MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

140

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un point col en a

un maximum local en a

un minimum local en a

2 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Faux

Vrai

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

3 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f peut admettre un extremum en un point non critique

f admet un extremum local en tout point critique

f admet un extremum global

tout extremum local est global

4 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Faux

Vrai

5 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un point col

un point critique

un minimum local

un maximum local

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

6 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

colinéaire aux lignes de niveau

orthogonal aux lignes de niveau

7 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Vrai

Faux

8 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il faut qu'elle soit continue en a

il suffit qu'elle soit continue en a

9 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Rien de tout cela

C^2 en (0,0)

différentiable en (0,0)

continue en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

10 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Vrai

df(I_n)(H) = nH

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

Faux

Votre score est

Le score moyen est 46%

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Espaces vectoriels normés

310

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Vrai

vrai si K=C, faux si K=R

Faux

2 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Faux

Vrai

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

3 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

connexe par arcs

fermé

ouvert

compact

4 / 10

Sur un compact, une application continue est

uniformément continue

bornée

lipschitizienne

linéaire

5 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Vrai

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

6 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Faux

Vrai

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

7 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Faux

Vrai

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

8 / 10

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

A est ouverte

A est fermée

A n'est pas ouverte

A n'est pas fermée

9 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai dans un compact

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

10 / 10

Un compact est un fermé borné

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

203

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Vrai

Faux

1 n'est pas intégrable sur R+

2 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

3 / 10

La fonction Gamma est

de classe C infini sur R*+

strictement convexe sur R*+

de limite infinie en l'infini

définie sur R*+

continue sur R*+

strictement croissante sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

4 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

5 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

6 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Faux

Vrai

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

7 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

semi-convergente

divergente

convergente

absolument convergente

8 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R

sur R-

sur aucun de ces intervalles

sur R+

9 / 10

La fonction ln est intégrable sur

[1,+infini[

sur aucun de ces intervalles

]0,1]

10 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

150

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi binomiale

une loi de Bernoulli

une loi de Poisson

une loi géométrique

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

suit une loi de Poisson de paramètre 2

suit une loi de Poisson de paramètre 1

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-3)/4

(X-9)/4

(X-3)/2

(X-9)/2

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

2 fois

3 fois

4 fois

1 fois

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)+E[X]²

E[X]²

V(X)

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

XY admet une espérance inconnue

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

2,5

3,5

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

103

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Faux

Vrai

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

égal à X²-2*Re(z)+|z|²

divisible par X²-2*Re(z)+|z|² dans R[X]

égal à X-z dans R[X]

divisible par X-z dans R[X]

Soit D = PGCD(A,B). Comme A,B sont dans R[X], D aussi et donc D(z) = D(\bar z) = 0. Ainsi, (X-z)(X-\bar z) divise D, mais rien ne permet d'affirmer l'égalité.

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

Q[X]

C[X]

R[X]

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Faux

Vrai

La fonction cos est polynomiale

Faux

Vrai

On ne peut pas savoir

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

-4X+2

4X-2

4X+2

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

P n'est pas scindé

P est scindé à racines simples

on ne peut pas conclure

P est scindé mais pas à racines simples

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Vrai

Faux

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Faux

Vrai

Votre score est

Le score moyen est 45%

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266

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Vrai

Faux

f étant diagonalisable, il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Ce polynôme annule également la restriction, qui est donc diagonalisable.

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

A est trigonalisable dans M(n,C)

A est diagonalisable dans M(n,C)

A est diagonalisable dans M(n,R)

A est trigonalisable dans M(n,R)

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Faux

Vrai

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Vrai

Faux

On ne peut pas conclure

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

vrai si K=C, faux si K=R

vrai si K=R, faux si K=C

vrai si K=R ou C

faux si K=R ou C

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A n'est pas diagonalisable

A est diagonalisable

A est inversible

A n'est pas inversible

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Faux

Vrai

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

On ne peut pas savoir

Vrai

Si A est une matrice triangulaire, alors

A est diagonalisable

A est inversible

ses valeurs propres sont sur la diagonale

Votre score est

Le score moyen est 73%

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168

Algèbre générale

1 / 10

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

Z/5Z

Z/8Z

Z/6Z

Z/12Z

2 / 10

Le groupe symétrique S_3 est isomorphe à un sous-groupe de S_n dès que n est supérieur ou égal à 3.

Faux

Vrai

S_3 s'identifie naturellement au sous-groupe de S_n formé des permutations qui laissent fixes les éléments 4,...,n.

3 / 10

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

Z/2Z x Z/30Z

Z/12Z x Z/5Z

Z/3Z x Z/20Z

Z/10Z x Z/6Z

4 / 10

Z/6Z est isomorphe à...

(Z/5Z)

(Z/2Z)*(Z/3Z)

Z*6Z

(Z/2Z)*(Z/4Z)

C'est une conséquence du théorème des restes chinois

5 / 10

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Z/6Z

Z/3Z x Z/5Z

Z/7Z

6 / 10

(Z/6Z,+,*) est...

un corps

un idéal

un anneau non intègre

un anneau intègre mais pas un corps

7 / 10

Si A et B sont des anneaux et que f est un morphisme d'anneaux de A vers B, alors...

im(f) est un sous-anneau de B

ker(f) est un sous-anneau de A

ker(f) est un idéal de A

im(f) est un idéal de B

8 / 10

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

9 / 10

Dans un anneau commutatif, tout idéal est un sous-anneau.

Vrai

Faux

Un sous-anneau contient l'unité. Et le seul idéal qui contient l'unité est l'anneau lui-même.

10 / 10

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

Il faut observer que 7 est d'ordre 4 dans Z/10Z donc 7**(2023) = 7**3 (mod 10) mais 7**2 = -1 (mod 10) donc 7**3 = -7 (mod 10) = 3 (mod 10).

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

183

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

f est dérivable sur I

2 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

elle converge normalement sur tout segment de ]-R,R[

elle converge normalement sur ]-R,R[

elle converge uniformément sur ]-R,R[

elle converge normalement sur [-R,R]

3 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

se peut

faut

suffit

faut et il suffit

4 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

son terme général converge uniformément vers 0

elle converge normalement

son terme général converge uniformément

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

5 / 10

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Faux

Vrai

Il faut que I soit un segment pour pouvoir l'affirmer (théorème de Weierstrass).

6 / 10

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

converge uniformément sur R

converge simplement sur R

converge normalement sur R

ne converge d'aucune façon sur R

Pour tout x réel, on a |sin(2*n*x)/n| <= 1/n. Il y a ainsi CU, et donc CS sur R.

7 / 10

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

R_a est strictement supérieur à R_b

R_a est strictement inférieur à R_b

R_a est supérieur ou égal à R_b

R_a est inférrieur ou égal à R_b

8 / 10

La série de terme général cos(x)^n

ne converge pas sur ]0,pi[

converge simplement sur ]0,pi[

converge simplement sur R

converge normalement sur ]0,pi[

Sur ]0,\pi[, la borne sup de |cos(x)^n| est 1, donc il n'y a pas convergence normale. Néanmoins, |cos(x)|<1 donc il y a convergence simple (série géométrique).

Sur R, il n'y a pas convergence simple car le terme général ne tend pas simplement vers 0.

9 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

on ne peut pas conclure

f présente au plus un nombre fini de points de discontinuité

f est continue sur I

f est dérivable sur I

10 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...carrément !

...simplement vers une primitive de f

...pas forcément

...uniformément vers une primitive de f

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

Votre score est

Le score moyen est 46%

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367

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

on ne peut pas conclure

la série de terme général u_n converge

la série de terme général u_n diverge

Appliquer le critère de d'Alembert

2 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

absolument convergente

divergente

semi-convergente

grossièrement divergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

3 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la convergence de V_n implique celle de U_n

la divergence de V_n implique celle de U_n

la divergence de U_n implique celle de V_n

la convergence de U_n implique celle de V_n

4 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

les suites des restes partielles sont équivalentes

les sommes des séries correspondantes sont égales

les séries sum u_n et sum v_n sont de même nature

les suites des sommes partielles sont équivalentes

5 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Vrai

Faux

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

6 / 10

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Vrai, si on ajoute l'hypothèse de convergence absolue.

Vrai

Faux

C'est déjà faux pour les sommes finies. Ce n'est pas la série \sum u_n*v_n qu'il faut considérer mais le produit de Cauchy des séries. Et il faut dans ce cas ajouter une hypothèse de convergence absolue.

7 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

on ne peut pas conclure

Vrai

Faux

Si les séries convergent absolument, elles convergent donc (u_n) tend vers 0. A partir d'un certain rang, on a donc |u_n|<1 et |u_nv_n| < |v_n|. On conclut par comparaison.

8 / 10

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Elle converge vers u_0-1

on ne peut pas conclure

Elle converge vers 1

Elle diverge grossièrement

9 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

il suffit que le terme général tende vers 0

10 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

diverge

converge, et sa somme vaut e

converge, et sa somme vaut ln(2)

converge, et sa somme vaut 1/e

Votre score est

Le score moyen est 34%

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