MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

184

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il suffit qu'elle soit continue en a

il faut qu'elle soit continue en a

2 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

colinéaire aux lignes de niveau

orthogonal aux lignes de niveau

3 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

df=f

f est différentiable

f est continue

df=0

4 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

5 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un minimum local en a

un maximum local en a

un point col en a

6 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

df(I_n)(H) = nH

Vrai

Faux

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

7 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

continue en (0,0)

Rien de tout cela

différentiable en (0,0)

C^2 en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

8 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Vrai

Faux

9 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Vrai

Faux

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

10 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

tout extremum local est global

f admet un extremum local en tout point critique

f peut admettre un extremum en un point non critique

f admet un extremum global

Votre score est

Le score moyen est 46%

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Espaces vectoriels normés

352

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

supérieure ou égale à 2

égale à 2

inférieure ou égale à 2

pas nécessairement définie

2 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Faux

Vrai

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

3 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Vrai

vrai si K=C, faux si K=R

Faux

4 / 10

GL(n,R) est

ouvert

compact

connexe par arcs

fermé

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

5 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Faux

Vrai

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

6 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

connexe par arcs

ouvert

fermé

compact

7 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Vrai

Faux

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

8 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Faux

Vrai

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

9 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

10 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Faux

Vrai dans un compact

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

236

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R-

sur R+

sur aucun de ces intervalles

sur R

2 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^(x-1) e^(-t) dt

t^(x+1) e^(-t) dt

t^x e^(-t) dt

t^x e^(-t-1) dt

3 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

4 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

5 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n)! = n+1

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n+1) = n!

Gamma(n) = n!

6 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

7 / 10

La fonction ln est intégrable sur

[1,+infini[

]0,1]

sur aucun de ces intervalles

8 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

semi-convergente

divergente

absolument convergente

convergente

9 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

sur aucun de ces intervalles

R+

[1,+infini[

]0,1]

10 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

197

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)

V(X)+E[X]²

E[X]²

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{0, ..., n}

{1,..., n}

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-3)/2

(X-3)/4

(X-9)/2

(X-9)/4

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

suit une loi de Poisson de paramètre 2

suit une loi de Poisson de paramètre 1

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

X admet une espérance et une variance finies

X admet une espérance finie mais une variance infinie

X n'admet ni espérance ni variance finie

X admet une variance finie mais une espérance infinie

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

B(n,p)

P(np)

G(p)

B(p)

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois géométriques

les lois uniformes

les lois de Poisson

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Votre score est

Le score moyen est 61%

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Algèbre

123

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Vrai

Faux

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

M(n,K)

K[X]

K_n[X]

L(E,F)

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

Vrai

Faux

X²-2 est irréductible dans Q[X] mais se factorise dans R[X]

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

Q[X]

C[X]

R[X]

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Faux

Vrai

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Faux

Vrai

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

E =0, a = -4, b = 5

E non nul 0, a = -4, b = 5

E =0, a = 4, b = -5

E =0, a = 4, b = 5

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Vrai

Faux

(X²+1)² n'a pas de racines réelles mais est réductible dans R[X].

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

on a une contradiction

a=b=c=0

on ne peut pas déterminer a, b et c

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

6 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

Votre score est

Le score moyen est 45%

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307

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si A est une matrice, P est une matrice inversible, Q = P^(-1) et D = QAP. Alors D^n =

Q A^n P

Q^n A^n P^n

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Faux

Vrai

Si le polynôme minimal est scindé sur C mais pas sur R, la matrice est diagonalisable dans M(n,C) mais pas dans M(n,R). C'est par exemple le cas pour une matrice de rotation.

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Faux

Vrai

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Vrai

Faux

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

On ne peut pas savoir

Vrai

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

vrai si K=R, faux si K=C

faux si K=R ou C

vrai si K=C, faux si K=R

vrai si K=R ou C

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

-1 est valeur propre

A n'est pas inversible

1 est valeur propre

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

son polynôme caractéristique est scindé à racines simples

son polynôme caractéristique est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

son polynôme minimal est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

son polynôme minimal est scindé à racines simples

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

A^n + I

A+I

nA+I

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

A est diagonalisable dans M(n,R)

A est trigonalisable dans M(n,R)

A est trigonalisable dans M(n,C)

A est diagonalisable dans M(n,C)

Votre score est

Le score moyen est 73%

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186

Algèbre générale

1 / 10

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

on ne peut pas savoir

au moins d

au plus d

2 / 10

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

3 / 10

Combien vaut l'indicatrice d'Euler de 57 ?

4 / 10

Soit p un nombre premier et G un groupe fini d'ordre p. Alors G est abélien

Vrai

Faux

Un groupe d'ordre p premier est nécessairement cyclique ; il est en particulier abélien.

5 / 10

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

Z/3Z x Z/20Z

Z/10Z x Z/6Z

Z/12Z x Z/5Z

Z/2Z x Z/30Z

6 / 10

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Z/7Z

Z/3Z x Z/5Z

Z/6Z

7 / 10

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Vrai

Faux

Si x est un générateur de G, alors le théorème de Lagrange assure que l'ordre de x divise l'ordre de G. Celui-ci étant p premier, l'ordre de x est 1 ou p. Et comme x n'est pas l'élément neutre, son ordre est p. Ainsi, G est engendré par x.

8 / 10

Si A et B sont des anneaux et que f est un morphisme d'anneaux de A vers B, alors...

ker(f) est un sous-anneau de A

ker(f) est un idéal de A

im(f) est un sous-anneau de B

im(f) est un idéal de B

9 / 10

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

Faux

Vrai

Z/9Z est cyclique donc contient un élément d'ordre 9 alors que tous les éléments de (Z/3Z)^2 sont d'ordre 1 ou 3.

10 / 10

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

Il faut observer que 7 est d'ordre 4 dans Z/10Z donc 7**(2023) = 7**3 (mod 10) mais 7**2 = -1 (mod 10) donc 7**3 = -7 (mod 10) = 3 (mod 10).

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

202

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

converge simplement sur R

converge uniformément sur R

converge normalement sur R

ne converge d'aucune façon sur R

Pour tout x réel, on a |sin(2*n*x)/n| <= 1/n. Il y a ainsi CU, et donc CS sur R.

2 / 10

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

f peut présenter une infinité de points de discontinuité

f est continue sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points

f est continue sur I

La continuité est une propriété locale, et chaque point de I admet un voisinage compact, donc la CU sur tout segment suffit à assurer la continuité en tout point de I.

3 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

diverger grossièrement

diverger

converger absolument

converger

4 / 10

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

R est strictement plus petit que 1

R est strictement plus grand que 1

R = 1

R = 0

5 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

son terme général converge uniformément vers 0

son terme général converge uniformément

elle converge normalement

6 / 10

La série de terme général cos(x)^n

converge simplement sur ]0,pi[

ne converge pas sur ]0,pi[

converge simplement sur R

converge normalement sur ]0,pi[

Sur ]0,\pi[, la borne sup de |cos(x)^n| est 1, donc il n'y a pas convergence normale. Néanmoins, |cos(x)|<1 donc il y a convergence simple (série géométrique).

Sur R, il n'y a pas convergence simple car le terme général ne tend pas simplement vers 0.

7 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

on ne peut pas savoir

+ l'infini

8 / 10

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

R_1 est strictement plus grand que R_2

R_1 est strictement plus petit que R_2

R_1 = R_2

on ne peut pas conclure

9 / 10

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Vrai

Faux

Il faut que I soit un segment pour pouvoir l'affirmer (théorème de Weierstrass).

10 / 10

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

R_a est strictement inférieur à R_b

R_a est strictement supérieur à R_b

R_a est inférrieur ou égal à R_b

R_a est supérieur ou égal à R_b

Votre score est

Le score moyen est 46%

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414

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

La série de terme général ln(1+1/n) est

semi-convergente

divergente

grossièrement divergente

absolument convergente

Son terme général est positif et équivalent à 1/n. On conclut par comparaison.

2 / 10

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Vrai

Faux

la décroissance n'est pas stable par équivalence

3 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

grossièrement divergente

divergente

convergente

semi-convergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

4 / 10

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Vrai

Faux

Vrai, si on ajoute l'hypothèse de convergence absolue.

C'est déjà faux pour les sommes finies. Ce n'est pas la série \sum u_n*v_n qu'il faut considérer mais le produit de Cauchy des séries. Et il faut dans ce cas ajouter une hypothèse de convergence absolue.

5 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut ln(2)

converge, et sa somme vaut 1/e

diverge

converge, et sa somme vaut e

6 / 10

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

absolument convergente

divergente

grossièrement divergente

semi-convergente

La série converge d'après le critère des séries alternées, mais ne converge pas absolument d'après le critère de Riemann.

7 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

la série de terme général u_n diverge

on ne peut pas conclure

la série de terme général u_n converge

Appliquer le critère de d'Alembert

8 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

divergente

semi-convergente

grossièrement divergente

absolument convergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

9 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Vrai

Faux

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

10 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

R_n = o(T_n)

V_n = o(U_n)

U_n = o(V_n)

T_n = o(R_n)

Votre score est

Le score moyen est 33%

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