MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

143

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Vrai

Faux

2 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il suffit qu'elle soit continue en a

il faut qu'elle soit continue en a

3 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un maximum local en a

un minimum local en a

un point col en a

4 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f admet un extremum global

tout extremum local est global

f admet un extremum local en tout point critique

f peut admettre un extremum en un point non critique

5 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Vrai

df(I_n)(H) = nH

Faux

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

6 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

colinéaire aux lignes de niveau

orthogonal aux lignes de niveau

7 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Vrai

Faux

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

8 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

df=f

df=0

f est différentiable

f est continue

9 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

différentiable en (0,0)

continue en (0,0)

Rien de tout cela

C^2 en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

10 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 45%

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Espaces vectoriels normés

322

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

GL(n,R) est

connexe par arcs

ouvert

compact

fermé

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

2 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Vrai

Faux

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

3 / 10

Un compact est un fermé borné

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Vrai

4 / 10

Sur un compact, une application continue est

lipschitizienne

bornée

linéaire

uniformément continue

5 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Faux

Vrai

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

6 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

7 / 10

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

A est fermée

A n'est pas fermée

A n'est pas ouverte

A est ouverte

8 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

supérieure ou égale à 2

pas nécessairement définie

inférieure ou égale à 2

égale à 2

9 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

compact

ouvert

fermé

connexe par arcs

10 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Vrai si K=C, Faux si K=R

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

209

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

2 / 10

La fonction Gamma est

de classe C infini sur R*+

strictement convexe sur R*+

continue sur R*+

de limite infinie en l'infini

définie sur R*+

strictement croissante sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

3 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Faux

Vrai

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

4 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Vrai

Faux

1 n'est pas intégrable sur R+

5 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

6 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R

sur R-

sur aucun de ces intervalles

sur R+

7 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

8 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^(x-1) e^(-t) dt

t^x e^(-t) dt

t^(x+1) e^(-t) dt

t^x e^(-t-1) dt

9 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n)! = n+1

Gamma(n) = n!

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n+1) = n!

10 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Vrai

Faux

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

160

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois de Poisson

les lois uniformes

les lois géométriques

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-3)/4

(X-9)/4

(X-3)/2

(X-9)/2

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

XY admet une espérance inconnue

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi géométrique

une loi de Bernoulli

une loi de Poisson

une loi binomiale

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

X admet une variance finie mais une espérance infinie

X admet une espérance finie mais une variance infinie

X admet une espérance et une variance finies

X n'admet ni espérance ni variance finie

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

E[X]²

V(X)

V(X)+E[X]²

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Faux

Vrai

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

105

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

E non nul 0, a = -4, b = 5

E =0, a = 4, b = 5

E =0, a = 4, b = -5

E =0, a = -4, b = 5

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

3 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

4X+2

-4X+2

4X-2

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

x**4+1

X**2-X-2

X**2-16X+64

X**2+1

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

M(n,K)

L(E,F)

K_n[X]

K[X]

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

P est scindé à racines simples

on ne peut pas conclure

P est scindé mais pas à racines simples

P n'est pas scindé

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Vrai

Faux

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Faux

Vrai

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

Q[X]

R[X]

C[X]

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

nulle

de degré 2

constante non nulle

de degré 1

Votre score est

Le score moyen est 45%

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273

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

son polynôme caractéristique est scindé à racines simples

son polynôme minimal est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

son polynôme caractéristique est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

son polynôme minimal est scindé à racines simples

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

On ne peut pas savoir

Vrai

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

faux si K=R ou C

vrai si K=C, faux si K=R

vrai si K=R, faux si K=C

vrai si K=R ou C

Si A est une matrice, P est une matrice inversible, Q = P^(-1) et D = QAP. Alors D^n =

Q A^n P

Q^n A^n P^n

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Vrai

Faux

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

A^n + I

nA+I

A+I

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

A est diagonalisable dans M(n,C)

A est trigonalisable dans M(n,R)

A est diagonalisable dans M(n,R)

A est trigonalisable dans M(n,C)

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Faux

Vrai

Toute matrice de M(n,R) est

diagonalisable dans M(n,C)

diagonalisable dans M(n,R)

trigonalisable dans M(n,R)

trigonalisable dans M(n,C)

Votre score est

Le score moyen est 72%

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170

Algèbre générale

1 / 10

(Z/4Z,+) contient

4 sous-groupes

2 sous-groupes

1 sous-groupe

3 sous-groupes

Il y a exactement trois sous-groupes:
{0}, Z/4Z et {0,2} (qui est isomorphe à Z/2Z)

2 / 10

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

Il faut observer que 7 est d'ordre 4 dans Z/10Z donc 7**(2023) = 7**3 (mod 10) mais 7**2 = -1 (mod 10) donc 7**3 = -7 (mod 10) = 3 (mod 10).

3 / 10

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

(Z/3Z,+)

(Z,+)

(Z/2Z,+)

(Z/4Z,+)

Il y a exactement deux éléments inversibles dans l'anneau Z/4Z donc U(Z/4Z) est d'ordre 2, et donc isomorphe à Z/2Z.

4 / 10

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

5 éléments inversibles

deux éléments inversibles

un élément inversible

trois éléments inversibles

5 / 10

L'ensemble des matrices de déterminant nul est un groupe pour le produit matriciel.

Faux

Vrai

Les matrices de déterminant nul ne sont pas inversibles pour le produit matriciel. Elles ne peuvent donc pas former un groupe pour cette opération.

6 / 10

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Trace

Déterminant

Transposition

inversion

7 / 10

(Z/6Z,+,*) est...

un idéal

un corps

un anneau intègre mais pas un corps

un anneau non intègre

8 / 10

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

n éléments

n(n+1)/2 éléments

n(n-1)/2 éléments

n! éléments

9 / 10

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

au plus d

on ne peut pas savoir

au moins d

10 / 10

Z/6Z est isomorphe à...

Z*6Z

(Z/2Z)*(Z/3Z)

(Z/5Z)

(Z/2Z)*(Z/4Z)

C'est une conséquence du théorème des restes chinois

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

188

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

f est continue sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points

f est continue sur I

f peut présenter une infinité de points de discontinuité

La continuité est une propriété locale, et chaque point de I admet un voisinage compact, donc la CU sur tout segment suffit à assurer la continuité en tout point de I.

2 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

+ l'infini

on ne peut pas savoir

3 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

son terme général converge uniformément vers 0

son terme général converge uniformément

elle converge normalement

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

4 / 10

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

il faut que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge simplement vers 0

il faut et il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

5 / 10

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

R = 1

R = 0

R est strictement plus petit que 1

R est strictement plus grand que 1

6 / 10

La série de terme général cos(x)^n

converge simplement sur R

converge simplement sur ]0,pi[

ne converge pas sur ]0,pi[

converge normalement sur ]0,pi[

Sur ]0,\pi[, la borne sup de |cos(x)^n| est 1, donc il n'y a pas convergence normale. Néanmoins, |cos(x)|<1 donc il y a convergence simple (série géométrique).

Sur R, il n'y a pas convergence simple car le terme général ne tend pas simplement vers 0.

7 / 10

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

R_a est strictement supérieur à R_b

R_a est supérieur ou égal à R_b

R_a est strictement inférieur à R_b

R_a est inférrieur ou égal à R_b

8 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

converger

diverger

diverger grossièrement

converger absolument

9 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

faut et il suffit

suffit

faut

se peut

10 / 10

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Faux

Vrai

Il faut que I soit un segment pour pouvoir l'affirmer (théorème de Weierstrass).

Votre score est

Le score moyen est 46%

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372

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la divergence de V_n implique celle de U_n

la divergence de U_n implique celle de V_n

la convergence de U_n implique celle de V_n

la convergence de V_n implique celle de U_n

2 / 10

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

grossièrement divergente

semi-convergente

divergente

absolument convergente

La série converge d'après le critère des séries alternées, mais ne converge pas absolument d'après le critère de Riemann.

3 / 10

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Faux

Vrai

la décroissance n'est pas stable par équivalence

4 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Vrai

Faux

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

5 / 10

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Faux

Vrai

Vrai, si on ajoute l'hypothèse de convergence absolue.

C'est déjà faux pour les sommes finies. Ce n'est pas la série \sum u_n*v_n qu'il faut considérer mais le produit de Cauchy des séries. Et il faut dans ce cas ajouter une hypothèse de convergence absolue.

6 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Vrai

on ne peut pas conclure

Faux

Si les séries convergent absolument, elles convergent donc (u_n) tend vers 0. A partir d'un certain rang, on a donc |u_n|<1 et |u_nv_n| < |v_n|. On conclut par comparaison.

7 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

la série de terme général u_n converge

la série de terme général u_n diverge

on ne peut pas conclure

Appliquer le critère de d'Alembert

8 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

diverge

converge, et sa somme vaut ln(2)

converge, et sa somme vaut 1/e

converge, et sa somme vaut e

9 / 10

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Elle converge vers 1

Elle converge vers u_0-1

Elle diverge grossièrement

on ne peut pas conclure

10 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

grossièrement divergente

absolument convergente

divergente

semi-convergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

Votre score est

Le score moyen est 34%

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