MP : Quiz d’apprentissage

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Si f est différentiable, le gradient de f est

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Si f est différentiable sur un compact...

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Un compact est un fermé borné

Dans R, [2,+infini[ est

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Dans C, le cercle trigonométrique est

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

La fonction ln est intégrable sur

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

La fonction Gamma est

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Si A est une matrice, P est une matrice inversible, Q = P^(-1) et D = QAP. Alors D^n =

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

L'ensemble des matrices de déterminant nul est un groupe pour le produit matriciel.

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

(Z/4Z,+) contient

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

Z/6Z est isomorphe à...

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Pour que la série de terme général u_n converge...