MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

180

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un point col en a

un minimum local en a

un maximum local en a

2 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Vrai

Faux

3 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un maximum local

un minimum local

un point critique

un point col

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

4 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Vrai

Faux

5 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

continue en (0,0)

C^2 en (0,0)

Rien de tout cela

différentiable en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

6 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Vrai

Faux

7 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f peut admettre un extremum en un point non critique

f admet un extremum local en tout point critique

f admet un extremum global

tout extremum local est global

8 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

f est continue

f est différentiable

df=0

df=f

9 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il faut qu'elle soit continue en a

il suffit qu'elle soit continue en a

10 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Vrai

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

df(I_n)(H) = nH

Faux

Votre score est

Le score moyen est 46%

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Espaces vectoriels normés

349

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

2 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Vrai

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

3 / 10

Sur un compact, une application continue est

linéaire

bornée

uniformément continue

lipschitizienne

4 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

connexe par arcs

ouvert

fermé

compact

5 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai dans un compact

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Vrai

6 / 10

Un compact est un fermé borné

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Faux

7 / 10

GL(n,R) est

connexe par arcs

compact

fermé

ouvert

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

8 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Vrai

Vrai si K=C, Faux si K=R

Faux

9 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

ouvert

connexe par arcs

compact

fermé

10 / 10

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

A est fermée

A n'est pas ouverte

A est ouverte

A n'est pas fermée

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

234

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Vrai

Faux

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

2 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

3 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R

sur aucun de ces intervalles

sur R+

sur R-

4 / 10

La fonction Gamma est

définie sur R*+

strictement croissante sur R*+

de classe C infini sur R*+

continue sur R*+

de limite infinie en l'infini

strictement convexe sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

5 / 10

La fonction ln est intégrable sur

]0,1]

[1,+infini[

sur aucun de ces intervalles

6 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Vrai

Faux

1 n'est pas intégrable sur R+

7 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

8 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

divergente

absolument convergente

semi-convergente

convergente

9 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

10 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^x e^(-t-1) dt

t^(x+1) e^(-t) dt

t^(x-1) e^(-t) dt

t^x e^(-t) dt

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

185

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{1,..., n}

{0, ..., n}

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-3)/4

(X-3)/2

(X-9)/4

(X-9)/2

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

2 fois

4 fois

1 fois

3 fois

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

3,5

2,5

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois géométriques

les lois uniformes

les lois de Poisson

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)

V(X)+E[X]²

E[X]²

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

G(p)

B(p)

P(np)

B(n,p)

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

suit une loi de Poisson de paramètre 2

suit une loi de Poisson de paramètre 1

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

118

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

P est irréductible dans R[X]

P admet des racines réelles

P est réductible dans R[X]

P n'admet pas de racines réelles

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Les polynômes constants

Les polynômes de degré 1

Les polynômes n'admettant pas de racines réelles

Les polynômes de degré 2 à discriminant négatif

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Faux

Vrai

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

de degré 2

de degré 1

nulle

constante non nulle

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Vrai

Faux

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

Q[X]

C[X]

R[X]

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Vrai

Faux

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

M(n,K)

L(E,F)

K[X]

K_n[X]

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

E =0, a = 4, b = -5

E non nul 0, a = -4, b = 5

E =0, a = 4, b = 5

E =0, a = -4, b = 5

Votre score est

Le score moyen est 46%

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305

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A est inversible

A n'est pas inversible

A est diagonalisable

A n'est pas diagonalisable

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

2 est valeur propre de A

A est diagonalisable

X est valeur propre de A

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Vrai

Faux

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

A est diagonalisable dans M(n,R)

A est trigonalisable dans M(n,C)

A est diagonalisable dans M(n,C)

A est trigonalisable dans M(n,R)

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Faux

Vrai

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

A+I

A^n + I

nA+I

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Vrai

Faux

f étant diagonalisable, il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Ce polynôme annule également la restriction, qui est donc diagonalisable.

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Vrai

Faux

Si le polynôme minimal est scindé sur C mais pas sur R, la matrice est diagonalisable dans M(n,C) mais pas dans M(n,R). C'est par exemple le cas pour une matrice de rotation.

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

A est nulle

A est inversible

A est nilpotente

A est diagonalisable

Votre score est

Le score moyen est 73%

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185

Algèbre générale

1 / 10

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

au plus d

on ne peut pas savoir

au moins d

2 / 10

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

(Z/3Z,+)

(Z/2Z,+)

(Z/4Z,+)

(Z,+)

Il y a exactement deux éléments inversibles dans l'anneau Z/4Z donc U(Z/4Z) est d'ordre 2, et donc isomorphe à Z/2Z.

3 / 10

Le groupe symétrique S_3 est isomorphe à un sous-groupe de S_n dès que n est supérieur ou égal à 3.

Faux

Vrai

S_3 s'identifie naturellement au sous-groupe de S_n formé des permutations qui laissent fixes les éléments 4,...,n.

4 / 10

Combien 4900 admet-il de diviseurs positifs ?

5 / 10

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Vrai

Faux

Si x est un générateur de G, alors le théorème de Lagrange assure que l'ordre de x divise l'ordre de G. Celui-ci étant p premier, l'ordre de x est 1 ou p. Et comme x n'est pas l'élément neutre, son ordre est p. Ainsi, G est engendré par x.

6 / 10

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

7 / 10

Combien vaut l'indicatrice d'Euler de 57 ?

8 / 10

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Z/7Z

Z/6Z

Z/3Z x Z/5Z

9 / 10

Quels éléments sont inversibles dans l'anneau Z/165Z ?

164

10 / 10

(Z/6Z,+,*) est...

un anneau non intègre

un corps

un idéal

un anneau intègre mais pas un corps

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

201

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

f est continue sur I

f peut présenter une infinité de points de discontinuité

f est continue sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points

La continuité est une propriété locale, et chaque point de I admet un voisinage compact, donc la CU sur tout segment suffit à assurer la continuité en tout point de I.

2 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

on ne peut pas savoir

+ l'infini

3 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

elle converge normalement sur ]-R,R[

elle converge normalement sur [-R,R]

elle converge uniformément sur ]-R,R[

elle converge normalement sur tout segment de ]-R,R[

4 / 10

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

sum n*a_n*x^(n-1)

sum a_n*(x^n)/n

sum (n+1)a_n x^(n+1)

sum a_n*x^(n+1)/(n+1)

5 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

diverger

diverger grossièrement

converger

converger absolument

6 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

converge absolument si |z| est strictement inférieur à R

diverge grossièrement si |z| est strictement supérieur à R

converge si |z|=R

diverge si |z|=R

7 / 10

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

ça dépend des cas

R est inférieur ou égal à R'

R=R'

R est supérieur ou égal à R'

8 / 10

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

R_a est strictement inférieur à R_b

R_a est supérieur ou égal à R_b

R_a est strictement supérieur à R_b

R_a est inférrieur ou égal à R_b

9 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...carrément !

...pas forcément

...simplement vers une primitive de f

...uniformément vers une primitive de f

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

10 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

f est dérivable sur I

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

Votre score est

Le score moyen est 47%

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414

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

on ne peut pas conclure

Elle converge vers 1

Elle diverge grossièrement

Elle converge vers u_0-1

2 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

les séries sum u_n et sum v_n sont de même nature

les sommes des séries correspondantes sont égales

les suites des restes partielles sont équivalentes

les suites des sommes partielles sont équivalentes

3 / 10

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Faux

Vrai

la décroissance n'est pas stable par équivalence

4 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Vrai

on ne peut pas conclure

Faux

Si les séries convergent absolument, elles convergent donc (u_n) tend vers 0. A partir d'un certain rang, on a donc |u_n|<1 et |u_nv_n| < |v_n|. On conclut par comparaison.

5 / 10

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Faux

Vrai, si on ajoute l'hypothèse de convergence absolue.

Vrai

C'est déjà faux pour les sommes finies. Ce n'est pas la série \sum u_n*v_n qu'il faut considérer mais le produit de Cauchy des séries. Et il faut dans ce cas ajouter une hypothèse de convergence absolue.

6 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut e

converge, et sa somme vaut 1/e

converge, et sa somme vaut ln(2)

diverge

7 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la convergence de V_n implique celle de U_n

la convergence de U_n implique celle de V_n

la divergence de U_n implique celle de V_n

la divergence de V_n implique celle de U_n

8 / 10

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

divergente

semi-convergente

grossièrement divergente

absolument convergente

La série converge d'après le critère des séries alternées, mais ne converge pas absolument d'après le critère de Riemann.

9 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

il faut que le terme général tende vers 0

10 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

convergente

grossièrement divergente

divergente

semi-convergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

Votre score est

Le score moyen est 33%

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