MP : Quiz d’apprentissage

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Si f est différentiable, le gradient de f est

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Un compact est un fermé borné

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

Dans C, le cercle trigonométrique est

Dans R, [2,+infini[ est

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

GL(n,R) est

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

La fonction Gamma est

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

La fonction ln est intégrable sur

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Combien 4900 admet-il de diviseurs positifs ?

Le groupe symétrique S_3 est isomorphe à un sous-groupe de S_n dès que n est supérieur ou égal à 3.

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

(Z/4Z,+) contient

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

La série de terme général cos(x)^n

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

La série de terme général sin(2/n²) est

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

La série de terme général ln(n)/n est

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.