MP : Quiz d’apprentissage

Si f est différentiable sur un compact...

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Un compact est un fermé borné

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Sur un compact, une application continue est

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Dans R, [2,+infini[ est

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

La fonction Gamma est

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

Toute matrice de M(n,R) est

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

(Z/4Z,+) contient

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

Combien vaut l'indicatrice d'Euler de 57 ?

Dans un anneau commutatif, tout idéal est un sous-anneau.

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

Z/6Z est isomorphe à...

Le groupe U(Z/5Z) des inversibles de Z/5Z contient...

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

Pour que la série de terme général u_n converge...

La série de terme général sin(2/n²) est

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

La série de terme général ln(1+1/n) est

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :