MP : Quiz d’apprentissage

Si f est différentiable, le gradient de f est

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

Si f est différentiable sur un compact...

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Dans C, le cercle trigonométrique est

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Sur un compact, une application continue est

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Un compact est un fermé borné

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Toute matrice de M(n,R) est

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

Dans un anneau commutatif, tout idéal est un sous-anneau.

Quels éléments sont inversibles dans l'anneau Z/165Z ?

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

L'indicatrice d'Euler de 1400 vaut

Z/6Z est isomorphe à...

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Pour que la série de terme général u_n converge...

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

La série de terme général sin(2/n²) est

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

La série de terme général ln(1+1/n) est

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.