MP : Quiz d’apprentissage

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

Si f est différentiable, le gradient de f est

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

Sur un compact, une application continue est

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Dans R, [2,+infini[ est

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Dans C, le cercle trigonométrique est

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

La fonction Gamma est

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

La fonction ln est intégrable sur

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

La fonction cos est polynomiale

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

Si A est une matrice, P est une matrice inversible, Q = P^(-1) et D = QAP. Alors D^n =

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Soit p un nombre premier et G un groupe fini d'ordre p. Alors G est abélien

(Z/4Z,+) contient

Le groupe U(Z/5Z) des inversibles de Z/5Z contient...

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

Le PGCD de 3080 et 364 est

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

Pour que la série de terme général u_n converge...

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

La série de terme général ln(n)/n est

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?