0,pi[

converge simplement sur ]0,pi[

ne converge pas sur ]0,pi[

converge simplement sur R

Sur ]0,\pi[, la borne sup de |cos(x)^n| est 1, donc il n'y a pas convergence normale. Néanmoins, |cos(x)|<1 donc il y a convergence simple (série géométrique).

Sur R, il n'y a pas convergence simple car le terme général ne tend pas simplement vers 0.

8 / 10

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

sum a_n*x^(n+1)/(n+1)

sum n*a_n*x^(n-1)

sum (n+1)a_n x^(n+1)

sum a_n*(x^n)/n

9 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

f est dérivable sur I

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

10 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

diverger

converger

converger absolument

diverger grossièrement

Votre score est

Le score moyen est 46%

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414

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la divergence de V_n implique celle de U_n

la convergence de U_n implique celle de V_n

la convergence de V_n implique celle de U_n

la divergence de U_n implique celle de V_n

2 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut 1/e

converge, et sa somme vaut ln(2)

diverge

converge, et sa somme vaut e

3 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

U_n = o(V_n)

V_n = o(U_n)

T_n = o(R_n)

R_n = o(T_n)

4 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

les séries sum u_n et sum v_n sont de même nature

les sommes des séries correspondantes sont égales

les suites des restes partielles sont équivalentes

les suites des sommes partielles sont équivalentes

5 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

grossièrement divergente

absolument convergente

divergente

semi-convergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

6 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Faux

Vrai

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

7 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

grossièrement divergente

divergente

semi-convergente

absolument convergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

8 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

diverge

converge, et sa somme vaut (1-x^(n+1))/(1-x)

converge, et sa somme vaut 1/(1-x)

converge, et sa somme vaut (1-x^n)/(1-x)

9 / 10

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

absolument convergente

divergente

semi-convergente

grossièrement divergente

La série converge d'après le critère des séries alternées, mais ne converge pas absolument d'après le critère de Riemann.

10 / 10

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Vrai

Faux

la décroissance n'est pas stable par équivalence

Votre score est

Le score moyen est 33%

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