MP : Quiz d’apprentissage

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Si f est différentiable, le gradient de f est

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

GL(n,R) est

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

Dans C, le cercle trigonométrique est

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Dans R, [2,+infini[ est

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Sur un compact, une application continue est

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

La fonction ln est intégrable sur

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

La fonction cos est polynomiale

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

Si A est une matrice, P est une matrice inversible, Q = P^(-1) et D = QAP. Alors D^n =

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Si A est une matrice triangulaire, alors

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

(Z/6Z,+,*) est...

Combien vaut l'indicatrice d'Euler de 57 ?

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

Quels éléments sont inversibles dans l'anneau Z/165Z ?

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

Le PGCD de 3080 et 364 est

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

La série de terme général sin(2/n²) est

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

La série de terme général ln(n)/n est

Pour que la série de terme général u_n converge...

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors