MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

140

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

f est différentiable

f est continue

df=f

df=0

2 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Vrai

Faux

3 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un minimum local en a

un maximum local en a

un point col en a

4 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Faux

Vrai

5 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f admet un extremum local en tout point critique

f peut admettre un extremum en un point non critique

tout extremum local est global

f admet un extremum global

6 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Faux

Vrai

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

7 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un point critique

un maximum local

un point col

un minimum local

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

8 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Vrai

Faux

9 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

df(I_n)(H) = nH

Faux

Vrai

10 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

C^2 en (0,0)

Rien de tout cela

différentiable en (0,0)

continue en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

Votre score est

Le score moyen est 46%

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Espaces vectoriels normés

312

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Faux

Vrai

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

2 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Faux

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

3 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

vrai si K=C, faux si K=R

Vrai

Faux

4 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

supérieure ou égale à 2

inférieure ou égale à 2

égale à 2

pas nécessairement définie

5 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Faux

Vrai dans un compact

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

6 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Faux

Vrai

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

7 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Faux

Vrai

Vrai si K=C, Faux si K=R

8 / 10

Sur un compact, une application continue est

uniformément continue

lipschitizienne

bornée

linéaire

9 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

connexe par arcs

fermé

ouvert

compact

10 / 10

Un compact est un fermé borné

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

203

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

2 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

R+

sur aucun de ces intervalles

]0,1]

[1,+infini[

3 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

4 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R-

sur R+

sur aucun de ces intervalles

sur R

5 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n+1) = n!

Gamma(n) = n!

Gamma(n)! = n+1

6 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

7 / 10

La fonction Gamma est

de limite infinie en l'infini

de classe C infini sur R*+

définie sur R*+

continue sur R*+

strictement convexe sur R*+

strictement croissante sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

8 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Vrai

Faux

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

9 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Faux

Vrai

1 n'est pas intégrable sur R+

10 / 10

La fonction ln est intégrable sur

[1,+infini[

]0,1]

sur aucun de ces intervalles

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

151

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)+E[X]²

E[X]²

V(X)

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{0, ..., n}

{1,..., n}

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

X n'admet ni espérance ni variance finie

X admet une espérance et une variance finies

X admet une espérance finie mais une variance infinie

X admet une variance finie mais une espérance infinie

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

suit une loi de Poisson de paramètre 1

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

suit une loi de Poisson de paramètre 2

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois de Poisson

les lois géométriques

les lois uniformes

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

3,5

2,5

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

XY admet une espérance inconnue

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi géométrique

une loi de Bernoulli

une loi binomiale

une loi de Poisson

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

103

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

4X-2

4X+2

-4X+2

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Vrai

Faux

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Faux

Vrai

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

égal à X-z dans R[X]

divisible par X²-2*Re(z)+|z|² dans R[X]

divisible par X-z dans R[X]

égal à X²-2*Re(z)+|z|²

Soit D = PGCD(A,B). Comme A,B sont dans R[X], D aussi et donc D(z) = D(\bar z) = 0. Ainsi, (X-z)(X-\bar z) divise D, mais rien ne permet d'affirmer l'égalité.

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

2 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

(X²+1) divise P

(X-j²) divise P

(X²+X+1) divise P

(X-j) divise P

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Faux

Vrai

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Vrai

Faux

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Vrai

Faux

L'intersection de I et de J est un idéal M de K[X]. Comme tous les idéaux de K[X] sont principaux, il existe un unique polynôme unitaire P qui engendre M, et donc qui divise tous les éléments communs à I et J.

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Faux

Vrai

Votre score est

Le score moyen est 45%

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266

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Vrai

Faux

Si le polynôme minimal est scindé sur C mais pas sur R, la matrice est diagonalisable dans M(n,C) mais pas dans M(n,R). C'est par exemple le cas pour une matrice de rotation.

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Vrai

On ne peut pas savoir

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Faux

Vrai

Si A est une matrice triangulaire, alors

A est diagonalisable

ses valeurs propres sont sur la diagonale

A est inversible

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Vrai

Faux

f étant diagonalisable, il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Ce polynôme annule également la restriction, qui est donc diagonalisable.

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Vrai

Faux

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Vrai

Faux

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

Vrai

Faux

f étant trigonalisable, son polynôme caractéristique est scindé. Le polynôme caractéristique de la restriction divisant celui de f, il est aussi scindé, et donc cette restriction est trigonalisable.

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Vrai

Faux

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

son polynôme caractéristique est scindé à racines simples

son polynôme minimal est scindé à racines simples

son polynôme minimal est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

son polynôme caractéristique est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

Votre score est

Le score moyen est 73%

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168

Algèbre générale

1 / 10

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Faux

Vrai

PGCD(33,121) = 11 donc 33 n'est pas inversible dans Z/121Z.

2 / 10

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

Vrai

Faux

Z/9Z est cyclique donc contient un élément d'ordre 9 alors que tous les éléments de (Z/3Z)^2 sont d'ordre 1 ou 3.

3 / 10

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

n! éléments

n(n+1)/2 éléments

n(n-1)/2 éléments

n éléments

4 / 10

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

Faux

Vrai

Il n'est pas stable par produit.

5 / 10

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

6 / 10

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

un élément inversible

trois éléments inversibles

deux éléments inversibles

5 éléments inversibles

7 / 10

Soit p un nombre premier et G un groupe fini d'ordre p. Alors G est abélien

Faux

Vrai

Un groupe d'ordre p premier est nécessairement cyclique ; il est en particulier abélien.

8 / 10

Si A et B sont des anneaux et que f est un morphisme d'anneaux de A vers B, alors...

ker(f) est un sous-anneau de A

im(f) est un sous-anneau de B

im(f) est un idéal de B

ker(f) est un idéal de A

9 / 10

Le PGCD de 3080 et 364 est

10 / 10

Le groupe U(Z/5Z) des inversibles de Z/5Z contient...

4 éléments

5 éléments

aucun élément

1 élément

Comme 5 est premier, Z/5Z est un corps et donc tous ses éléments non nuls sont inversibles. U(Z/5Z) contient donc 4 éléments, et est en fait isomorphe à (Z/4Z,+).

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

183

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...pas forcément

...carrément !

...uniformément vers une primitive de f

...simplement vers une primitive de f

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

2 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

f est dérivable sur I

3 / 10

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il faut et il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il faut que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge simplement vers 0

4 / 10

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

f est continue sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points

f est continue sur I

f peut présenter une infinité de points de discontinuité

La continuité est une propriété locale, et chaque point de I admet un voisinage compact, donc la CU sur tout segment suffit à assurer la continuité en tout point de I.

5 / 10

La série de terme général cos(x)^n

converge normalement sur ]0,pi[

converge simplement sur R

converge simplement sur ]0,pi[

ne converge pas sur ]0,pi[

Sur ]0,\pi[, la borne sup de |cos(x)^n| est 1, donc il n'y a pas convergence normale. Néanmoins, |cos(x)|<1 donc il y a convergence simple (série géométrique).

Sur R, il n'y a pas convergence simple car le terme général ne tend pas simplement vers 0.

6 / 10

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

converge simplement sur R

converge normalement sur R

ne converge d'aucune façon sur R

converge uniformément sur R

Pour tout x réel, on a |sin(2*n*x)/n| <= 1/n. Il y a ainsi CU, et donc CS sur R.

7 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

elle converge normalement sur ]-R,R[

elle converge uniformément sur ]-R,R[

elle converge normalement sur [-R,R]

elle converge normalement sur tout segment de ]-R,R[

8 / 10

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

sum a_n*(x^n)/n

sum n*a_n*x^(n-1)

sum (n+1)a_n x^(n+1)

sum a_n*x^(n+1)/(n+1)

9 / 10

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Faux

Vrai

Il faut ajouter une hypothèse de convergence uniforme.

10 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

diverger grossièrement

converger absolument

diverger

converger

Votre score est

Le score moyen est 46%

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367

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la convergence de V_n implique celle de U_n

la divergence de V_n implique celle de U_n

la divergence de U_n implique celle de V_n

la convergence de U_n implique celle de V_n

2 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

il faut que le terme général tende vers 0

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

3 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Vrai

Faux

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

4 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

semi-convergente

divergente

absolument convergente

grossièrement divergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

5 / 10

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

absolument convergente

grossièrement divergente

semi-convergente

divergente

La série converge d'après le critère des séries alternées, mais ne converge pas absolument d'après le critère de Riemann.

6 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

convergente

divergente

grossièrement divergente

semi-convergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

7 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Vrai

Faux

on ne peut pas conclure

Si les séries convergent absolument, elles convergent donc (u_n) tend vers 0. A partir d'un certain rang, on a donc |u_n|<1 et |u_nv_n| < |v_n|. On conclut par comparaison.

8 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut 1/e

converge, et sa somme vaut e

converge, et sa somme vaut ln(2)

diverge

9 / 10

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Vrai

Faux

la décroissance n'est pas stable par équivalence

10 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Vrai

Faux

Le terme général est équivalent à 1/n^2. On conclut par comparaison.

Votre score est

Le score moyen est 34%

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