MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

144

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un maximum local en a

un point col en a

un minimum local en a

2 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

df(I_n)(H) = nH

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

Faux

Vrai

3 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

orthogonal aux lignes de niveau

colinéaire aux lignes de niveau

4 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

5 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f admet un extremum global

f peut admettre un extremum en un point non critique

tout extremum local est global

f admet un extremum local en tout point critique

6 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Faux

Vrai

7 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il suffit qu'elle soit continue en a

il faut qu'elle soit continue en a

8 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un maximum local

un point critique

un point col

un minimum local

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

9 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

continue en (0,0)

C^2 en (0,0)

différentiable en (0,0)

Rien de tout cela

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

10 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 45%

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Espaces vectoriels normés

324

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Vrai

Faux

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

2 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai dans un compact

Faux

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

3 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Vrai

Faux

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

4 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Vrai

Faux

vrai si K=C, faux si K=R

5 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

compact

fermé

connexe par arcs

ouvert

6 / 10

Sur un compact, une application continue est

linéaire

uniformément continue

lipschitizienne

bornée

7 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

compact

connexe par arcs

fermé

ouvert

8 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Faux

Vrai

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

9 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

pas nécessairement définie

inférieure ou égale à 2

égale à 2

supérieure ou égale à 2

10 / 10

GL(n,R) est

fermé

ouvert

compact

connexe par arcs

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

210

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

absolument convergente

semi-convergente

convergente

divergente

2 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

3 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Vrai

Faux

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

4 / 10

La fonction Gamma est

strictement convexe sur R*+

définie sur R*+

de classe C infini sur R*+

de limite infinie en l'infini

strictement croissante sur R*+

continue sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

5 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R

sur R-

sur R+

sur aucun de ces intervalles

6 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^x e^(-t) dt

t^x e^(-t-1) dt

t^(x-1) e^(-t) dt

t^(x+1) e^(-t) dt

7 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

8 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

9 / 10

La fonction ln est intégrable sur

[1,+infini[

]0,1]

sur aucun de ces intervalles

10 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

]0,1]

sur aucun de ces intervalles

[1,+infini[

R+

Votre score est

Le score moyen est 56%

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Probabilités

162

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

X admet une espérance finie mais une variance infinie

X n'admet ni espérance ni variance finie

X admet une variance finie mais une espérance infinie

X admet une espérance et une variance finies

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{0, ..., n}

{1,..., n}

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

suit une loi de Poisson de paramètre 2

suit une loi de Poisson de paramètre 1

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois géométriques

les lois de Poisson

les lois uniformes

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

3 fois

4 fois

2 fois

1 fois

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

2,5

3,5

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

XY admet une espérance inconnue

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Faux

Vrai

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

une loi géométrique

une loi de Bernoulli

une loi de Poisson

une loi binomiale

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

106

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Faux

Vrai

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

P n'est pas scindé

P est scindé mais pas à racines simples

on ne peut pas conclure

P est scindé à racines simples

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

a=b=c=0

on ne peut pas déterminer a, b et c

on a une contradiction

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

égal à X²-2*Re(z)+|z|²

divisible par X-z dans R[X]

divisible par X²-2*Re(z)+|z|² dans R[X]

égal à X-z dans R[X]

Soit D = PGCD(A,B). Comme A,B sont dans R[X], D aussi et donc D(z) = D(\bar z) = 0. Ainsi, (X-z)(X-\bar z) divise D, mais rien ne permet d'affirmer l'égalité.

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Faux

Vrai

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Les polynômes de degré 1

Les polynômes constants

Les polynômes n'admettant pas de racines réelles

Les polynômes de degré 2 à discriminant négatif

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Vrai

Faux

La fonction cos est polynomiale

Faux

On ne peut pas savoir

Vrai

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

P n'admet pas de racines réelles

P est réductible dans R[X]

P admet des racines réelles

P est irréductible dans R[X]

Votre score est

Le score moyen est 46%

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274

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Vrai

Faux

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Vrai

Faux

f étant diagonalisable, il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Ce polynôme annule également la restriction, qui est donc diagonalisable.

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Vrai

Faux

Si le polynôme minimal est scindé sur C mais pas sur R, la matrice est diagonalisable dans M(n,C) mais pas dans M(n,R). C'est par exemple le cas pour une matrice de rotation.

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A n'est pas inversible

A est inversible

A est diagonalisable

A n'est pas diagonalisable

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est diagonalisable

A est inversible

A est nilpotente

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

2 est valeur propre de A

X est valeur propre de A

A est diagonalisable

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

A est diagonalisable dans M(n,R)

A est trigonalisable dans M(n,C)

A est trigonalisable dans M(n,R)

A est diagonalisable dans M(n,C)

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

son polynôme caractéristique est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

son polynôme caractéristique est scindé à racines simples

son polynôme minimal est scindé à racines simples

son polynôme minimal est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

-1 est valeur propre

A n'est pas inversible

1 est valeur propre

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 73%

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171

Algèbre générale

1 / 10

Combien 4900 admet-il de diviseurs positifs ?

2 / 10

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

au moins d

au plus d

on ne peut pas savoir

3 / 10

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Faux

Vrai

PGCD(33,121) = 11 donc 33 n'est pas inversible dans Z/121Z.

4 / 10

L'indicatrice d'Euler de 1400 vaut

240

1399

480

5 / 10

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

6 / 10

Dans un anneau commutatif, tout idéal est un sous-anneau.

Vrai

Faux

Un sous-anneau contient l'unité. Et le seul idéal qui contient l'unité est l'anneau lui-même.

7 / 10

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

5 éléments inversibles

trois éléments inversibles

deux éléments inversibles

un élément inversible

8 / 10

Si A et B sont des anneaux et que f est un morphisme d'anneaux de A vers B, alors...

ker(f) est un idéal de A

im(f) est un idéal de B

im(f) est un sous-anneau de B

ker(f) est un sous-anneau de A

9 / 10

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Z/7Z

Z/6Z

Z/3Z x Z/5Z

10 / 10

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Faux

Vrai

Si x est un générateur de G, alors le théorème de Lagrange assure que l'ordre de x divise l'ordre de G. Celui-ci étant p premier, l'ordre de x est 1 ou p. Et comme x n'est pas l'élément neutre, son ordre est p. Ainsi, G est engendré par x.

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

190

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

R est strictement plus grand que 1

R = 0

R est strictement plus petit que 1

R = 1

2 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

f peut n'être ni continue, ni dérivable sur I

f est continue, mais pas nécessairement dérivable sur I

f est dérivable sur I

3 / 10

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

elle converge uniformément sur I

on ne peut rien dire

elle converge simplement sur I

4 / 10

La série de terme général cos(x)^n

converge simplement sur R

converge simplement sur ]0,pi[

converge normalement sur ]0,pi[

ne converge pas sur ]0,pi[

Sur ]0,\pi[, la borne sup de |cos(x)^n| est 1, donc il n'y a pas convergence normale. Néanmoins, |cos(x)|<1 donc il y a convergence simple (série géométrique).

Sur R, il n'y a pas convergence simple car le terme général ne tend pas simplement vers 0.

5 / 10

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Vrai

Faux

Il faut que I soit un segment pour pouvoir l'affirmer (théorème de Weierstrass).

6 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

elle converge uniformément sur ]-R,R[

elle converge normalement sur ]-R,R[

elle converge normalement sur tout segment de ]-R,R[

elle converge normalement sur [-R,R]

7 / 10

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

R_1 est strictement plus grand que R_2

R_1 est strictement plus petit que R_2

on ne peut pas conclure

R_1 = R_2

8 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

diverge grossièrement si |z| est strictement supérieur à R

converge si |z|=R

converge absolument si |z| est strictement inférieur à R

diverge si |z|=R

9 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

+ l'infini

on ne peut pas savoir

10 / 10

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

sum a_n*x^(n+1)/(n+1)

sum (n+1)a_n x^(n+1)

sum a_n*(x^n)/n

sum n*a_n*x^(n-1)

Votre score est

Le score moyen est 46%

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376

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Faux

Vrai

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

2 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

grossièrement divergente

semi-convergente

absolument convergente

divergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

3 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

la série de terme général u_n diverge

on ne peut pas conclure

la série de terme général u_n converge

Appliquer le critère de d'Alembert

4 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut 1/e

diverge

converge, et sa somme vaut e

converge, et sa somme vaut ln(2)

5 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut (1-x^(n+1))/(1-x)

diverge

converge, et sa somme vaut 1/(1-x)

converge, et sa somme vaut (1-x^n)/(1-x)

6 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Vrai

on ne peut pas conclure

Faux

Si les séries convergent absolument, elles convergent donc (u_n) tend vers 0. A partir d'un certain rang, on a donc |u_n|<1 et |u_nv_n| < |v_n|. On conclut par comparaison.

7 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

il suffit que le terme général tende vers 0

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0

8 / 10

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Vrai

Faux

la décroissance n'est pas stable par équivalence

9 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

les suites des sommes partielles sont équivalentes

les suites des restes partielles sont équivalentes

les sommes des séries correspondantes sont égales

les séries sum u_n et sum v_n sont de même nature

10 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

T_n = o(R_n)

R_n = o(T_n)

U_n = o(V_n)

V_n = o(U_n)

Votre score est

Le score moyen est 34%

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