MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il faut qu'elle soit continue en a

il suffit qu'elle soit continue en a

2 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Faux

Vrai

3 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f admet un extremum local en tout point critique

tout extremum local est global

f peut admettre un extremum en un point non critique

f admet un extremum global

4 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

continue en (0,0)

Rien de tout cela

différentiable en (0,0)

C^2 en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

5 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un point critique

un point col

un maximum local

un minimum local

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

6 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Vrai

Faux

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

7 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

df=0

f est continue

f est différentiable

df=f

8 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un maximum local en a

un point col en a

un minimum local en a

9 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

10 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Faux

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

Vrai

df(I_n)(H) = nH

Your score is

The average score is 44%

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Espaces vectoriels normés

227

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Vrai dans un compact

2 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

égale à 2

inférieure ou égale à 2

supérieure ou égale à 2

pas nécessairement définie

3 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Faux

Vrai

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

4 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Vrai

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

5 / 10

Un compact est un fermé borné

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Vrai

6 / 10

Sur un compact, une application continue est

lipschitizienne

uniformément continue

bornée

linéaire

7 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Faux

Vrai

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

8 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Vrai

Faux

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

9 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

fermé

ouvert

connexe par arcs

compact

10 / 10

GL(n,R) est

ouvert

connexe par arcs

compact

fermé

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

Your score is

The average score is 54%

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Intégration

149

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^(x-1) e^(-t) dt

t^(x+1) e^(-t) dt

t^x e^(-t) dt

t^x e^(-t-1) dt

2 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

3 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n) = n!

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n+1) = n!

Gamma(n)! = n+1

4 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R+

sur R

sur aucun de ces intervalles

sur R-

5 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Vrai

Faux

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

6 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

7 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

8 / 10

La fonction ln est intégrable sur

]0,1]

[1,+infini[

sur aucun de ces intervalles

9 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

divergente

convergente

semi-convergente

absolument convergente

10 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Vrai

Faux

1 n'est pas intégrable sur R+

Your score is

The average score is 54%

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Probabilités

118

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

XY admet une espérance inconnue

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

G(p)

B(n,p)

B(p)

P(np)

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi de Bernoulli

une loi binomiale

une loi géométrique

une loi de Poisson

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-9)/4

(X-3)/2

(X-3)/4

(X-9)/2

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{0, ..., n}

{1,..., n}

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois géométriques

les lois uniformes

les lois de Poisson

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)+E[X]²

V(X)

E[X]²

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

suit une loi de Poisson de paramètre 1

suit une loi de Poisson de paramètre 2

Your score is

The average score is 65%

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Algèbre

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Vrai

Faux

L'intersection de I et de J est un idéal M de K[X]. Comme tous les idéaux de K[X] sont principaux, il existe un unique polynôme unitaire P qui engendre M, et donc qui divise tous les éléments communs à I et J.

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Vrai

Faux

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

de degré 2

de degré 1

nulle

constante non nulle

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Vrai

Faux

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

M(n,K)

K_n[X]

L(E,F)

K[X]

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

6 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Faux

Vrai

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Vrai

Faux

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

on ne peut pas conclure

P n'est pas scindé

P est scindé à racines simples

P est scindé mais pas à racines simples

La fonction cos est polynomiale

On ne peut pas savoir

Faux

Vrai

Your score is

The average score is 46%

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201

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

Vrai

Faux

f étant trigonalisable, son polynôme caractéristique est scindé. Le polynôme caractéristique de la restriction divisant celui de f, il est aussi scindé, et donc cette restriction est trigonalisable.

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Vrai

On ne peut pas savoir

Toute matrice de M(n,R) est

diagonalisable dans M(n,R)

trigonalisable dans M(n,R)

diagonalisable dans M(n,C)

trigonalisable dans M(n,C)

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

son polynôme caractéristique est scindé à racines simples

son polynôme caractéristique est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

son polynôme minimal est scindé à racines simples

son polynôme minimal est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Vrai

Faux

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

nA+I

A^n + I

A+I

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

-1 est valeur propre

A n'est pas inversible

1 est valeur propre

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

nulle

diagonale

inversible

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Faux

Vrai

Le polynôme caractéristique doit être scindé, mais pas nécessairement à racines simples. C'est néanmoins une condition suffisante de diagonalisabilité.

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est inversible

A est nilpotente

A est diagonalisable

Your score is

The average score is 74%

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143

Algèbre générale

1 / 10

Soit p un nombre premier et G un groupe fini d'ordre p. Alors G est abélien

Vrai

Faux

Un groupe d'ordre p premier est nécessairement cyclique ; il est en particulier abélien.

2 / 10

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

3 / 10

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

au moins d

au plus d

on ne peut pas savoir

4 / 10

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

n! éléments

n(n-1)/2 éléments

n(n+1)/2 éléments

n éléments

5 / 10

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

6 / 10

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

Faux

Vrai

Il n'est pas stable par produit.

7 / 10

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

au moins d

on ne peut pas savoir

au plus d

8 / 10

(Z/6Z,+,*) est...

un corps

un anneau intègre mais pas un corps

un idéal

un anneau non intègre

9 / 10

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

10 / 10

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Faux

Vrai

Si x est un générateur de G, alors le théorème de Lagrange assure que l'ordre de x divise l'ordre de G. Celui-ci étant p premier, l'ordre de x est 1 ou p. Et comme x n'est pas l'élément neutre, son ordre est p. Ainsi, G est engendré par x.

Your score is

The average score is 54%

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Suites et séries

152

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

on ne peut pas savoir

+ l'infini

2 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

elle converge normalement sur tout segment de ]-R,R[

elle converge normalement sur ]-R,R[

elle converge normalement sur [-R,R]

elle converge uniformément sur ]-R,R[

3 / 10

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

R est strictement plus petit que 1

R est strictement plus grand que 1

R = 1

R = 0

4 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

faut

se peut

faut et il suffit

suffit

5 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

f présente au plus un nombre fini de points de discontinuité

f est dérivable sur I

on ne peut pas conclure

f est continue sur I

6 / 10

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

R_1 est strictement plus grand que R_2

on ne peut pas conclure

R_1 = R_2

R_1 est strictement plus petit que R_2

7 / 10

La série de terme général cos(x)^n

converge simplement sur R

ne converge pas sur ]0,pi[

converge normalement sur ]0,pi[

converge simplement sur ]0,pi[

Sur ]0,\pi[, la borne sup de |cos(x)^n| est 1, donc il n'y a pas convergence normale. Néanmoins, |cos(x)|<1 donc il y a convergence simple (série géométrique).

Sur R, il n'y a pas convergence simple car le terme général ne tend pas simplement vers 0.

8 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

f est dérivable sur I

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

9 / 10

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

ça dépend des cas

R est inférieur ou égal à R'

R=R'

R est supérieur ou égal à R'

10 / 10

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

converge simplement sur R

converge uniformément sur R

converge normalement sur R

ne converge d'aucune façon sur R

Pour tout x réel, on a |sin(2*n*x)/n| <= 1/n. Il y a ainsi CU, et donc CS sur R.

Your score is

The average score is 43%

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289

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Vrai

Faux

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

2 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

il faut que le terme général tende vers 0

il suffit que le terme général tende vers 0

3 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Faux

Vrai

Le terme général est équivalent à 1/n^2. On conclut par comparaison.

4 / 10

La série de terme général ln(1+1/n) est

divergente

grossièrement divergente

absolument convergente

semi-convergente

Son terme général est positif et équivalent à 1/n. On conclut par comparaison.

5 / 10

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

semi-convergente

grossièrement divergente

absolument convergente

divergente

La série converge d'après le critère des séries alternées, mais ne converge pas absolument d'après le critère de Riemann.

6 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

R_n = o(T_n)

U_n = o(V_n)

V_n = o(U_n)

T_n = o(R_n)

7 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Vrai

on ne peut pas conclure

Faux

Si les séries convergent absolument, elles convergent donc (u_n) tend vers 0. A partir d'un certain rang, on a donc |u_n|<1 et |u_nv_n| < |v_n|. On conclut par comparaison.

8 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

la série de terme général u_n converge

la série de terme général u_n diverge

on ne peut pas conclure

Appliquer le critère de d'Alembert

9 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut ln(2)

diverge

converge, et sa somme vaut e

converge, et sa somme vaut 1/e

10 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut (1-x^(n+1))/(1-x)

converge, et sa somme vaut 1/(1-x)

converge, et sa somme vaut (1-x^n)/(1-x)

diverge

Your score is

The average score is 34%

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