MP : Quiz d’apprentissage

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Si f est différentiable sur un compact...

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

Si f est différentiable, le gradient de f est

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

GL(n,R) est

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Sur un compact, une application continue est

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Dans R, [2,+infini[ est

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

La fonction ln est intégrable sur

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

(Z/6Z,+,*) est...

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

Z/6Z est isomorphe à...

Quels éléments sont inversibles dans l'anneau Z/165Z ?

Le groupe symétrique S_3 est isomorphe à un sous-groupe de S_n dès que n est supérieur ou égal à 3.

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

La série de terme général sin(2/n²) est

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

La série de terme général ln(n)/n est

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

Pour que la série de terme général u_n converge...