MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

148

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Vrai

Faux

2 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un point critique

un minimum local

un maximum local

un point col

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

3 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Faux

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

Vrai

df(I_n)(H) = nH

4 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il suffit qu'elle soit continue en a

il faut qu'elle soit continue en a

5 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Faux

Vrai

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

6 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un maximum local en a

un point col en a

un minimum local en a

7 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

df=0

df=f

f est différentiable

f est continue

8 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

différentiable en (0,0)

Rien de tout cela

C^2 en (0,0)

continue en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

9 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f admet un extremum local en tout point critique

f peut admettre un extremum en un point non critique

tout extremum local est global

f admet un extremum global

10 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 46%

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Espaces vectoriels normés

325

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

GL(n,R) est

ouvert

connexe par arcs

fermé

compact

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

2 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Faux

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

3 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Faux

Vrai

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

4 / 10

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

A est ouverte

A n'est pas fermée

A est fermée

A n'est pas ouverte

5 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Vrai

Faux

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

6 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Faux

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

7 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Faux

Vrai

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

8 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

vrai si K=C, faux si K=R

Vrai

Faux

9 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai dans un compact

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Vrai

10 / 10

Un compact est un fermé borné

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

212

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Vrai

Faux

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

2 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n+1) = n!

Gamma(n) = n!

Gamma(n)! = n+1

3 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

4 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

5 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Vrai

Faux

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

6 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R

sur aucun de ces intervalles

sur R+

sur R-

7 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

8 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Vrai

Faux

1 n'est pas intégrable sur R+

9 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

10 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

sur aucun de ces intervalles

[1,+infini[

]0,1]

R+

Votre score est

Le score moyen est 56%

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Probabilités

164

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)

V(X)+E[X]²

E[X]²

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

X admet une variance finie mais une espérance infinie

X admet une espérance et une variance finies

X admet une espérance finie mais une variance infinie

X n'admet ni espérance ni variance finie

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois de Poisson

les lois géométriques

les lois uniformes

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Faux

Vrai

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

2,5

3,5

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-9)/2

(X-3)/4

(X-9)/4

(X-3)/2

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi de Bernoulli

une loi de Poisson

une loi géométrique

une loi binomiale

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

suit une loi de Poisson de paramètre 1

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

suit une loi de Poisson de paramètre 2

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

3 fois

2 fois

1 fois

4 fois

Votre score est

Le score moyen est 63%

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Algèbre

108

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Faux

Vrai

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Vrai

Faux

L'intersection de I et de J est un idéal M de K[X]. Comme tous les idéaux de K[X] sont principaux, il existe un unique polynôme unitaire P qui engendre M, et donc qui divise tous les éléments communs à I et J.

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

Faux

Vrai

X²-2 est irréductible dans Q[X] mais se factorise dans R[X]

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

(X-j²) divise P

(X²+1) divise P

(X²+X+1) divise P

(X-j) divise P

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

R[X]

Q[X]

C[X]

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

M(n,K)

K[X]

L(E,F)

K_n[X]

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Faux

Vrai

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

x**4+1

X**2-X-2

X**2-16X+64

X**2+1

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

a=b=c=0

on ne peut pas déterminer a, b et c

on a une contradiction

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Votre score est

Le score moyen est 46%

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276

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si A est une matrice, P est une matrice inversible, Q = P^(-1) et D = QAP. Alors D^n =

Q^n A^n P^n

Q A^n P

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

Faux

Vrai

f étant trigonalisable, son polynôme caractéristique est scindé. Le polynôme caractéristique de la restriction divisant celui de f, il est aussi scindé, et donc cette restriction est trigonalisable.

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

son polynôme caractéristique est scindé à racines simples

son polynôme minimal est scindé à racines simples

son polynôme caractéristique est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

son polynôme minimal est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Vrai

Faux

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Vrai

Faux

Toute matrice de M(n,R) est

diagonalisable dans M(n,C)

trigonalisable dans M(n,C)

trigonalisable dans M(n,R)

diagonalisable dans M(n,R)

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Faux

Vrai

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

A^n + I

A+I

nA+I

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est inversible

A est diagonalisable

A est nilpotente

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Vrai

Faux

f étant diagonalisable, il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Ce polynôme annule également la restriction, qui est donc diagonalisable.

Votre score est

Le score moyen est 73%

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172

Algèbre générale

1 / 10

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

on ne peut pas savoir

au moins d

au plus d

2 / 10

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

(Z,+)

(Z/2Z,+)

(Z/3Z,+)

(Z/4Z,+)

Il y a exactement deux éléments inversibles dans l'anneau Z/4Z donc U(Z/4Z) est d'ordre 2, et donc isomorphe à Z/2Z.

3 / 10

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

Z/10Z x Z/6Z

Z/3Z x Z/20Z

Z/12Z x Z/5Z

Z/2Z x Z/30Z

4 / 10

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Faux

Vrai

Si x est un générateur de G, alors le théorème de Lagrange assure que l'ordre de x divise l'ordre de G. Celui-ci étant p premier, l'ordre de x est 1 ou p. Et comme x n'est pas l'élément neutre, son ordre est p. Ainsi, G est engendré par x.

5 / 10

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

n! éléments

n(n-1)/2 éléments

n(n+1)/2 éléments

n éléments

6 / 10

Le groupe U(Z/5Z) des inversibles de Z/5Z contient...

aucun élément

1 élément

5 éléments

4 éléments

Comme 5 est premier, Z/5Z est un corps et donc tous ses éléments non nuls sont inversibles. U(Z/5Z) contient donc 4 éléments, et est en fait isomorphe à (Z/4Z,+).

7 / 10

Z/6Z est isomorphe à...

(Z/2Z)*(Z/3Z)

(Z/2Z)*(Z/4Z)

Z*6Z

(Z/5Z)

C'est une conséquence du théorème des restes chinois

8 / 10

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

Il faut observer que 7 est d'ordre 4 dans Z/10Z donc 7**(2023) = 7**3 (mod 10) mais 7**2 = -1 (mod 10) donc 7**3 = -7 (mod 10) = 3 (mod 10).

9 / 10

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

10 / 10

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

190

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

f est dérivable sur I

f présente au plus un nombre fini de points de discontinuité

on ne peut pas conclure

f est continue sur I

2 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

+ l'infini

on ne peut pas savoir

3 / 10

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

on ne peut rien dire

elle converge uniformément sur I

elle converge simplement sur I

4 / 10

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

R_1 est strictement plus grand que R_2

on ne peut pas conclure

R_1 = R_2

R_1 est strictement plus petit que R_2

5 / 10

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Vrai

Faux

Il faut ajouter une hypothèse de convergence uniforme.

6 / 10

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

R est inférieur ou égal à R'

R=R'

R est supérieur ou égal à R'

ça dépend des cas

7 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

converger

converger absolument

diverger grossièrement

diverger

8 / 10

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Faux

Vrai

Il faut que I soit un segment pour pouvoir l'affirmer (théorème de Weierstrass).

9 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

son terme général converge uniformément vers 0

elle converge normalement

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

son terme général converge uniformément

10 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

faut

faut et il suffit

suffit

se peut

Votre score est

Le score moyen est 46%

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376

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

divergente

semi-convergente

grossièrement divergente

absolument convergente

La série converge d'après le critère des séries alternées, mais ne converge pas absolument d'après le critère de Riemann.

2 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

divergente

semi-convergente

grossièrement divergente

absolument convergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

3 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

semi-convergente

absolument convergente

grossièrement divergente

divergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

4 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Faux

Vrai

Le terme général est équivalent à 1/n^2. On conclut par comparaison.

5 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Faux

on ne peut pas conclure

Vrai

Si les séries convergent absolument, elles convergent donc (u_n) tend vers 0. A partir d'un certain rang, on a donc |u_n|<1 et |u_nv_n| < |v_n|. On conclut par comparaison.

6 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

on ne peut pas conclure

la série de terme général u_n diverge

la série de terme général u_n converge

Appliquer le critère de d'Alembert

7 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la convergence de V_n implique celle de U_n

la divergence de V_n implique celle de U_n

la divergence de U_n implique celle de V_n

la convergence de U_n implique celle de V_n

8 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Vrai

Faux

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

9 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

diverge

converge, et sa somme vaut (1-x^(n+1))/(1-x)

converge, et sa somme vaut (1-x^n)/(1-x)

converge, et sa somme vaut 1/(1-x)

10 / 10

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Elle converge vers u_0-1

Elle diverge grossièrement

Elle converge vers 1

on ne peut pas conclure

Votre score est

Le score moyen est 34%

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