MP : Quiz d’apprentissage

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

Si f est différentiable, le gradient de f est

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Un compact est un fermé borné

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Dans R, [2,+infini[ est

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Sur un compact, une application continue est

La fonction ln est intégrable sur

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

La fonction Gamma est

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

Toute matrice de M(n,R) est

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Si A et B sont des anneaux et que f est un morphisme d'anneaux de A vers B, alors...

Combien 4900 admet-il de diviseurs positifs ?

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

(Z/4Z,+) contient

Le groupe symétrique S_3 est isomorphe à un sous-groupe de S_n dès que n est supérieur ou égal à 3.

L'indicatrice d'Euler de 1400 vaut

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

La série de terme général sin(2/n²) est

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est