MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

151

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

colinéaire aux lignes de niveau

orthogonal aux lignes de niveau

2 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Vrai

Faux

3 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

f est continue

f est différentiable

df=f

df=0

4 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f admet un extremum global

f admet un extremum local en tout point critique

f peut admettre un extremum en un point non critique

tout extremum local est global

5 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il faut qu'elle soit continue en a

il suffit qu'elle soit continue en a

6 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

C^2 en (0,0)

Rien de tout cela

continue en (0,0)

différentiable en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

7 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un minimum local en a

un point col en a

un maximum local en a

8 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un minimum local

un point col

un maximum local

un point critique

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

9 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Faux

Vrai

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

10 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Faux

Vrai

df(I_n)(H) = nH

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

Votre score est

Le score moyen est 46%

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Espaces vectoriels normés

328

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

A est fermée

A n'est pas fermée

A n'est pas ouverte

A est ouverte

2 / 10

Un compact est un fermé borné

Faux

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

3 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Faux

Vrai

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

4 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Faux

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

5 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai dans un compact

Faux

Vrai

6 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Vrai

Vrai si K=C, Faux si K=R

Faux

7 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

compact

ouvert

connexe par arcs

fermé

8 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Faux

vrai si K=C, faux si K=R

Vrai

9 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Faux

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

10 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

inférieure ou égale à 2

pas nécessairement définie

égale à 2

supérieure ou égale à 2

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

213

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Vrai

Faux

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

2 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

]0,1]

sur aucun de ces intervalles

[1,+infini[

R+

3 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

4 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Faux

Vrai

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

5 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n) = n!

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n)! = n+1

Gamma(n+1) = n!

6 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

7 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R

sur aucun de ces intervalles

sur R+

sur R-

8 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

9 / 10

La fonction ln est intégrable sur

[1,+infini[

]0,1]

sur aucun de ces intervalles

10 / 10

La fonction Gamma est

de limite infinie en l'infini

continue sur R*+

strictement croissante sur R*+

définie sur R*+

strictement convexe sur R*+

de classe C infini sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

Votre score est

Le score moyen est 56%

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Probabilités

170

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Faux

Vrai

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

suit une loi de Poisson de paramètre 2

suit une loi de Poisson de paramètre 1

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi binomiale

une loi de Poisson

une loi géométrique

une loi de Bernoulli

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

3 fois

1 fois

4 fois

2 fois

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{1,..., n}

{0, ..., n}

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

X n'admet ni espérance ni variance finie

X admet une espérance et une variance finies

X admet une espérance finie mais une variance infinie

X admet une variance finie mais une espérance infinie

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

B(n,p)

P(np)

B(p)

G(p)

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

109

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Faux

Vrai

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Faux

Vrai

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Faux

Vrai

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Vrai

Faux

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

divisible par X-z dans R[X]

divisible par X²-2*Re(z)+|z|² dans R[X]

égal à X-z dans R[X]

égal à X²-2*Re(z)+|z|²

Soit D = PGCD(A,B). Comme A,B sont dans R[X], D aussi et donc D(z) = D(\bar z) = 0. Ainsi, (X-z)(X-\bar z) divise D, mais rien ne permet d'affirmer l'égalité.

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

Q[X]

C[X]

R[X]

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

(X²+1) divise P

(X²+X+1) divise P

(X-j) divise P

(X-j²) divise P

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

3 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

P est scindé mais pas à racines simples

P est scindé à racines simples

P n'est pas scindé

on ne peut pas conclure

Votre score est

Le score moyen est 46%

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282

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si A est une matrice, P est une matrice inversible, Q = P^(-1) et D = QAP. Alors D^n =

Q^n A^n P^n

Q A^n P

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

nulle

inversible

diagonale

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

vrai si K=R ou C

vrai si K=C, faux si K=R

faux si K=R ou C

vrai si K=R, faux si K=C

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Vrai

Faux

On ne peut pas conclure

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Vrai

Faux

Le polynôme caractéristique doit être scindé, mais pas nécessairement à racines simples. C'est néanmoins une condition suffisante de diagonalisabilité.

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Vrai

Faux

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Vrai

Faux

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A est diagonalisable

A n'est pas inversible

A n'est pas diagonalisable

A est inversible

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est diagonalisable

A est nilpotente

A est inversible

Votre score est

Le score moyen est 73%

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172

Algèbre générale

1 / 10

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

Il faut observer que 7 est d'ordre 4 dans Z/10Z donc 7**(2023) = 7**3 (mod 10) mais 7**2 = -1 (mod 10) donc 7**3 = -7 (mod 10) = 3 (mod 10).

2 / 10

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Z/6Z

Z/3Z x Z/5Z

Z/7Z

3 / 10

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

4 / 10

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

5 / 10

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

trois éléments inversibles

un élément inversible

5 éléments inversibles

deux éléments inversibles

6 / 10

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

au moins d

on ne peut pas savoir

au plus d

7 / 10

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

8 / 10

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Faux

Vrai

PGCD(33,121) = 11 donc 33 n'est pas inversible dans Z/121Z.

9 / 10

(Z/6Z,+,*) est...

un anneau non intègre

un corps

un anneau intègre mais pas un corps

un idéal

10 / 10

(Z/4Z,+) contient

2 sous-groupes

4 sous-groupes

1 sous-groupe

3 sous-groupes

Il y a exactement trois sous-groupes:
{0}, Z/4Z et {0,2} (qui est isomorphe à Z/2Z)

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

190

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

on ne peut pas savoir

+ l'infini

2 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

faut

faut et il suffit

suffit

se peut

3 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f est dérivable sur I

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

4 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

diverge grossièrement si |z| est strictement supérieur à R

diverge si |z|=R

converge absolument si |z| est strictement inférieur à R

converge si |z|=R

5 / 10

La série de terme général cos(x)^n

converge normalement sur ]0,pi[

converge simplement sur ]0,pi[

ne converge pas sur ]0,pi[

converge simplement sur R

Sur ]0,\pi[, la borne sup de |cos(x)^n| est 1, donc il n'y a pas convergence normale. Néanmoins, |cos(x)|<1 donc il y a convergence simple (série géométrique).

Sur R, il n'y a pas convergence simple car le terme général ne tend pas simplement vers 0.

6 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

on ne peut pas conclure

f est continue sur I

f est dérivable sur I

f présente au plus un nombre fini de points de discontinuité

7 / 10

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

f est continue sur I

f est continue sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points

f peut présenter une infinité de points de discontinuité

La continuité est une propriété locale, et chaque point de I admet un voisinage compact, donc la CU sur tout segment suffit à assurer la continuité en tout point de I.

8 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

elle converge normalement sur tout segment de ]-R,R[

elle converge uniformément sur ]-R,R[

elle converge normalement sur ]-R,R[

elle converge normalement sur [-R,R]

9 / 10

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge simplement vers 0

il faut et il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il faut que (f_n) converge uniformément vers 0

10 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

son terme général converge uniformément vers 0

elle converge normalement

son terme général converge uniformément

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

Votre score est

Le score moyen est 46%

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379

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

La série de terme général ln(1+1/n) est

grossièrement divergente

absolument convergente

divergente

semi-convergente

Son terme général est positif et équivalent à 1/n. On conclut par comparaison.

2 / 10

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Vrai

Vrai, si on ajoute l'hypothèse de convergence absolue.

Faux

C'est déjà faux pour les sommes finies. Ce n'est pas la série \sum u_n*v_n qu'il faut considérer mais le produit de Cauchy des séries. Et il faut dans ce cas ajouter une hypothèse de convergence absolue.

3 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

grossièrement divergente

divergente

semi-convergente

absolument convergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

4 / 10

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

semi-convergente

divergente

grossièrement divergente

absolument convergente

La série converge d'après le critère des séries alternées, mais ne converge pas absolument d'après le critère de Riemann.

5 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut e

converge, et sa somme vaut ln(2)

diverge

converge, et sa somme vaut 1/e

6 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

la série de terme général u_n diverge

la série de terme général u_n converge

on ne peut pas conclure

Appliquer le critère de d'Alembert

7 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

les séries sum u_n et sum v_n sont de même nature

les suites des sommes partielles sont équivalentes

les sommes des séries correspondantes sont égales

les suites des restes partielles sont équivalentes

8 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Vrai

Faux

on ne peut pas conclure

Si les séries convergent absolument, elles convergent donc (u_n) tend vers 0. A partir d'un certain rang, on a donc |u_n|<1 et |u_nv_n| < |v_n|. On conclut par comparaison.

9 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

convergente

divergente

grossièrement divergente

semi-convergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

10 / 10

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Vrai

Faux

la décroissance n'est pas stable par équivalence

Votre score est

Le score moyen est 34%

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