MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

126

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Faux

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

df(I_n)(H) = nH

Vrai

2 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

colinéaire aux lignes de niveau

orthogonal aux lignes de niveau

3 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

f est différentiable

df=0

f est continue

df=f

4 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Vrai

Faux

5 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il faut qu'elle soit continue en a

il suffit qu'elle soit continue en a

6 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un maximum local en a

un minimum local en a

un point col en a

7 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Vrai

Faux

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

8 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Faux

Vrai

9 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un maximum local

un point critique

un minimum local

un point col

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

10 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

tout extremum local est global

f admet un extremum global

f admet un extremum local en tout point critique

f peut admettre un extremum en un point non critique

Votre score est

Le score moyen est 45%

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Espaces vectoriels normés

277

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

compact

connexe par arcs

ouvert

fermé

2 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

pas nécessairement définie

supérieure ou égale à 2

inférieure ou égale à 2

égale à 2

3 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Faux

Vrai si K=C, Faux si K=R

Vrai

4 / 10

Sur un compact, une application continue est

uniformément continue

bornée

lipschitizienne

linéaire

5 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Vrai

Faux

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

6 / 10

GL(n,R) est

compact

ouvert

connexe par arcs

fermé

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

7 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Vrai

Faux

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

8 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Vrai dans un compact

9 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

connexe par arcs

compact

ouvert

fermé

10 / 10

Un compact est un fermé borné

Faux

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Intégration

184

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

2 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

convergente

absolument convergente

divergente

semi-convergente

3 / 10

La fonction Gamma est

de limite infinie en l'infini

de classe C infini sur R*+

strictement convexe sur R*+

strictement croissante sur R*+

définie sur R*+

continue sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

4 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

sur aucun de ces intervalles

[1,+infini[

R+

]0,1]

5 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Vrai

Faux

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

6 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Faux

Vrai

1 n'est pas intégrable sur R+

7 / 10

La fonction ln est intégrable sur

]0,1]

[1,+infini[

sur aucun de ces intervalles

8 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Faux

Vrai

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

9 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

10 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Probabilités

141

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-3)/2

(X-9)/2

(X-3)/4

(X-9)/4

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi binomiale

une loi de Poisson

une loi géométrique

une loi de Bernoulli

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

E[X]²

V(X)+E[X]²

V(X)

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

3,5

2,5

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Vrai

Faux

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

suit une loi de Poisson de paramètre 1

suit une loi de Poisson de paramètre 2

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

2 fois

4 fois

1 fois

3 fois

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

X**2-X-2

x**4+1

X**2-16X+64

X**2+1

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Les polynômes constants

Les polynômes de degré 2 à discriminant négatif

Les polynômes de degré 1

Les polynômes n'admettant pas de racines réelles

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

on ne peut pas conclure

P est scindé à racines simples

P est scindé mais pas à racines simples

P n'est pas scindé

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

R[X]

Q[X]

C[X]

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

2 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

divisible par X²-2*Re(z)+|z|² dans R[X]

égal à X-z dans R[X]

divisible par X-z dans R[X]

égal à X²-2*Re(z)+|z|²

Soit D = PGCD(A,B). Comme A,B sont dans R[X], D aussi et donc D(z) = D(\bar z) = 0. Ainsi, (X-z)(X-\bar z) divise D, mais rien ne permet d'affirmer l'égalité.

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Vrai

Faux

La fonction cos est polynomiale

Vrai

On ne peut pas savoir

Faux

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Faux

Vrai

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Faux

Vrai

L'intersection de I et de J est un idéal M de K[X]. Comme tous les idéaux de K[X] sont principaux, il existe un unique polynôme unitaire P qui engendre M, et donc qui divise tous les éléments communs à I et J.

Votre score est

Le score moyen est 45%

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237

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

vrai si K=R ou C

vrai si K=R, faux si K=C

faux si K=R ou C

vrai si K=C, faux si K=R

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

son polynôme caractéristique est scindé à racines simples

son polynôme minimal est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

son polynôme caractéristique est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

son polynôme minimal est scindé à racines simples

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A est diagonalisable

A est inversible

A n'est pas diagonalisable

A n'est pas inversible

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

A est diagonalisable

X est valeur propre de A

2 est valeur propre de A

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

Vrai

Faux

f étant trigonalisable, son polynôme caractéristique est scindé. Le polynôme caractéristique de la restriction divisant celui de f, il est aussi scindé, et donc cette restriction est trigonalisable.

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Vrai

Faux

f étant diagonalisable, il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Ce polynôme annule également la restriction, qui est donc diagonalisable.

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Vrai

Faux

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Vrai

Faux

Toute matrice de M(n,R) est

trigonalisable dans M(n,R)

diagonalisable dans M(n,R)

trigonalisable dans M(n,C)

diagonalisable dans M(n,C)

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Votre score est

Le score moyen est 73%

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162

Algèbre générale

1 / 10

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Vrai

Faux

PGCD(33,121) = 11 donc 33 n'est pas inversible dans Z/121Z.

2 / 10

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

Z/5Z

Z/12Z

Z/6Z

Z/8Z

3 / 10

Combien 4900 admet-il de diviseurs positifs ?

4 / 10

L'ensemble des matrices de déterminant nul est un groupe pour le produit matriciel.

Faux

Vrai

Les matrices de déterminant nul ne sont pas inversibles pour le produit matriciel. Elles ne peuvent donc pas former un groupe pour cette opération.

5 / 10

Si A et B sont des anneaux et que f est un morphisme d'anneaux de A vers B, alors...

im(f) est un sous-anneau de B

im(f) est un idéal de B

ker(f) est un idéal de A

ker(f) est un sous-anneau de A

6 / 10

Dans un anneau commutatif, tout idéal est un sous-anneau.

Vrai

Faux

Un sous-anneau contient l'unité. Et le seul idéal qui contient l'unité est l'anneau lui-même.

7 / 10

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

8 / 10

L'indicatrice d'Euler de 1400 vaut

480

240

1399

9 / 10

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Faux

Vrai

Si x est un générateur de G, alors le théorème de Lagrange assure que l'ordre de x divise l'ordre de G. Celui-ci étant p premier, l'ordre de x est 1 ou p. Et comme x n'est pas l'élément neutre, son ordre est p. Ainsi, G est engendré par x.

10 / 10

Le groupe U(Z/5Z) des inversibles de Z/5Z contient...

aucun élément

1 élément

5 éléments

4 éléments

Comme 5 est premier, Z/5Z est un corps et donc tous ses éléments non nuls sont inversibles. U(Z/5Z) contient donc 4 éléments, et est en fait isomorphe à (Z/4Z,+).

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

172

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

R est strictement plus petit que 1

R = 0

R est strictement plus grand que 1

R = 1

2 / 10

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

R_a est strictement supérieur à R_b

R_a est inférrieur ou égal à R_b

R_a est strictement inférieur à R_b

R_a est supérieur ou égal à R_b

3 / 10

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

il faut que (f_n) converge uniformément vers 0

il faut et il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge simplement vers 0

4 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

on ne peut pas savoir

+ l'infini

5 / 10

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

sum a_n*(x^n)/n

sum a_n*x^(n+1)/(n+1)

sum (n+1)a_n x^(n+1)

sum n*a_n*x^(n-1)

6 / 10

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

on ne peut pas conclure

R_1 est strictement plus grand que R_2

R_1 = R_2

R_1 est strictement plus petit que R_2

7 / 10

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

on ne peut rien dire

elle converge simplement sur I

elle converge uniformément sur I

8 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

elle converge normalement

son terme général converge uniformément

son terme général converge uniformément vers 0

9 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

faut

faut et il suffit

se peut

suffit

10 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

elle converge normalement sur ]-R,R[

elle converge normalement sur tout segment de ]-R,R[

elle converge uniformément sur ]-R,R[

elle converge normalement sur [-R,R]

Votre score est

Le score moyen est 45%

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335

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

diverge

converge, et sa somme vaut (1-x^(n+1))/(1-x)

converge, et sa somme vaut 1/(1-x)

converge, et sa somme vaut (1-x^n)/(1-x)

2 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

on ne peut pas conclure

la série de terme général u_n diverge

la série de terme général u_n converge

Appliquer le critère de d'Alembert

3 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

U_n = o(V_n)

T_n = o(R_n)

R_n = o(T_n)

V_n = o(U_n)

4 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Vrai

Faux

Le terme général est équivalent à 1/n^2. On conclut par comparaison.

5 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

les suites des restes partielles sont équivalentes

les séries sum u_n et sum v_n sont de même nature

les suites des sommes partielles sont équivalentes

les sommes des séries correspondantes sont égales

6 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut ln(2)

converge, et sa somme vaut e

diverge

converge, et sa somme vaut 1/e

7 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

grossièrement divergente

convergente

semi-convergente

divergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

8 / 10

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

semi-convergente

divergente

grossièrement divergente

absolument convergente

La série converge d'après le critère des séries alternées, mais ne converge pas absolument d'après le critère de Riemann.

9 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Vrai

Faux

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

10 / 10

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Elle converge vers u_0-1

Elle diverge grossièrement

Elle converge vers 1

on ne peut pas conclure

Votre score est

Le score moyen est 33%

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