MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

195

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il suffit qu'elle soit continue en a

il faut qu'elle soit continue en a

2 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Vrai

Faux

3 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

4 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f admet un extremum local en tout point critique

tout extremum local est global

f admet un extremum global

f peut admettre un extremum en un point non critique

5 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un point col en a

un maximum local en a

un minimum local en a

6 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

f est continue

df=f

df=0

f est différentiable

7 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Rien de tout cela

C^2 en (0,0)

différentiable en (0,0)

continue en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

8 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

Vrai

df(I_n)(H) = nH

Faux

9 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

colinéaire aux lignes de niveau

orthogonal aux lignes de niveau

10 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un point col

un minimum local

un point critique

un maximum local

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

Votre score est

Le score moyen est 45%

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Espaces vectoriels normés

360

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

connexe par arcs

compact

ouvert

fermé

2 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Vrai

Faux

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

3 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Vrai

Faux

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

4 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Faux

Vrai

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

5 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Faux

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

6 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Vrai

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

7 / 10

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

A est fermée

A est ouverte

A n'est pas fermée

A n'est pas ouverte

8 / 10

GL(n,R) est

connexe par arcs

compact

ouvert

fermé

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

9 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

inférieure ou égale à 2

supérieure ou égale à 2

pas nécessairement définie

égale à 2

10 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

vrai si K=C, faux si K=R

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

241

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

semi-convergente

convergente

absolument convergente

divergente

2 / 10

La fonction ln est intégrable sur

[1,+infini[

]0,1]

sur aucun de ces intervalles

3 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

R+

]0,1]

sur aucun de ces intervalles

[1,+infini[

4 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

5 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

6 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Faux

Vrai

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

7 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Faux

Vrai

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

8 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

9 / 10

La fonction Gamma est

définie sur R*+

strictement croissante sur R*+

continue sur R*+

strictement convexe sur R*+

de limite infinie en l'infini

de classe C infini sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

10 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Vrai

Faux

1 n'est pas intégrable sur R+

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Probabilités

199

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

E[X]²

V(X)

V(X)+E[X]²

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois géométriques

les lois de Poisson

les lois uniformes

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi binomiale

une loi géométrique

une loi de Bernoulli

une loi de Poisson

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

3,5

2,5

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

XY admet une espérance inconnue

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

suit une loi de Poisson de paramètre 2

suit une loi de Poisson de paramètre 1

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

B(p)

G(p)

B(n,p)

P(np)

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-3)/2

(X-3)/4

(X-9)/2

(X-9)/4

Votre score est

Le score moyen est 61%

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Algèbre

124

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Vrai

Faux

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

6 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Vrai

Faux

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Vrai

Faux

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

6 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

(X-j²) divise P

(X²+X+1) divise P

(X²+1) divise P

(X-j) divise P

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Vrai

Faux

(X²+1)² n'a pas de racines réelles mais est réductible dans R[X].

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

4X-2

4X+2

-4X+2

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

X**2-16X+64

X**2+1

x**4+1

X**2-X-2

Votre score est

Le score moyen est 45%

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316

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Faux

Vrai

f étant diagonalisable, il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Ce polynôme annule également la restriction, qui est donc diagonalisable.

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

A+I

nA+I

A^n + I

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est diagonalisable

A est nilpotente

A est inversible

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

A est nulle

A est nilpotente

A est diagonalisable

A est inversible

Si A est une matrice, P est une matrice inversible, Q = P^(-1) et D = QAP. Alors D^n =

Q A^n P

Q^n A^n P^n

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Vrai

Faux

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

2 est valeur propre de A

A est diagonalisable

X est valeur propre de A

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Faux

Vrai

Si A est une matrice triangulaire, alors

A est diagonalisable

ses valeurs propres sont sur la diagonale

A est inversible

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

A n'est pas inversible

-1 est valeur propre

1 est valeur propre

Votre score est

Le score moyen est 73%

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188

Algèbre générale

1 / 10

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

trois éléments inversibles

un élément inversible

5 éléments inversibles

deux éléments inversibles

2 / 10

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Vrai

Faux

Si x est un générateur de G, alors le théorème de Lagrange assure que l'ordre de x divise l'ordre de G. Celui-ci étant p premier, l'ordre de x est 1 ou p. Et comme x n'est pas l'élément neutre, son ordre est p. Ainsi, G est engendré par x.

3 / 10

L'ensemble des matrices de déterminant nul est un groupe pour le produit matriciel.

Vrai

Faux

Les matrices de déterminant nul ne sont pas inversibles pour le produit matriciel. Elles ne peuvent donc pas former un groupe pour cette opération.

4 / 10

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

au plus d

au moins d

on ne peut pas savoir

5 / 10

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

Faux

Vrai

Z/9Z est cyclique donc contient un élément d'ordre 9 alors que tous les éléments de (Z/3Z)^2 sont d'ordre 1 ou 3.

6 / 10

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

au plus d

au moins d

on ne peut pas savoir

7 / 10

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

Il faut observer que 7 est d'ordre 4 dans Z/10Z donc 7**(2023) = 7**3 (mod 10) mais 7**2 = -1 (mod 10) donc 7**3 = -7 (mod 10) = 3 (mod 10).

8 / 10

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

n! éléments

n(n-1)/2 éléments

n(n+1)/2 éléments

n éléments

9 / 10

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

(Z/4Z,+)

(Z/3Z,+)

(Z,+)

(Z/2Z,+)

Il y a exactement deux éléments inversibles dans l'anneau Z/4Z donc U(Z/4Z) est d'ordre 2, et donc isomorphe à Z/2Z.

10 / 10

Le groupe symétrique S_3 est isomorphe à un sous-groupe de S_n dès que n est supérieur ou égal à 3.

Vrai

Faux

S_3 s'identifie naturellement au sous-groupe de S_n formé des permutations qui laissent fixes les éléments 4,...,n.

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

203

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

converger absolument

diverger grossièrement

diverger

converger

2 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...uniformément vers une primitive de f

...carrément !

...simplement vers une primitive de f

...pas forcément

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

3 / 10

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

il suffit que (f_n) converge simplement vers 0

il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il faut que (f_n) converge uniformément vers 0

il faut et il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

4 / 10

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Vrai

Faux

Il faut ajouter une hypothèse de convergence uniforme.

5 / 10

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

elle converge simplement sur I

on ne peut rien dire

elle converge uniformément sur I

6 / 10

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

R_1 = R_2

on ne peut pas conclure

R_1 est strictement plus grand que R_2

R_1 est strictement plus petit que R_2

7 / 10

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

R est supérieur ou égal à R'

R est inférieur ou égal à R'

ça dépend des cas

R=R'

8 / 10

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

converge normalement sur R

ne converge d'aucune façon sur R

converge uniformément sur R

converge simplement sur R

Pour tout x réel, on a |sin(2*n*x)/n| <= 1/n. Il y a ainsi CU, et donc CS sur R.

9 / 10

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

R = 1

R est strictement plus petit que 1

R est strictement plus grand que 1

R = 0

10 / 10

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

f peut présenter une infinité de points de discontinuité

f est continue sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points

f est continue sur I

La continuité est une propriété locale, et chaque point de I admet un voisinage compact, donc la CU sur tout segment suffit à assurer la continuité en tout point de I.

Votre score est

Le score moyen est 46%

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414

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

diverge

converge, et sa somme vaut 1/(1-x)

converge, et sa somme vaut (1-x^(n+1))/(1-x)

converge, et sa somme vaut (1-x^n)/(1-x)

2 / 10

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

on ne peut pas conclure

Elle converge vers u_0-1

Elle converge vers 1

Elle diverge grossièrement

3 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

la série de terme général u_n diverge

on ne peut pas conclure

la série de terme général u_n converge

Appliquer le critère de d'Alembert

4 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

convergente

semi-convergente

divergente

grossièrement divergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

5 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

T_n = o(R_n)

U_n = o(V_n)

V_n = o(U_n)

R_n = o(T_n)

6 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Faux

Vrai

Le terme général est équivalent à 1/n^2. On conclut par comparaison.

7 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Faux

Vrai

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

8 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

absolument convergente

grossièrement divergente

divergente

semi-convergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

9 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

les séries sum u_n et sum v_n sont de même nature

les suites des restes partielles sont équivalentes

les suites des sommes partielles sont équivalentes

les sommes des séries correspondantes sont égales

10 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut ln(2)

converge, et sa somme vaut 1/e

diverge

converge, et sa somme vaut e

Votre score est

Le score moyen est 33%

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