MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

191

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f peut admettre un extremum en un point non critique

tout extremum local est global

f admet un extremum global

f admet un extremum local en tout point critique

2 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

f est continue

df=0

f est différentiable

df=f

3 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

4 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Vrai

Faux

5 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un minimum local en a

un maximum local en a

un point col en a

6 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il suffit qu'elle soit continue en a

il faut qu'elle soit continue en a

7 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

orthogonal aux lignes de niveau

colinéaire aux lignes de niveau

8 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Faux

Vrai

9 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

Faux

Vrai

df(I_n)(H) = nH

10 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Vrai

Faux

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

Votre score est

Le score moyen est 45%

LinkedIn Facebook VKontakte

Espaces vectoriels normés

356

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Un compact est un fermé borné

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

2 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai

Vrai dans un compact

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

3 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Vrai

Faux

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

4 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

inférieure ou égale à 2

supérieure ou égale à 2

égale à 2

pas nécessairement définie

5 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Vrai si K=C, Faux si K=R

Vrai

Faux

6 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Faux

vrai si K=C, faux si K=R

Vrai

7 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

fermé

ouvert

compact

connexe par arcs

8 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Faux

Vrai

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

9 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

10 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

Votre score est

Le score moyen est 54%

LinkedIn Facebook VKontakte

Intégration

239

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

2 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

3 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n) = n!

Gamma(n+1) = n!

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n)! = n+1

4 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^(x-1) e^(-t) dt

t^x e^(-t-1) dt

t^x e^(-t) dt

t^(x+1) e^(-t) dt

5 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Faux

Vrai

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

6 / 10

La fonction Gamma est

continue sur R*+

strictement convexe sur R*+

définie sur R*+

de limite infinie en l'infini

de classe C infini sur R*+

strictement croissante sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

7 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

8 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

semi-convergente

divergente

absolument convergente

convergente

9 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R+

sur aucun de ces intervalles

sur R

sur R-

10 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Vrai

Faux

1 n'est pas intégrable sur R+

Votre score est

Le score moyen est 54%

LinkedIn Facebook VKontakte

Probabilités

198

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

XY admet une espérance inconnue

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois géométriques

les lois uniformes

les lois de Poisson

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

2,5

3,5

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-9)/4

(X-3)/4

(X-9)/2

(X-3)/2

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

suit une loi de Poisson de paramètre 1

suit une loi de Poisson de paramètre 2

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

P(np)

G(p)

B(p)

B(n,p)

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)+E[X]²

E[X]²

V(X)

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Faux

Vrai

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{0, ..., n}

{1,..., n}

Votre score est

Le score moyen est 61%

LinkedIn Facebook VKontakte

Algèbre

124

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

P est irréductible dans R[X]

P est réductible dans R[X]

P admet des racines réelles

P n'admet pas de racines réelles

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Les polynômes de degré 2 à discriminant négatif

Les polynômes de degré 1

Les polynômes n'admettant pas de racines réelles

Les polynômes constants

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

6 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Faux

Vrai

L'intersection de I et de J est un idéal M de K[X]. Comme tous les idéaux de K[X] sont principaux, il existe un unique polynôme unitaire P qui engendre M, et donc qui divise tous les éléments communs à I et J.

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

4 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

E =0, a = 4, b = -5

E =0, a = 4, b = 5

E =0, a = -4, b = 5

E non nul 0, a = -4, b = 5

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Faux

Vrai

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

de degré 1

constante non nulle

de degré 2

nulle

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Faux

Vrai

(X²+1)² n'a pas de racines réelles mais est réductible dans R[X].

La fonction cos est polynomiale

Vrai

Faux

On ne peut pas savoir

Votre score est

Le score moyen est 45%

LinkedIn Facebook VKontakte

313

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Faux

Vrai

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Faux

Vrai

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

diagonale

inversible

nulle

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Vrai

Faux

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

son polynôme minimal est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

son polynôme minimal est scindé à racines simples

son polynôme caractéristique est scindé à racines simples

son polynôme caractéristique est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

On ne peut pas conclure

Vrai

Faux

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est diagonalisable

A est nilpotente

A est inversible

Toute matrice de M(n,R) est

diagonalisable dans M(n,C)

trigonalisable dans M(n,R)

diagonalisable dans M(n,R)

trigonalisable dans M(n,C)

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

vrai si K=R, faux si K=C

vrai si K=C, faux si K=R

faux si K=R ou C

vrai si K=R ou C

Votre score est

Le score moyen est 73%

LinkedIn Facebook VKontakte

186

Algèbre générale

1 / 10

Combien 4900 admet-il de diviseurs positifs ?

2 / 10

Si A et B sont des anneaux et que f est un morphisme d'anneaux de A vers B, alors...

ker(f) est un idéal de A

ker(f) est un sous-anneau de A

im(f) est un sous-anneau de B

im(f) est un idéal de B

3 / 10

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Z/6Z

Z/7Z

Z/3Z x Z/5Z

4 / 10

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

5 / 10

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

Faux

Vrai

Il n'est pas stable par produit.

6 / 10

(Z/4Z,+) contient

2 sous-groupes

4 sous-groupes

3 sous-groupes

1 sous-groupe

Il y a exactement trois sous-groupes:
{0}, Z/4Z et {0,2} (qui est isomorphe à Z/2Z)

7 / 10

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

inversion

Déterminant

Transposition

Trace

8 / 10

Le groupe U(Z/5Z) des inversibles de Z/5Z contient...

4 éléments

1 élément

5 éléments

aucun élément

Comme 5 est premier, Z/5Z est un corps et donc tous ses éléments non nuls sont inversibles. U(Z/5Z) contient donc 4 éléments, et est en fait isomorphe à (Z/4Z,+).

9 / 10

(Z/6Z,+,*) est...

un anneau intègre mais pas un corps

un anneau non intègre

un idéal

un corps

10 / 10

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Vrai

Faux

Si x est un générateur de G, alors le théorème de Lagrange assure que l'ordre de x divise l'ordre de G. Celui-ci étant p premier, l'ordre de x est 1 ou p. Et comme x n'est pas l'élément neutre, son ordre est p. Ainsi, G est engendré par x.

Votre score est

Le score moyen est 52%

LinkedIn Facebook VKontakte

Suites et séries

203

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

sum (n+1)a_n x^(n+1)

sum n*a_n*x^(n-1)

sum a_n*(x^n)/n

sum a_n*x^(n+1)/(n+1)

2 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

f est dérivable sur I

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

3 / 10

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

ça dépend des cas

R=R'

R est supérieur ou égal à R'

R est inférieur ou égal à R'

4 / 10

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

ne converge d'aucune façon sur R

converge uniformément sur R

converge simplement sur R

converge normalement sur R

Pour tout x réel, on a |sin(2*n*x)/n| <= 1/n. Il y a ainsi CU, et donc CS sur R.

5 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

diverger grossièrement

converger absolument

diverger

converger

6 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

son terme général converge uniformément

elle converge normalement

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

son terme général converge uniformément vers 0

7 / 10

La série de terme général cos(x)^n

ne converge pas sur ]0,pi[

converge simplement sur ]0,pi[

converge normalement sur ]0,pi[

converge simplement sur R

Sur ]0,\pi[, la borne sup de |cos(x)^n| est 1, donc il n'y a pas convergence normale. Néanmoins, |cos(x)|<1 donc il y a convergence simple (série géométrique).

Sur R, il n'y a pas convergence simple car le terme général ne tend pas simplement vers 0.

8 / 10

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

il faut et il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il faut que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge simplement vers 0

9 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...carrément !

...simplement vers une primitive de f

...pas forcément

...uniformément vers une primitive de f

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

10 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

se peut

suffit

faut et il suffit

faut

Votre score est

Le score moyen est 46%

LinkedIn Facebook VKontakte

414

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

diverge

converge, et sa somme vaut 1/e

converge, et sa somme vaut ln(2)

converge, et sa somme vaut e

2 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

absolument convergente

semi-convergente

divergente

grossièrement divergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

3 / 10

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Vrai

Faux

la décroissance n'est pas stable par équivalence

4 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Faux

on ne peut pas conclure

Vrai

Si les séries convergent absolument, elles convergent donc (u_n) tend vers 0. A partir d'un certain rang, on a donc |u_n|<1 et |u_nv_n| < |v_n|. On conclut par comparaison.

5 / 10

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Elle diverge grossièrement

on ne peut pas conclure

Elle converge vers 1

Elle converge vers u_0-1

6 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la convergence de V_n implique celle de U_n

la divergence de U_n implique celle de V_n

la convergence de U_n implique celle de V_n

la divergence de V_n implique celle de U_n

7 / 10

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Faux

Vrai, si on ajoute l'hypothèse de convergence absolue.

Vrai

C'est déjà faux pour les sommes finies. Ce n'est pas la série \sum u_n*v_n qu'il faut considérer mais le produit de Cauchy des séries. Et il faut dans ce cas ajouter une hypothèse de convergence absolue.

8 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

U_n = o(V_n)

R_n = o(T_n)

T_n = o(R_n)

V_n = o(U_n)

9 / 10

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

divergente

absolument convergente

semi-convergente

grossièrement divergente

La série converge d'après le critère des séries alternées, mais ne converge pas absolument d'après le critère de Riemann.

10 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il suffit que le terme général tende vers 0

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

il faut que le terme général tende vers 0

Votre score est

Le score moyen est 33%

LinkedIn Facebook VKontakte

Cookie	Durée	Description
cookielawinfo-checbox-analytics	11 months	This cookie is set by GDPR Cookie Consent plugin. The cookie is used to store the user consent for the cookies in the category "Analytics".
cookielawinfo-checbox-functional	11 months	The cookie is set by GDPR cookie consent to record the user consent for the cookies in the category "Functional".
cookielawinfo-checbox-others	11 months	This cookie is set by GDPR Cookie Consent plugin. The cookie is used to store the user consent for the cookies in the category "Other.
cookielawinfo-checkbox-necessary	11 months	This cookie is set by GDPR Cookie Consent plugin. The cookies is used to store the user consent for the cookies in the category "Necessary".
cookielawinfo-checkbox-performance	11 months	This cookie is set by GDPR Cookie Consent plugin. The cookie is used to store the user consent for the cookies in the category "Performance".
viewed_cookie_policy	11 months	The cookie is set by the GDPR Cookie Consent plugin and is used to store whether or not user has consented to the use of cookies. It does not store any personal data.