MP : Quiz d’apprentissage

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

Si f est différentiable, le gradient de f est

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

Dans R, [2,+infini[ est

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Sur un compact, une application continue est

Dans C, le cercle trigonométrique est

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

La fonction ln est intégrable sur

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

Si A est une matrice, P est une matrice inversible, Q = P^(-1) et D = QAP. Alors D^n =

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

(Z/6Z,+,*) est...

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

Soit p un nombre premier et G un groupe fini d'ordre p. Alors G est abélien

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

Si A et B sont des anneaux et que f est un morphisme d'anneaux de A vers B, alors...

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

La série de terme général cos(x)^n

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

La série de terme général sin(2/n²) est

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

La série de terme général ln(n)/n est

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.