MP : Quiz d’apprentissage

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Si f est différentiable, le gradient de f est

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

GL(n,R) est

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Un compact est un fermé borné

Sur un compact, une application continue est

Dans R, [2,+infini[ est

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

La fonction ln est intégrable sur

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

La fonction cos est polynomiale

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Si A est une matrice triangulaire, alors

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Toute matrice de M(n,R) est

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

L'indicatrice d'Euler de 1400 vaut

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

Soit p un nombre premier et G un groupe fini d'ordre p. Alors G est abélien

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

Dans un anneau commutatif, tout idéal est un sous-anneau.

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Combien 4900 admet-il de diviseurs positifs ?

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

La série de terme général cos(x)^n

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

La série de terme général ln(n)/n est

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est