MP : Quiz d’apprentissage

Si f est différentiable sur un compact...

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Si f est différentiable, le gradient de f est

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Dans R, [2,+infini[ est

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Dans C, le cercle trigonométrique est

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Sur un compact, une application continue est

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

La fonction Gamma est

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

Si A est une matrice triangulaire, alors

Toute matrice de M(n,R) est

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

L'ensemble des matrices de déterminant nul est un groupe pour le produit matriciel.

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

Le groupe U(Z/5Z) des inversibles de Z/5Z contient...

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

(Z/4Z,+) contient

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

La série de terme général cos(x)^n

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

La série de terme général sin(2/n²) est

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

La série de terme général ln(1+1/n) est

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

La série de terme général ln(n)/n est

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...