MP : Quiz d’apprentissage

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Si f est différentiable sur un compact...

Si f est différentiable, le gradient de f est

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Dans R, [2,+infini[ est

Dans C, le cercle trigonométrique est

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

GL(n,R) est

Un compact est un fermé borné

Sur un compact, une application continue est

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

Si A est une matrice, P est une matrice inversible, Q = P^(-1) et D = QAP. Alors D^n =

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

L'ensemble des matrices de déterminant nul est un groupe pour le produit matriciel.

(Z/4Z,+) contient

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

(Z/6Z,+,*) est...

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

Z/6Z est isomorphe à...

Le PGCD de 3080 et 364 est

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

Pour que la série de terme général u_n converge...

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

La série de terme général ln(n)/n est

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...