MP : Quiz d’apprentissage

Si f est différentiable, le gradient de f est

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Si f est différentiable sur un compact...

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Sur un compact, une application continue est

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Dans C, le cercle trigonométrique est

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Un compact est un fermé borné

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

La fonction Gamma est

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

La fonction ln est intégrable sur

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Toute matrice de M(n,R) est

Si A est une matrice triangulaire, alors

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

Combien vaut l'indicatrice d'Euler de 57 ?

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Combien 4900 admet-il de diviseurs positifs ?

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

La série de terme général ln(1+1/n) est

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Pour que la série de terme général u_n converge...