MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

140

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Faux

Vrai

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

2 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

Faux

df(I_n)(H) = nH

Vrai

3 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

continue en (0,0)

différentiable en (0,0)

Rien de tout cela

C^2 en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

4 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un minimum local

un maximum local

un point col

un point critique

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

5 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f admet un extremum local en tout point critique

tout extremum local est global

f admet un extremum global

f peut admettre un extremum en un point non critique

6 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

orthogonal aux lignes de niveau

colinéaire aux lignes de niveau

7 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il faut qu'elle soit continue en a

il suffit qu'elle soit continue en a

8 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

9 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

f est différentiable

df=f

f est continue

df=0

10 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Faux

Vrai

Votre score est

Le score moyen est 46%

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Espaces vectoriels normés

312

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Un compact est un fermé borné

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

2 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

égale à 2

pas nécessairement définie

inférieure ou égale à 2

supérieure ou égale à 2

3 / 10

GL(n,R) est

fermé

compact

connexe par arcs

ouvert

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

4 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Vrai

Faux

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

5 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Faux

Vrai

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

6 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Vrai

Faux

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

7 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

connexe par arcs

ouvert

compact

fermé

8 / 10

Sur un compact, une application continue est

lipschitizienne

uniformément continue

linéaire

bornée

9 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai dans un compact

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Vrai

10 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Vrai

Faux

Vrai si K=C, Faux si K=R

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

203

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

La fonction ln est intégrable sur

[1,+infini[

]0,1]

sur aucun de ces intervalles

2 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n)! = n+1

Gamma(n) = n!

Gamma(n+1) = n!

3 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^(x-1) e^(-t) dt

t^x e^(-t) dt

t^x e^(-t-1) dt

t^(x+1) e^(-t) dt

4 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Faux

Vrai

1 n'est pas intégrable sur R+

5 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Faux

Vrai

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

6 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R

sur aucun de ces intervalles

sur R+

sur R-

7 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Faux

Vrai

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

8 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

9 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

10 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

convergente

divergente

semi-convergente

absolument convergente

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

151

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

suit une loi de Poisson de paramètre 2

suit une loi de Poisson de paramètre 1

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Vrai

Faux

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY admet une espérance inconnue

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{1,..., n}

{0, ..., n}

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi de Poisson

une loi géométrique

une loi binomiale

une loi de Bernoulli

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

3,5

2,5

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

1 fois

3 fois

4 fois

2 fois

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)

V(X)+E[X]²

E[X]²

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

103

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

égal à X-z dans R[X]

égal à X²-2*Re(z)+|z|²

divisible par X-z dans R[X]

divisible par X²-2*Re(z)+|z|² dans R[X]

Soit D = PGCD(A,B). Comme A,B sont dans R[X], D aussi et donc D(z) = D(\bar z) = 0. Ainsi, (X-z)(X-\bar z) divise D, mais rien ne permet d'affirmer l'égalité.

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

Q[X]

C[X]

R[X]

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Faux

Vrai

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

-4X+2

4X-2

4X+2

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Faux

Vrai

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

P n'est pas scindé

P est scindé à racines simples

on ne peut pas conclure

P est scindé mais pas à racines simples

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Faux

Vrai

La fonction cos est polynomiale

On ne peut pas savoir

Vrai

Faux

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

de degré 1

constante non nulle

de degré 2

nulle

Votre score est

Le score moyen est 45%

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266

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

Faux

Vrai

f étant trigonalisable, son polynôme caractéristique est scindé. Le polynôme caractéristique de la restriction divisant celui de f, il est aussi scindé, et donc cette restriction est trigonalisable.

Toute matrice de M(n,R) est

diagonalisable dans M(n,C)

trigonalisable dans M(n,C)

trigonalisable dans M(n,R)

diagonalisable dans M(n,R)

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Faux

Vrai

Si le polynôme minimal est scindé sur C mais pas sur R, la matrice est diagonalisable dans M(n,C) mais pas dans M(n,R). C'est par exemple le cas pour une matrice de rotation.

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

A est inversible

A est nilpotente

A est nulle

A est diagonalisable

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

A est diagonalisable dans M(n,C)

A est diagonalisable dans M(n,R)

A est trigonalisable dans M(n,C)

A est trigonalisable dans M(n,R)

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Vrai

Faux

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

son polynôme minimal est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

son polynôme minimal est scindé à racines simples

son polynôme caractéristique est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

son polynôme caractéristique est scindé à racines simples

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Vrai

Faux

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Faux

Vrai

Votre score est

Le score moyen est 73%

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168

Algèbre générale

1 / 10

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

trois éléments inversibles

deux éléments inversibles

un élément inversible

5 éléments inversibles

2 / 10

Le groupe symétrique S_3 est isomorphe à un sous-groupe de S_n dès que n est supérieur ou égal à 3.

Vrai

Faux

S_3 s'identifie naturellement au sous-groupe de S_n formé des permutations qui laissent fixes les éléments 4,...,n.

3 / 10

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

n(n-1)/2 éléments

n! éléments

n éléments

n(n+1)/2 éléments

4 / 10

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

K(X)

K[X]

GL(n,K)

K_n[X]

5 / 10

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

Vrai

Faux

Z/9Z est cyclique donc contient un élément d'ordre 9 alors que tous les éléments de (Z/3Z)^2 sont d'ordre 1 ou 3.

6 / 10

Quels éléments sont inversibles dans l'anneau Z/165Z ?

164

7 / 10

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

Z/6Z

Z/5Z

Z/12Z

Z/8Z

8 / 10

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

9 / 10

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Déterminant

Transposition

inversion

Trace

10 / 10

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Faux

Vrai

PGCD(33,121) = 11 donc 33 n'est pas inversible dans Z/121Z.

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

184

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Vrai

Faux

Il faut ajouter une hypothèse de convergence uniforme.

2 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

+ l'infini

on ne peut pas savoir

3 / 10

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

il faut que (f_n) converge uniformément vers 0

il faut et il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge simplement vers 0

il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

4 / 10

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

sum a_n*(x^n)/n

sum n*a_n*x^(n-1)

sum (n+1)a_n x^(n+1)

sum a_n*x^(n+1)/(n+1)

5 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...pas forcément

...carrément !

...simplement vers une primitive de f

...uniformément vers une primitive de f

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

6 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

f est dérivable sur I

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

7 / 10

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

R_1 = R_2

R_1 est strictement plus petit que R_2

R_1 est strictement plus grand que R_2

on ne peut pas conclure

8 / 10

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

R_a est strictement inférieur à R_b

R_a est supérieur ou égal à R_b

R_a est strictement supérieur à R_b

R_a est inférrieur ou égal à R_b

9 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

f est continue sur I

on ne peut pas conclure

f est dérivable sur I

f présente au plus un nombre fini de points de discontinuité

10 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

faut et il suffit

faut

suffit

se peut

Votre score est

Le score moyen est 46%

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367

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

La série de terme général ln(1+1/n) est

grossièrement divergente

semi-convergente

divergente

absolument convergente

Son terme général est positif et équivalent à 1/n. On conclut par comparaison.

2 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

diverge

converge, et sa somme vaut e

converge, et sa somme vaut 1/e

converge, et sa somme vaut ln(2)

3 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Vrai

Faux

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

4 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

5 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

la série de terme général u_n converge

on ne peut pas conclure

la série de terme général u_n diverge

Appliquer le critère de d'Alembert

6 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

grossièrement divergente

absolument convergente

divergente

semi-convergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

7 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Vrai

Faux

Le terme général est équivalent à 1/n^2. On conclut par comparaison.

8 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Faux

Vrai

on ne peut pas conclure

Si les séries convergent absolument, elles convergent donc (u_n) tend vers 0. A partir d'un certain rang, on a donc |u_n|<1 et |u_nv_n| < |v_n|. On conclut par comparaison.

9 / 10

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Vrai

Faux

la décroissance n'est pas stable par équivalence

10 / 10

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Vrai

Vrai, si on ajoute l'hypothèse de convergence absolue.

Faux

C'est déjà faux pour les sommes finies. Ce n'est pas la série \sum u_n*v_n qu'il faut considérer mais le produit de Cauchy des séries. Et il faut dans ce cas ajouter une hypothèse de convergence absolue.

Votre score est

Le score moyen est 34%

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