MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

181

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Faux

Vrai

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

2 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il suffit qu'elle soit continue en a

il faut qu'elle soit continue en a

3 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Vrai

df(I_n)(H) = nH

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

Faux

4 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Vrai

Faux

5 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

6 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Faux

Vrai

7 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f admet un extremum global

tout extremum local est global

f peut admettre un extremum en un point non critique

f admet un extremum local en tout point critique

8 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

colinéaire aux lignes de niveau

orthogonal aux lignes de niveau

9 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un minimum local en a

un point col en a

un maximum local en a

10 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

C^2 en (0,0)

différentiable en (0,0)

Rien de tout cela

continue en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

Votre score est

Le score moyen est 46%

LinkedIn Facebook VKontakte

Espaces vectoriels normés

350

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Vrai

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

2 / 10

GL(n,R) est

fermé

connexe par arcs

compact

ouvert

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

3 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Faux

Vrai

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

4 / 10

Sur un compact, une application continue est

linéaire

bornée

lipschitizienne

uniformément continue

5 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

égale à 2

pas nécessairement définie

inférieure ou égale à 2

supérieure ou égale à 2

6 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai dans un compact

Vrai

7 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Faux

Vrai

vrai si K=C, faux si K=R

8 / 10

Un compact est un fermé borné

Faux

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

9 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

connexe par arcs

compact

ouvert

fermé

10 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Vrai si K=C, Faux si K=R

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 54%

LinkedIn Facebook VKontakte

Intégration

235

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^x e^(-t-1) dt

t^x e^(-t) dt

t^(x-1) e^(-t) dt

t^(x+1) e^(-t) dt

2 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

3 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R

sur R+

sur R-

sur aucun de ces intervalles

4 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Vrai

Faux

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

5 / 10

La fonction Gamma est

de limite infinie en l'infini

de classe C infini sur R*+

définie sur R*+

continue sur R*+

strictement croissante sur R*+

strictement convexe sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

6 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

7 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Faux

Vrai

1 n'est pas intégrable sur R+

8 / 10

La fonction ln est intégrable sur

sur aucun de ces intervalles

]0,1]

[1,+infini[

9 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

10 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Vrai

Faux

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

Votre score est

Le score moyen est 55%

LinkedIn Facebook VKontakte

Probabilités

188

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-3)/2

(X-3)/4

(X-9)/2

(X-9)/4

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois de Poisson

les lois géométriques

les lois uniformes

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

1 fois

4 fois

3 fois

2 fois

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)

E[X]²

V(X)+E[X]²

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Faux

Vrai

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

B(p)

B(n,p)

P(np)

G(p)

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

X admet une espérance et une variance finies

X admet une espérance finie mais une variance infinie

X admet une variance finie mais une espérance infinie

X n'admet ni espérance ni variance finie

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

XY admet une espérance inconnue

Votre score est

Le score moyen est 63%

LinkedIn Facebook VKontakte

Algèbre

119

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

K[X]

M(n,K)

L(E,F)

K_n[X]

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

C[X]

Q[X]

R[X]

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

X**2-X-2

X**2+1

X**2-16X+64

x**4+1

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Vrai

Faux

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Vrai

Faux

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

4 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

4X+2

4X-2

-4X+2

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

P est réductible dans R[X]

P est irréductible dans R[X]

P n'admet pas de racines réelles

P admet des racines réelles

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

Vrai

Faux

X²-2 est irréductible dans Q[X] mais se factorise dans R[X]

Votre score est

Le score moyen est 46%

LinkedIn Facebook VKontakte

306

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

inversible

nulle

diagonale

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A est diagonalisable

A est inversible

A n'est pas diagonalisable

A n'est pas inversible

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

A est diagonalisable

X est valeur propre de A

2 est valeur propre de A

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est diagonalisable

A est nilpotente

A est inversible

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

A est nilpotente

A est diagonalisable

A est inversible

A est nulle

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Vrai

Faux

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

A n'est pas inversible

1 est valeur propre

-1 est valeur propre

Toute matrice de M(n,R) est

trigonalisable dans M(n,R)

diagonalisable dans M(n,C)

diagonalisable dans M(n,R)

trigonalisable dans M(n,C)

Si A est une matrice triangulaire, alors

A est diagonalisable

ses valeurs propres sont sur la diagonale

A est inversible

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 73%

LinkedIn Facebook VKontakte

186

Algèbre générale

1 / 10

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

au moins d

au plus d

on ne peut pas savoir

2 / 10

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Vrai

Faux

PGCD(33,121) = 11 donc 33 n'est pas inversible dans Z/121Z.

3 / 10

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

Faux

Vrai

Z/9Z est cyclique donc contient un élément d'ordre 9 alors que tous les éléments de (Z/3Z)^2 sont d'ordre 1 ou 3.

4 / 10

Le PGCD de 3080 et 364 est

5 / 10

Soit p un nombre premier et G un groupe fini d'ordre p. Alors G est abélien

Vrai

Faux

Un groupe d'ordre p premier est nécessairement cyclique ; il est en particulier abélien.

6 / 10

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

au plus d

au moins d

on ne peut pas savoir

7 / 10

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

(Z,+)

(Z/4Z,+)

(Z/3Z,+)

(Z/2Z,+)

Il y a exactement deux éléments inversibles dans l'anneau Z/4Z donc U(Z/4Z) est d'ordre 2, et donc isomorphe à Z/2Z.

8 / 10

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

K[X]

K(X)

K_n[X]

GL(n,K)

9 / 10

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

Z/2Z x Z/30Z

Z/12Z x Z/5Z

Z/3Z x Z/20Z

Z/10Z x Z/6Z

10 / 10

Combien 4900 admet-il de diviseurs positifs ?

Votre score est

Le score moyen est 52%

LinkedIn Facebook VKontakte

Suites et séries

202

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

elle converge uniformément sur I

elle converge simplement sur I

on ne peut rien dire

2 / 10

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Vrai

Faux

Il faut ajouter une hypothèse de convergence uniforme.

3 / 10

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Faux

Vrai

Il faut que I soit un segment pour pouvoir l'affirmer (théorème de Weierstrass).

4 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f est dérivable sur I

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

5 / 10

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

R = 0

R = 1

R est strictement plus petit que 1

R est strictement plus grand que 1

6 / 10

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

sum a_n*(x^n)/n

sum n*a_n*x^(n-1)

sum (n+1)a_n x^(n+1)

sum a_n*x^(n+1)/(n+1)

7 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

f est dérivable sur I

on ne peut pas conclure

f est continue sur I

f présente au plus un nombre fini de points de discontinuité

8 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...uniformément vers une primitive de f

...carrément !

...simplement vers une primitive de f

...pas forcément

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

9 / 10

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge simplement vers 0

il faut et il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il faut que (f_n) converge uniformément vers 0

10 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

diverge grossièrement si |z| est strictement supérieur à R

converge si |z|=R

converge absolument si |z| est strictement inférieur à R

diverge si |z|=R

Votre score est

Le score moyen est 46%

LinkedIn Facebook VKontakte

414

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Vrai

Faux

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

2 / 10

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Faux

Vrai, si on ajoute l'hypothèse de convergence absolue.

Vrai

C'est déjà faux pour les sommes finies. Ce n'est pas la série \sum u_n*v_n qu'il faut considérer mais le produit de Cauchy des séries. Et il faut dans ce cas ajouter une hypothèse de convergence absolue.

3 / 10

La série de terme général ln(1+1/n) est

semi-convergente

absolument convergente

divergente

grossièrement divergente

Son terme général est positif et équivalent à 1/n. On conclut par comparaison.

4 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0

5 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

diverge

converge, et sa somme vaut e

converge, et sa somme vaut 1/e

converge, et sa somme vaut ln(2)

6 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

semi-convergente

grossièrement divergente

absolument convergente

divergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

7 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

convergente

divergente

grossièrement divergente

semi-convergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

8 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

divergente

semi-convergente

grossièrement divergente

absolument convergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

9 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Vrai

Faux

Le terme général est équivalent à 1/n^2. On conclut par comparaison.

10 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

la série de terme général u_n converge

on ne peut pas conclure

la série de terme général u_n diverge

Appliquer le critère de d'Alembert

Votre score est

Le score moyen est 33%

LinkedIn Facebook VKontakte

Cookie	Durée	Description
cookielawinfo-checbox-analytics	11 months	This cookie is set by GDPR Cookie Consent plugin. The cookie is used to store the user consent for the cookies in the category "Analytics".
cookielawinfo-checbox-functional	11 months	The cookie is set by GDPR cookie consent to record the user consent for the cookies in the category "Functional".
cookielawinfo-checbox-others	11 months	This cookie is set by GDPR Cookie Consent plugin. The cookie is used to store the user consent for the cookies in the category "Other.
cookielawinfo-checkbox-necessary	11 months	This cookie is set by GDPR Cookie Consent plugin. The cookies is used to store the user consent for the cookies in the category "Necessary".
cookielawinfo-checkbox-performance	11 months	This cookie is set by GDPR Cookie Consent plugin. The cookie is used to store the user consent for the cookies in the category "Performance".
viewed_cookie_policy	11 months	The cookie is set by the GDPR Cookie Consent plugin and is used to store whether or not user has consented to the use of cookies. It does not store any personal data.