MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

140

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

df(I_n)(H) = nH

Vrai

Faux

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

2 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il faut qu'elle soit continue en a

il suffit qu'elle soit continue en a

3 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f admet un extremum local en tout point critique

tout extremum local est global

f peut admettre un extremum en un point non critique

f admet un extremum global

4 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Vrai

Faux

5 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

6 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

df=f

f est continue

f est différentiable

df=0

7 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

C^2 en (0,0)

différentiable en (0,0)

continue en (0,0)

Rien de tout cela

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

8 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un maximum local

un point col

un minimum local

un point critique

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

9 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Vrai

Faux

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

10 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 46%

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Espaces vectoriels normés

312

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Faux

Vrai

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

2 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Vrai

Faux

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

3 / 10

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

A n'est pas ouverte

A n'est pas fermée

A est fermée

A est ouverte

4 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Faux

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

5 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

ouvert

compact

connexe par arcs

fermé

6 / 10

Sur un compact, une application continue est

lipschitizienne

linéaire

uniformément continue

bornée

7 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

égale à 2

inférieure ou égale à 2

pas nécessairement définie

supérieure ou égale à 2

8 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

connexe par arcs

fermé

compact

ouvert

9 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Faux

Vrai

Vrai si K=C, Faux si K=R

10 / 10

GL(n,R) est

compact

connexe par arcs

fermé

ouvert

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

203

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n) = n!

Gamma(n+1) = n!

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n)! = n+1

2 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

3 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

4 / 10

La fonction Gamma est

définie sur R*+

continue sur R*+

strictement croissante sur R*+

de classe C infini sur R*+

strictement convexe sur R*+

de limite infinie en l'infini

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

5 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Vrai

Faux

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

6 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

7 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R+

sur aucun de ces intervalles

sur R-

sur R

8 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

divergente

semi-convergente

convergente

absolument convergente

9 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Faux

Vrai

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

10 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

sur aucun de ces intervalles

]0,1]

[1,+infini[

R+

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

151

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-3)/2

(X-9)/4

(X-3)/4

(X-9)/2

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

XY admet une espérance inconnue

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)

E[X]²

V(X)+E[X]²

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois uniformes

les lois géométriques

les lois de Poisson

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi de Poisson

une loi binomiale

une loi de Bernoulli

une loi géométrique

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

4 fois

1 fois

3 fois

2 fois

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Faux

Vrai

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{0, ..., n}

{1,..., n}

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

103

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Vrai

Faux

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

égal à X-z dans R[X]

divisible par X²-2*Re(z)+|z|² dans R[X]

divisible par X-z dans R[X]

égal à X²-2*Re(z)+|z|²

Soit D = PGCD(A,B). Comme A,B sont dans R[X], D aussi et donc D(z) = D(\bar z) = 0. Ainsi, (X-z)(X-\bar z) divise D, mais rien ne permet d'affirmer l'égalité.

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Faux

Vrai

L'intersection de I et de J est un idéal M de K[X]. Comme tous les idéaux de K[X] sont principaux, il existe un unique polynôme unitaire P qui engendre M, et donc qui divise tous les éléments communs à I et J.

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Faux

Vrai

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

a=b=c=0

on ne peut pas déterminer a, b et c

on a une contradiction

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

P est réductible dans R[X]

P n'admet pas de racines réelles

P est irréductible dans R[X]

P admet des racines réelles

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Les polynômes n'admettant pas de racines réelles

Les polynômes constants

Les polynômes de degré 1

Les polynômes de degré 2 à discriminant négatif

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

E non nul 0, a = -4, b = 5

E =0, a = 4, b = 5

E =0, a = 4, b = -5

E =0, a = -4, b = 5

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

R[X]

Q[X]

C[X]

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

P n'est pas scindé

on ne peut pas conclure

P est scindé à racines simples

P est scindé mais pas à racines simples

Votre score est

Le score moyen est 45%

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266

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A n'est pas inversible

A est diagonalisable

A n'est pas diagonalisable

A est inversible

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

nA+I

A+I

A^n + I

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

1 est valeur propre

-1 est valeur propre

A n'est pas inversible

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

A est nilpotente

A est inversible

A est nulle

A est diagonalisable

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Faux

Vrai

Toute matrice de M(n,R) est

diagonalisable dans M(n,R)

trigonalisable dans M(n,R)

diagonalisable dans M(n,C)

trigonalisable dans M(n,C)

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est inversible

A est diagonalisable

A est nilpotente

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Faux

Vrai

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Faux

Vrai

Votre score est

Le score moyen est 73%

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168

Algèbre générale

1 / 10

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

on ne peut pas savoir

au moins d

au plus d

2 / 10

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

Z/10Z x Z/6Z

Z/3Z x Z/20Z

Z/12Z x Z/5Z

Z/2Z x Z/30Z

3 / 10

Quels éléments sont inversibles dans l'anneau Z/165Z ?

164

4 / 10

Combien 4900 admet-il de diviseurs positifs ?

5 / 10

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

Faux

Vrai

Il n'est pas stable par produit.

6 / 10

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

K[X]

GL(n,K)

K(X)

K_n[X]

7 / 10

Le PGCD de 3080 et 364 est

8 / 10

(Z/4Z,+) contient

4 sous-groupes

1 sous-groupe

3 sous-groupes

2 sous-groupes

Il y a exactement trois sous-groupes:
{0}, Z/4Z et {0,2} (qui est isomorphe à Z/2Z)

9 / 10

Combien vaut l'indicatrice d'Euler de 57 ?

10 / 10

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

trois éléments inversibles

deux éléments inversibles

un élément inversible

5 éléments inversibles

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

184

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

on ne peut rien dire

elle converge simplement sur I

elle converge uniformément sur I

2 / 10

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Vrai

Faux

Il faut ajouter une hypothèse de convergence uniforme.

3 / 10

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Faux

Vrai

Il faut que I soit un segment pour pouvoir l'affirmer (théorème de Weierstrass).

4 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...carrément !

...simplement vers une primitive de f

...uniformément vers une primitive de f

...pas forcément

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

5 / 10

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

converge simplement sur R

converge uniformément sur R

ne converge d'aucune façon sur R

converge normalement sur R

Pour tout x réel, on a |sin(2*n*x)/n| <= 1/n. Il y a ainsi CU, et donc CS sur R.

6 / 10

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

il suffit que (f_n) converge simplement vers 0

il faut et il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il faut que (f_n) converge uniformément vers 0

7 / 10

La série de terme général cos(x)^n

ne converge pas sur ]0,pi[

converge normalement sur ]0,pi[

converge simplement sur ]0,pi[

converge simplement sur R

Sur ]0,\pi[, la borne sup de |cos(x)^n| est 1, donc il n'y a pas convergence normale. Néanmoins, |cos(x)|<1 donc il y a convergence simple (série géométrique).

Sur R, il n'y a pas convergence simple car le terme général ne tend pas simplement vers 0.

8 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

son terme général converge uniformément vers 0

elle converge normalement

son terme général converge uniformément

9 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

se peut

faut

faut et il suffit

suffit

10 / 10

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

f peut présenter une infinité de points de discontinuité

f est continue sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points

f est continue sur I

La continuité est une propriété locale, et chaque point de I admet un voisinage compact, donc la CU sur tout segment suffit à assurer la continuité en tout point de I.

Votre score est

Le score moyen est 46%

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367

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Faux

Vrai

Le terme général est équivalent à 1/n^2. On conclut par comparaison.

2 / 10

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

grossièrement divergente

semi-convergente

divergente

absolument convergente

La série converge d'après le critère des séries alternées, mais ne converge pas absolument d'après le critère de Riemann.

3 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

diverge

converge, et sa somme vaut (1-x^n)/(1-x)

converge, et sa somme vaut (1-x^(n+1))/(1-x)

converge, et sa somme vaut 1/(1-x)

4 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

U_n = o(V_n)

R_n = o(T_n)

V_n = o(U_n)

T_n = o(R_n)

5 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

grossièrement divergente

semi-convergente

divergente

absolument convergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

6 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

grossièrement divergente

semi-convergente

divergente

convergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

7 / 10

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

on ne peut pas conclure

Elle diverge grossièrement

Elle converge vers 1

Elle converge vers u_0-1

8 / 10

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Vrai

Faux

la décroissance n'est pas stable par équivalence

9 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la convergence de V_n implique celle de U_n

la divergence de U_n implique celle de V_n

la convergence de U_n implique celle de V_n

la divergence de V_n implique celle de U_n

10 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il faut que le terme général tende vers 0

il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

Votre score est

Le score moyen est 34%

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