MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

140

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un point col en a

un maximum local en a

un minimum local en a

2 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

colinéaire aux lignes de niveau

orthogonal aux lignes de niveau

3 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Vrai

Faux

4 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Vrai

Faux

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

5 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

f est différentiable

df=f

df=0

f est continue

6 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

tout extremum local est global

f peut admettre un extremum en un point non critique

f admet un extremum global

f admet un extremum local en tout point critique

7 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

continue en (0,0)

C^2 en (0,0)

différentiable en (0,0)

Rien de tout cela

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

8 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il suffit qu'elle soit continue en a

il faut qu'elle soit continue en a

9 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un minimum local

un maximum local

un point col

un point critique

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

10 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

Votre score est

Le score moyen est 46%

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Espaces vectoriels normés

311

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Un compact est un fermé borné

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

2 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Vrai si K=C, Faux si K=R

Faux

Vrai

3 / 10

GL(n,R) est

connexe par arcs

fermé

ouvert

compact

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

4 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Faux

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

5 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Faux

Vrai

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

6 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Vrai

Faux

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

7 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

ouvert

connexe par arcs

fermé

compact

8 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

9 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Faux

Vrai

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

10 / 10

Sur un compact, une application continue est

bornée

uniformément continue

linéaire

lipschitizienne

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

203

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

2 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

absolument convergente

semi-convergente

convergente

divergente

3 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^x e^(-t) dt

t^(x+1) e^(-t) dt

t^(x-1) e^(-t) dt

t^x e^(-t-1) dt

4 / 10

La fonction Gamma est

strictement convexe sur R*+

de limite infinie en l'infini

continue sur R*+

strictement croissante sur R*+

définie sur R*+

de classe C infini sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

5 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Faux

Vrai

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

6 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

[1,+infini[

sur aucun de ces intervalles

]0,1]

R+

7 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Vrai

Faux

1 n'est pas intégrable sur R+

8 / 10

La fonction ln est intégrable sur

]0,1]

[1,+infini[

sur aucun de ces intervalles

9 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n)! = n+1

Gamma(n) = n!

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n+1) = n!

10 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R-

sur R+

sur aucun de ces intervalles

sur R

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

151

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

2 fois

1 fois

3 fois

4 fois

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi géométrique

une loi de Bernoulli

une loi de Poisson

une loi binomiale

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-9)/2

(X-3)/4

(X-3)/2

(X-9)/4

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Faux

Vrai

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

B(p)

G(p)

P(np)

B(n,p)

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

X admet une espérance finie mais une variance infinie

X admet une espérance et une variance finies

X n'admet ni espérance ni variance finie

X admet une variance finie mais une espérance infinie

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois de Poisson

les lois uniformes

les lois géométriques

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

XY admet une espérance inconnue

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

103

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

X**2+1

X**2-16X+64

X**2-X-2

x**4+1

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

-4X+2

4X+2

4X-2

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

Faux

Vrai

X²-2 est irréductible dans Q[X] mais se factorise dans R[X]

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Faux

Vrai

(X²+1)² n'a pas de racines réelles mais est réductible dans R[X].

La fonction cos est polynomiale

Faux

Vrai

On ne peut pas savoir

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Faux

Vrai

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Vrai

Faux

L'intersection de I et de J est un idéal M de K[X]. Comme tous les idéaux de K[X] sont principaux, il existe un unique polynôme unitaire P qui engendre M, et donc qui divise tous les éléments communs à I et J.

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

M(n,K)

L(E,F)

K_n[X]

K[X]

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Vrai

Faux

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

E non nul 0, a = -4, b = 5

E =0, a = -4, b = 5

E =0, a = 4, b = -5

E =0, a = 4, b = 5

Votre score est

Le score moyen est 45%

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266

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

Faux

Vrai

f étant trigonalisable, son polynôme caractéristique est scindé. Le polynôme caractéristique de la restriction divisant celui de f, il est aussi scindé, et donc cette restriction est trigonalisable.

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Faux

Vrai

f étant diagonalisable, il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Ce polynôme annule également la restriction, qui est donc diagonalisable.

Si A est une matrice triangulaire, alors

A est inversible

A est diagonalisable

ses valeurs propres sont sur la diagonale

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

A est trigonalisable dans M(n,R)

A est diagonalisable dans M(n,C)

A est trigonalisable dans M(n,C)

A est diagonalisable dans M(n,R)

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Vrai

Faux

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A n'est pas diagonalisable

A est inversible

A n'est pas inversible

A est diagonalisable

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Vrai

On ne peut pas conclure

Faux

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

A est diagonalisable

A est nulle

A est nilpotente

A est inversible

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Faux

Vrai

Votre score est

Le score moyen est 73%

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168

Algèbre générale

1 / 10

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Transposition

Trace

Déterminant

inversion

2 / 10

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

Z/12Z x Z/5Z

Z/3Z x Z/20Z

Z/2Z x Z/30Z

Z/10Z x Z/6Z

3 / 10

(Z/4Z,+) contient

2 sous-groupes

4 sous-groupes

1 sous-groupe

3 sous-groupes

Il y a exactement trois sous-groupes:
{0}, Z/4Z et {0,2} (qui est isomorphe à Z/2Z)

4 / 10

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Vrai

Faux

Si x est un générateur de G, alors le théorème de Lagrange assure que l'ordre de x divise l'ordre de G. Celui-ci étant p premier, l'ordre de x est 1 ou p. Et comme x n'est pas l'élément neutre, son ordre est p. Ainsi, G est engendré par x.

5 / 10

Le groupe symétrique S_3 est isomorphe à un sous-groupe de S_n dès que n est supérieur ou égal à 3.

Faux

Vrai

S_3 s'identifie naturellement au sous-groupe de S_n formé des permutations qui laissent fixes les éléments 4,...,n.

6 / 10

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

n! éléments

n(n-1)/2 éléments

n éléments

n(n+1)/2 éléments

7 / 10

Le PGCD de 3080 et 364 est

8 / 10

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

9 / 10

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

un élément inversible

trois éléments inversibles

5 éléments inversibles

deux éléments inversibles

10 / 10

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

(Z/3Z,+)

(Z/4Z,+)

(Z/2Z,+)

(Z,+)

Il y a exactement deux éléments inversibles dans l'anneau Z/4Z donc U(Z/4Z) est d'ordre 2, et donc isomorphe à Z/2Z.

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

183

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

elle converge simplement sur I

on ne peut rien dire

elle converge uniformément sur I

2 / 10

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

f peut présenter une infinité de points de discontinuité

f est continue sur I

f est continue sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points

La continuité est une propriété locale, et chaque point de I admet un voisinage compact, donc la CU sur tout segment suffit à assurer la continuité en tout point de I.

3 / 10

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

sum a_n*(x^n)/n

sum n*a_n*x^(n-1)

sum a_n*x^(n+1)/(n+1)

sum (n+1)a_n x^(n+1)

4 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f est dérivable sur I

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

5 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

converger absolument

diverger grossièrement

diverger

converger

6 / 10

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

il faut que (f_n) converge uniformément vers 0

il faut et il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge simplement vers 0

il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

7 / 10

La série de terme général cos(x)^n

converge simplement sur R

ne converge pas sur ]0,pi[

converge normalement sur ]0,pi[

converge simplement sur ]0,pi[

Sur ]0,\pi[, la borne sup de |cos(x)^n| est 1, donc il n'y a pas convergence normale. Néanmoins, |cos(x)|<1 donc il y a convergence simple (série géométrique).

Sur R, il n'y a pas convergence simple car le terme général ne tend pas simplement vers 0.

8 / 10

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Vrai

Faux

Il faut ajouter une hypothèse de convergence uniforme.

9 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

faut

faut et il suffit

suffit

se peut

10 / 10

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

converge normalement sur R

converge uniformément sur R

converge simplement sur R

ne converge d'aucune façon sur R

Pour tout x réel, on a |sin(2*n*x)/n| <= 1/n. Il y a ainsi CU, et donc CS sur R.

Votre score est

Le score moyen est 46%

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367

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

la série de terme général u_n diverge

la série de terme général u_n converge

on ne peut pas conclure

Appliquer le critère de d'Alembert

2 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

divergente

grossièrement divergente

semi-convergente

absolument convergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

3 / 10

La série de terme général ln(1+1/n) est

divergente

absolument convergente

semi-convergente

grossièrement divergente

Son terme général est positif et équivalent à 1/n. On conclut par comparaison.

4 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

U_n = o(V_n)

R_n = o(T_n)

V_n = o(U_n)

T_n = o(R_n)

5 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Faux

Vrai

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

6 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Faux

Vrai

Le terme général est équivalent à 1/n^2. On conclut par comparaison.

7 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut ln(2)

diverge

converge, et sa somme vaut e

converge, et sa somme vaut 1/e

8 / 10

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

absolument convergente

divergente

semi-convergente

grossièrement divergente

La série converge d'après le critère des séries alternées, mais ne converge pas absolument d'après le critère de Riemann.

9 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

divergente

convergente

grossièrement divergente

semi-convergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

10 / 10

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

on ne peut pas conclure

Elle converge vers 1

Elle diverge grossièrement

Elle converge vers u_0-1

Votre score est

Le score moyen est 34%

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