MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

143

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Faux

df(I_n)(H) = nH

Vrai

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

2 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

df=0

df=f

f est différentiable

f est continue

3 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

4 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Vrai

Faux

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

5 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un point col

un maximum local

un minimum local

un point critique

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

6 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un maximum local en a

un minimum local en a

un point col en a

7 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Vrai

Faux

8 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Faux

Vrai

9 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f peut admettre un extremum en un point non critique

f admet un extremum local en tout point critique

tout extremum local est global

f admet un extremum global

10 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

colinéaire aux lignes de niveau

orthogonal aux lignes de niveau

Votre score est

Le score moyen est 45%

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Espaces vectoriels normés

321

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

2 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

3 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

Vrai dans un compact

Vrai

4 / 10

GL(n,R) est

fermé

ouvert

compact

connexe par arcs

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

5 / 10

Un compact est un fermé borné

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Faux

6 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

ouvert

compact

fermé

connexe par arcs

7 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

supérieure ou égale à 2

inférieure ou égale à 2

égale à 2

pas nécessairement définie

8 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Faux

Vrai

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

9 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Faux

Vrai

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

10 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Vrai

Faux

Vrai si K=C, Faux si K=R

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

206

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

absolument convergente

convergente

semi-convergente

divergente

2 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

3 / 10

La fonction ln est intégrable sur

[1,+infini[

]0,1]

sur aucun de ces intervalles

4 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Vrai

Faux

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

5 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n) = n!

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n)! = n+1

Gamma(n+1) = n!

6 / 10

La fonction Gamma est

de classe C infini sur R*+

de limite infinie en l'infini

strictement convexe sur R*+

continue sur R*+

strictement croissante sur R*+

définie sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

7 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

8 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

]0,1]

R+

sur aucun de ces intervalles

[1,+infini[

9 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Vrai

Faux

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

10 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Faux

Vrai

1 n'est pas intégrable sur R+

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

160

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

G(p)

B(n,p)

P(np)

B(p)

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

X n'admet ni espérance ni variance finie

X admet une variance finie mais une espérance infinie

X admet une espérance et une variance finies

X admet une espérance finie mais une variance infinie

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

2,5

3,5

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

suit une loi de Poisson de paramètre 1

suit une loi de Poisson de paramètre 2

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{1,..., n}

{0, ..., n}

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

1 fois

3 fois

2 fois

4 fois

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

E[X]²

V(X)

V(X)+E[X]²

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Faux

Vrai

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-9)/2

(X-3)/2

(X-3)/4

(X-9)/4

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

105

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

on ne peut pas déterminer a, b et c

on a une contradiction

a=b=c=0

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

K[X]

L(E,F)

M(n,K)

K_n[X]

La fonction cos est polynomiale

Vrai

On ne peut pas savoir

Faux

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

égal à X-z dans R[X]

divisible par X-z dans R[X]

égal à X²-2*Re(z)+|z|²

divisible par X²-2*Re(z)+|z|² dans R[X]

Soit D = PGCD(A,B). Comme A,B sont dans R[X], D aussi et donc D(z) = D(\bar z) = 0. Ainsi, (X-z)(X-\bar z) divise D, mais rien ne permet d'affirmer l'égalité.

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Les polynômes de degré 1

Les polynômes de degré 2 à discriminant négatif

Les polynômes constants

Les polynômes n'admettant pas de racines réelles

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Vrai

Faux

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Faux

Vrai

Si un polynôme non constant de K[X] n'a pas de racines, alors il est irréductible.

Vrai

Faux

(X²+1)² n'a pas de racines réelles mais est réductible dans R[X].

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Faux

Vrai

Votre score est

Le score moyen est 45%

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273

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est inversible

A est nilpotente

A est diagonalisable

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

vrai si K=R, faux si K=C

faux si K=R ou C

vrai si K=C, faux si K=R

vrai si K=R ou C

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

son polynôme minimal est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

son polynôme caractéristique est scindé à racines simples

son polynôme minimal est scindé à racines simples

son polynôme caractéristique est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Faux

Vrai

Si le polynôme minimal est scindé sur C mais pas sur R, la matrice est diagonalisable dans M(n,C) mais pas dans M(n,R). C'est par exemple le cas pour une matrice de rotation.

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Faux

Vrai

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Vrai

Faux

Toute matrice de M(n,R) est

diagonalisable dans M(n,C)

trigonalisable dans M(n,C)

diagonalisable dans M(n,R)

trigonalisable dans M(n,R)

Si A est une matrice triangulaire, alors

A est diagonalisable

A est inversible

ses valeurs propres sont sur la diagonale

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 72%

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170

Algèbre générale

1 / 10

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

2 / 10

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

Faux

Vrai

Il n'est pas stable par produit.

3 / 10

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

(Z/2Z,+)

(Z/3Z,+)

(Z,+)

(Z/4Z,+)

Il y a exactement deux éléments inversibles dans l'anneau Z/4Z donc U(Z/4Z) est d'ordre 2, et donc isomorphe à Z/2Z.

4 / 10

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

trois éléments inversibles

un élément inversible

5 éléments inversibles

deux éléments inversibles

5 / 10

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

6 / 10

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Faux

Vrai

Si x est un générateur de G, alors le théorème de Lagrange assure que l'ordre de x divise l'ordre de G. Celui-ci étant p premier, l'ordre de x est 1 ou p. Et comme x n'est pas l'élément neutre, son ordre est p. Ainsi, G est engendré par x.

7 / 10

L'indicatrice d'Euler de 1400 vaut

240

480

1399

8 / 10

Combien 4900 admet-il de diviseurs positifs ?

9 / 10

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

n éléments

n! éléments

n(n-1)/2 éléments

n(n+1)/2 éléments

10 / 10

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

Z/8Z

Z/12Z

Z/5Z

Z/6Z

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

187

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...uniformément vers une primitive de f

...carrément !

...simplement vers une primitive de f

...pas forcément

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

2 / 10

La série de terme général cos(x)^n

converge simplement sur ]0,pi[

converge normalement sur ]0,pi[

converge simplement sur R

ne converge pas sur ]0,pi[

Sur ]0,\pi[, la borne sup de |cos(x)^n| est 1, donc il n'y a pas convergence normale. Néanmoins, |cos(x)|<1 donc il y a convergence simple (série géométrique).

Sur R, il n'y a pas convergence simple car le terme général ne tend pas simplement vers 0.

3 / 10

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

R_a est strictement inférieur à R_b

R_a est supérieur ou égal à R_b

R_a est strictement supérieur à R_b

R_a est inférrieur ou égal à R_b

4 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

f est continue sur I

f présente au plus un nombre fini de points de discontinuité

on ne peut pas conclure

f est dérivable sur I

5 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

converger absolument

converger

diverger

diverger grossièrement

6 / 10

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

il faut que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge simplement vers 0

il faut et il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

7 / 10

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

f peut présenter une infinité de points de discontinuité

f est continue sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points

f est continue sur I

La continuité est une propriété locale, et chaque point de I admet un voisinage compact, donc la CU sur tout segment suffit à assurer la continuité en tout point de I.

8 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

+ l'infini

on ne peut pas savoir

9 / 10

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

sum a_n*(x^n)/n

sum a_n*x^(n+1)/(n+1)

sum (n+1)a_n x^(n+1)

sum n*a_n*x^(n-1)

10 / 10

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

converge uniformément sur R

ne converge d'aucune façon sur R

converge simplement sur R

converge normalement sur R

Pour tout x réel, on a |sin(2*n*x)/n| <= 1/n. Il y a ainsi CU, et donc CS sur R.

Votre score est

Le score moyen est 46%

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372

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

on ne peut pas conclure

Elle converge vers u_0-1

Elle converge vers 1

Elle diverge grossièrement

2 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

divergente

convergente

grossièrement divergente

semi-convergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

3 / 10

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Vrai

Faux

Vrai, si on ajoute l'hypothèse de convergence absolue.

C'est déjà faux pour les sommes finies. Ce n'est pas la série \sum u_n*v_n qu'il faut considérer mais le produit de Cauchy des séries. Et il faut dans ce cas ajouter une hypothèse de convergence absolue.

4 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut ln(2)

diverge

converge, et sa somme vaut 1/e

converge, et sa somme vaut e

5 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

absolument convergente

divergente

semi-convergente

grossièrement divergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

6 / 10

La série de terme général ln(1+1/n) est

divergente

semi-convergente

absolument convergente

grossièrement divergente

Son terme général est positif et équivalent à 1/n. On conclut par comparaison.

7 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

grossièrement divergente

semi-convergente

divergente

absolument convergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

8 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

les suites des sommes partielles sont équivalentes

les sommes des séries correspondantes sont égales

les séries sum u_n et sum v_n sont de même nature

les suites des restes partielles sont équivalentes

9 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0

10 / 10

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

grossièrement divergente

semi-convergente

absolument convergente

divergente

La série converge d'après le critère des séries alternées, mais ne converge pas absolument d'après le critère de Riemann.

Votre score est

Le score moyen est 34%

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