MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

160

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

2 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il faut qu'elle soit continue en a

il suffit qu'elle soit continue en a

3 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

orthogonal aux lignes de niveau

colinéaire aux lignes de niveau

4 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Vrai

Faux

5 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Vrai

Faux

6 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un maximum local

un minimum local

un point col

un point critique

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

7 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un maximum local en a

un minimum local en a

un point col en a

8 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Vrai

Faux

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

9 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

continue en (0,0)

différentiable en (0,0)

C^2 en (0,0)

Rien de tout cela

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

10 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

df(I_n)(H) = nH

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 46%

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Espaces vectoriels normés

333

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

connexe par arcs

fermé

compact

ouvert

2 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Faux

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

3 / 10

Sur un compact, une application continue est

linéaire

uniformément continue

bornée

lipschitizienne

4 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Vrai

vrai si K=C, faux si K=R

Faux

5 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Faux

Vrai

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

6 / 10

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

A est fermée

A n'est pas fermée

A n'est pas ouverte

A est ouverte

7 / 10

GL(n,R) est

ouvert

compact

connexe par arcs

fermé

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

8 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Faux

Vrai

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

9 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Vrai

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

10 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

supérieure ou égale à 2

pas nécessairement définie

inférieure ou égale à 2

égale à 2

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

221

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

semi-convergente

absolument convergente

divergente

convergente

2 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n)! = n+1

Gamma(n) = n!

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n+1) = n!

3 / 10

La fonction ln est intégrable sur

]0,1]

sur aucun de ces intervalles

[1,+infini[

4 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

sur aucun de ces intervalles

R+

[1,+infini[

]0,1]

5 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

6 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R

sur aucun de ces intervalles

sur R-

sur R+

7 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^x e^(-t-1) dt

t^(x+1) e^(-t) dt

t^x e^(-t) dt

t^(x-1) e^(-t) dt

8 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

9 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Faux

Vrai

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

10 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

176

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

P(np)

G(p)

B(n,p)

B(p)

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois uniformes

les lois géométriques

les lois de Poisson

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

3,5

2,5

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)+E[X]²

V(X)

E[X]²

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

X admet une espérance finie mais une variance infinie

X admet une espérance et une variance finies

X admet une variance finie mais une espérance infinie

X n'admet ni espérance ni variance finie

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-9)/2

(X-3)/2

(X-9)/4

(X-3)/4

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Vrai

Faux

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

112

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

(X²+X+1) divise P

(X-j²) divise P

(X-j) divise P

(X²+1) divise P

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Vrai

Faux

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

4X-2

4X+2

-4X+2

La fonction cos est polynomiale

Vrai

Faux

On ne peut pas savoir

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

P n'est pas scindé

P est scindé mais pas à racines simples

P est scindé à racines simples

on ne peut pas conclure

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

6 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

Q[X]

C[X]

R[X]

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

on ne peut pas déterminer a, b et c

on a une contradiction

a=b=c=0

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Vrai

Faux

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 47%

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296

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

Faux

Vrai

f étant trigonalisable, son polynôme caractéristique est scindé. Le polynôme caractéristique de la restriction divisant celui de f, il est aussi scindé, et donc cette restriction est trigonalisable.

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Faux

Vrai

Le polynôme caractéristique doit être scindé, mais pas nécessairement à racines simples. C'est néanmoins une condition suffisante de diagonalisabilité.

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Faux

Vrai

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Faux

Vrai

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Faux

Vrai

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Vrai

Faux

Si le polynôme minimal est scindé sur C mais pas sur R, la matrice est diagonalisable dans M(n,C) mais pas dans M(n,R). C'est par exemple le cas pour une matrice de rotation.

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

On ne peut pas conclure

Vrai

Faux

Si A est une matrice triangulaire, alors

ses valeurs propres sont sur la diagonale

A est inversible

A est diagonalisable

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est diagonalisable

A est nilpotente

A est inversible

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

A est inversible

A est diagonalisable

A est nulle

A est nilpotente

Votre score est

Le score moyen est 72%

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180

Algèbre générale

1 / 10

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Vrai

Faux

Si x est un générateur de G, alors le théorème de Lagrange assure que l'ordre de x divise l'ordre de G. Celui-ci étant p premier, l'ordre de x est 1 ou p. Et comme x n'est pas l'élément neutre, son ordre est p. Ainsi, G est engendré par x.

2 / 10

L'indicatrice d'Euler de 1400 vaut

1399

240

480

3 / 10

Quels éléments sont inversibles dans l'anneau Z/165Z ?

164

4 / 10

Le groupe symétrique S_3 est isomorphe à un sous-groupe de S_n dès que n est supérieur ou égal à 3.

Faux

Vrai

S_3 s'identifie naturellement au sous-groupe de S_n formé des permutations qui laissent fixes les éléments 4,...,n.

5 / 10

Z/6Z est isomorphe à...

Z*6Z

(Z/2Z)*(Z/4Z)

(Z/5Z)

(Z/2Z)*(Z/3Z)

C'est une conséquence du théorème des restes chinois

6 / 10

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

7 / 10

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

(Z/4Z,+)

(Z/3Z,+)

(Z/2Z,+)

(Z,+)

Il y a exactement deux éléments inversibles dans l'anneau Z/4Z donc U(Z/4Z) est d'ordre 2, et donc isomorphe à Z/2Z.

8 / 10

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

Faux

Vrai

Il n'est pas stable par produit.

9 / 10

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

K(X)

K_n[X]

GL(n,K)

K[X]

10 / 10

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Vrai

Faux

PGCD(33,121) = 11 donc 33 n'est pas inversible dans Z/121Z.

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

196

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...uniformément vers une primitive de f

...simplement vers une primitive de f

...carrément !

...pas forcément

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

2 / 10

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

R = 0

R est strictement plus petit que 1

R = 1

R est strictement plus grand que 1

3 / 10

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

R_a est strictement inférieur à R_b

R_a est supérieur ou égal à R_b

R_a est inférrieur ou égal à R_b

R_a est strictement supérieur à R_b

4 / 10

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Faux

Vrai

Il faut que I soit un segment pour pouvoir l'affirmer (théorème de Weierstrass).

5 / 10

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Faux

Vrai

Il faut ajouter une hypothèse de convergence uniforme.

6 / 10

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

f est continue sur I

f peut présenter une infinité de points de discontinuité

f est continue sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points

La continuité est une propriété locale, et chaque point de I admet un voisinage compact, donc la CU sur tout segment suffit à assurer la continuité en tout point de I.

7 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

converger absolument

diverger grossièrement

diverger

converger

8 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

son terme général converge uniformément vers 0

elle converge normalement

son terme général converge uniformément

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

9 / 10

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

converge simplement sur R

converge uniformément sur R

ne converge d'aucune façon sur R

converge normalement sur R

Pour tout x réel, on a |sin(2*n*x)/n| <= 1/n. Il y a ainsi CU, et donc CS sur R.

10 / 10

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

R est supérieur ou égal à R'

ça dépend des cas

R est inférieur ou égal à R'

R=R'

Votre score est

Le score moyen est 46%

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398

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

la série de terme général u_n diverge

la série de terme général u_n converge

on ne peut pas conclure

Appliquer le critère de d'Alembert

2 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Vrai

Faux

Le terme général est équivalent à 1/n^2. On conclut par comparaison.

3 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

divergente

semi-convergente

absolument convergente

grossièrement divergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

4 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

il suffit que le terme général tende vers 0

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0

5 / 10

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

divergente

grossièrement divergente

semi-convergente

absolument convergente

La série converge d'après le critère des séries alternées, mais ne converge pas absolument d'après le critère de Riemann.

6 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Faux

Vrai

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

7 / 10

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Faux

Vrai

la décroissance n'est pas stable par équivalence

8 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

absolument convergente

semi-convergente

divergente

grossièrement divergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

9 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

R_n = o(T_n)

T_n = o(R_n)

U_n = o(V_n)

V_n = o(U_n)

10 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la divergence de V_n implique celle de U_n

la divergence de U_n implique celle de V_n

la convergence de V_n implique celle de U_n

la convergence de U_n implique celle de V_n

Votre score est

Le score moyen est 33%

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