MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

178

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un maximum local

un point critique

un point col

un minimum local

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

2 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

df=f

f est différentiable

df=0

f est continue

3 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

Vrai

df(I_n)(H) = nH

Faux

4 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Vrai

Faux

5 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

C^2 en (0,0)

différentiable en (0,0)

continue en (0,0)

Rien de tout cela

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

6 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

orthogonal aux lignes de niveau

colinéaire aux lignes de niveau

7 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un point col en a

un minimum local en a

un maximum local en a

8 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Vrai

Faux

9 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f peut admettre un extremum en un point non critique

f admet un extremum global

f admet un extremum local en tout point critique

tout extremum local est global

10 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 46%

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Espaces vectoriels normés

348

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

2 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Vrai

Faux

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

3 / 10

Un compact est un fermé borné

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

4 / 10

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

A est ouverte

A n'est pas ouverte

A est fermée

A n'est pas fermée

5 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Vrai

Faux

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

6 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Vrai

Faux

Vrai si K=C, Faux si K=R

7 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai dans un compact

Faux

Vrai

8 / 10

Sur un compact, une application continue est

lipschitizienne

linéaire

uniformément continue

bornée

9 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Vrai

Faux

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

10 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Faux

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

233

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

2 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

divergente

convergente

absolument convergente

semi-convergente

3 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Faux

Vrai

1 n'est pas intégrable sur R+

4 / 10

La fonction Gamma est

de limite infinie en l'infini

strictement croissante sur R*+

strictement convexe sur R*+

définie sur R*+

continue sur R*+

de classe C infini sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

5 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^(x+1) e^(-t) dt

t^x e^(-t) dt

t^x e^(-t-1) dt

t^(x-1) e^(-t) dt

6 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

sur aucun de ces intervalles

]0,1]

[1,+infini[

R+

7 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

8 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Vrai

Faux

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

9 / 10

La fonction ln est intégrable sur

]0,1]

[1,+infini[

sur aucun de ces intervalles

10 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n) = n!

Gamma(n+1) = n!

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n)! = n+1

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

183

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

2,5

3,5

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-3)/2

(X-9)/2

(X-9)/4

(X-3)/4

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)+E[X]²

E[X]²

V(X)

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

suit une loi de Poisson de paramètre 2

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

suit une loi de Poisson de paramètre 1

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

3 fois

1 fois

4 fois

2 fois

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

P(np)

B(n,p)

G(p)

B(p)

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi de Bernoulli

une loi géométrique

une loi de Poisson

une loi binomiale

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

XY admet une espérance inconnue

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois de Poisson

les lois géométriques

les lois uniformes

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

116

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Vrai

Faux

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Faux

Vrai

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Les polynômes constants

Les polynômes de degré 1

Les polynômes n'admettant pas de racines réelles

Les polynômes de degré 2 à discriminant négatif

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Faux

Vrai

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Vrai

Faux

(X²+1)² n'a pas de racines réelles mais est réductible dans R[X].

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

E =0, a = -4, b = 5

E =0, a = 4, b = -5

E =0, a = 4, b = 5

E non nul 0, a = -4, b = 5

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

Faux

Vrai

X²-2 est irréductible dans Q[X] mais se factorise dans R[X]

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Faux

Vrai

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

K_n[X]

L(E,F)

M(n,K)

K[X]

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

égal à X²-2*Re(z)+|z|²

divisible par X²-2*Re(z)+|z|² dans R[X]

divisible par X-z dans R[X]

égal à X-z dans R[X]

Soit D = PGCD(A,B). Comme A,B sont dans R[X], D aussi et donc D(z) = D(\bar z) = 0. Ainsi, (X-z)(X-\bar z) divise D, mais rien ne permet d'affirmer l'égalité.

Votre score est

Le score moyen est 46%

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303

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

A n'est pas inversible

-1 est valeur propre

1 est valeur propre

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

Vrai

Faux

f étant trigonalisable, son polynôme caractéristique est scindé. Le polynôme caractéristique de la restriction divisant celui de f, il est aussi scindé, et donc cette restriction est trigonalisable.

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

A est diagonalisable

A est nulle

A est inversible

A est nilpotente

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est inversible

A est nilpotente

A est diagonalisable

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Vrai

Faux

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

diagonale

nulle

inversible

Si A est une matrice, P est une matrice inversible, Q = P^(-1) et D = QAP. Alors D^n =

Q A^n P

Q^n A^n P^n

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Faux

Vrai

Si le polynôme minimal est scindé sur C mais pas sur R, la matrice est diagonalisable dans M(n,C) mais pas dans M(n,R). C'est par exemple le cas pour une matrice de rotation.

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Vrai

Faux

f étant diagonalisable, il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Ce polynôme annule également la restriction, qui est donc diagonalisable.

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A est inversible

A n'est pas inversible

A n'est pas diagonalisable

A est diagonalisable

Votre score est

Le score moyen est 73%

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184

Algèbre générale

1 / 10

Z/6Z est isomorphe à...

Z*6Z

(Z/2Z)*(Z/4Z)

(Z/2Z)*(Z/3Z)

(Z/5Z)

C'est une conséquence du théorème des restes chinois

2 / 10

Le groupe U(Z/5Z) des inversibles de Z/5Z contient...

4 éléments

1 élément

5 éléments

aucun élément

Comme 5 est premier, Z/5Z est un corps et donc tous ses éléments non nuls sont inversibles. U(Z/5Z) contient donc 4 éléments, et est en fait isomorphe à (Z/4Z,+).

3 / 10

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Faux

Vrai

Si x est un générateur de G, alors le théorème de Lagrange assure que l'ordre de x divise l'ordre de G. Celui-ci étant p premier, l'ordre de x est 1 ou p. Et comme x n'est pas l'élément neutre, son ordre est p. Ainsi, G est engendré par x.

4 / 10

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

au plus d

on ne peut pas savoir

au moins d

5 / 10

Le PGCD de 3080 et 364 est

6 / 10

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

Il faut observer que 7 est d'ordre 4 dans Z/10Z donc 7**(2023) = 7**3 (mod 10) mais 7**2 = -1 (mod 10) donc 7**3 = -7 (mod 10) = 3 (mod 10).

7 / 10

Quels éléments sont inversibles dans l'anneau Z/165Z ?

164

8 / 10

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

9 / 10

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

(Z/3Z,+)

(Z/4Z,+)

(Z,+)

(Z/2Z,+)

Il y a exactement deux éléments inversibles dans l'anneau Z/4Z donc U(Z/4Z) est d'ordre 2, et donc isomorphe à Z/2Z.

10 / 10

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

200

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

elle converge normalement sur ]-R,R[

elle converge normalement sur [-R,R]

elle converge normalement sur tout segment de ]-R,R[

elle converge uniformément sur ]-R,R[

2 / 10

La série de terme général cos(x)^n

converge simplement sur ]0,pi[

converge simplement sur R

converge normalement sur ]0,pi[

ne converge pas sur ]0,pi[

Sur ]0,\pi[, la borne sup de |cos(x)^n| est 1, donc il n'y a pas convergence normale. Néanmoins, |cos(x)|<1 donc il y a convergence simple (série géométrique).

Sur R, il n'y a pas convergence simple car le terme général ne tend pas simplement vers 0.

3 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...uniformément vers une primitive de f

...carrément !

...simplement vers une primitive de f

...pas forcément

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

4 / 10

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

R_a est supérieur ou égal à R_b

R_a est strictement inférieur à R_b

R_a est strictement supérieur à R_b

R_a est inférrieur ou égal à R_b

5 / 10

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

R est strictement plus petit que 1

R = 0

R = 1

R est strictement plus grand que 1

6 / 10

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Faux

Vrai

Il faut que I soit un segment pour pouvoir l'affirmer (théorème de Weierstrass).

7 / 10

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

R est inférieur ou égal à R'

R=R'

R est supérieur ou égal à R'

ça dépend des cas

8 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

converger absolument

diverger

converger

diverger grossièrement

9 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

f est dérivable sur I

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

10 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

f est continue sur I

f est dérivable sur I

f présente au plus un nombre fini de points de discontinuité

on ne peut pas conclure

Votre score est

Le score moyen est 46%

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413

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

La série de terme général ln(1+1/n) est

divergente

absolument convergente

grossièrement divergente

semi-convergente

Son terme général est positif et équivalent à 1/n. On conclut par comparaison.

2 / 10

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Vrai

Faux

Vrai, si on ajoute l'hypothèse de convergence absolue.

C'est déjà faux pour les sommes finies. Ce n'est pas la série \sum u_n*v_n qu'il faut considérer mais le produit de Cauchy des séries. Et il faut dans ce cas ajouter une hypothèse de convergence absolue.

3 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

grossièrement divergente

absolument convergente

divergente

semi-convergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

4 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut 1/e

converge, et sa somme vaut ln(2)

converge, et sa somme vaut e

diverge

5 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Vrai

Faux

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

6 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut (1-x^n)/(1-x)

diverge

converge, et sa somme vaut (1-x^(n+1))/(1-x)

converge, et sa somme vaut 1/(1-x)

7 / 10

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

semi-convergente

grossièrement divergente

divergente

absolument convergente

La série converge d'après le critère des séries alternées, mais ne converge pas absolument d'après le critère de Riemann.

8 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

les suites des restes partielles sont équivalentes

les sommes des séries correspondantes sont égales

les suites des sommes partielles sont équivalentes

les séries sum u_n et sum v_n sont de même nature

9 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

on ne peut pas conclure

Faux

Vrai

Si les séries convergent absolument, elles convergent donc (u_n) tend vers 0. A partir d'un certain rang, on a donc |u_n|<1 et |u_nv_n| < |v_n|. On conclut par comparaison.

10 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

divergente

absolument convergente

grossièrement divergente

semi-convergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

Votre score est

Le score moyen est 33%

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