MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

142

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

continue en (0,0)

C^2 en (0,0)

Rien de tout cela

différentiable en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

2 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Vrai

Faux

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

3 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Faux

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

Vrai

df(I_n)(H) = nH

4 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il suffit qu'elle soit continue en a

il faut qu'elle soit continue en a

5 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Faux

Vrai

6 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Faux

Vrai

7 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un maximum local

un point critique

un point col

un minimum local

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

8 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f peut admettre un extremum en un point non critique

tout extremum local est global

f admet un extremum global

f admet un extremum local en tout point critique

9 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

df=f

f est différentiable

f est continue

df=0

10 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Faux

Vrai

Votre score est

Le score moyen est 45%

LinkedIn Facebook VKontakte

Espaces vectoriels normés

313

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai dans un compact

Faux

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

2 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

fermé

compact

ouvert

connexe par arcs

3 / 10

Sur un compact, une application continue est

lipschitizienne

linéaire

uniformément continue

bornée

4 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

inférieure ou égale à 2

supérieure ou égale à 2

égale à 2

pas nécessairement définie

5 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Vrai

Faux

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

6 / 10

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

A n'est pas ouverte

A est fermée

A est ouverte

A n'est pas fermée

7 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Faux

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

8 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Vrai si K=C, Faux si K=R

Vrai

Faux

9 / 10

GL(n,R) est

compact

fermé

connexe par arcs

ouvert

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

10 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Vrai

vrai si K=C, faux si K=R

Faux

Votre score est

Le score moyen est 54%

LinkedIn Facebook VKontakte

Intégration

204

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur aucun de ces intervalles

sur R+

sur R-

sur R

2 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

semi-convergente

absolument convergente

divergente

convergente

3 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

4 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Vrai

Faux

1 n'est pas intégrable sur R+

5 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^(x+1) e^(-t) dt

t^x e^(-t-1) dt

t^(x-1) e^(-t) dt

t^x e^(-t) dt

6 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

7 / 10

La fonction ln est intégrable sur

sur aucun de ces intervalles

]0,1]

[1,+infini[

8 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

[1,+infini[

sur aucun de ces intervalles

]0,1]

R+

9 / 10

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est vrai sur un segment, mais faux en général. Par exemple, la fonction constante égale à 1 est bornée sur R+ mais n'est pas intégrable.

10 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

Votre score est

Le score moyen est 55%

LinkedIn Facebook VKontakte

Probabilités

159

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

suit une loi de Poisson de paramètre 2

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

suit une loi de Poisson de paramètre 1

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{0, ..., n}

{1,..., n}

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

X admet une variance finie mais une espérance infinie

X admet une espérance et une variance finies

X n'admet ni espérance ni variance finie

X admet une espérance finie mais une variance infinie

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Faux

Vrai

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-3)/2

(X-3)/4

(X-9)/2

(X-9)/4

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

XY admet une espérance inconnue

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

B(n,p)

B(p)

G(p)

P(np)

Votre score est

Le score moyen est 64%

LinkedIn Facebook VKontakte

Algèbre

104

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

K[X]

M(n,K)

L(E,F)

K_n[X]

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Vrai

Faux

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Faux

Vrai

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

-4X+2

4X-2

4X+2

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

(X-j) divise P

(X²+1) divise P

(X-j²) divise P

(X²+X+1) divise P

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

E =0, a = -4, b = 5

E non nul 0, a = -4, b = 5

E =0, a = 4, b = 5

E =0, a = 4, b = -5

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

2 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Vrai

Faux

L'intersection de I et de J est un idéal M de K[X]. Comme tous les idéaux de K[X] sont principaux, il existe un unique polynôme unitaire P qui engendre M, et donc qui divise tous les éléments communs à I et J.

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Faux

Vrai

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 45%

LinkedIn Facebook VKontakte

268

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

Faux

Vrai

f étant trigonalisable, son polynôme caractéristique est scindé. Le polynôme caractéristique de la restriction divisant celui de f, il est aussi scindé, et donc cette restriction est trigonalisable.

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est inversible

A est nilpotente

A est diagonalisable

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Faux

Vrai

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Vrai

Faux

On ne peut pas conclure

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Faux

Vrai

Si le polynôme minimal est scindé sur C mais pas sur R, la matrice est diagonalisable dans M(n,C) mais pas dans M(n,R). C'est par exemple le cas pour une matrice de rotation.

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Vrai

Faux

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Vrai

Faux

f étant diagonalisable, il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Ce polynôme annule également la restriction, qui est donc diagonalisable.

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Faux

Vrai

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A n'est pas diagonalisable

A n'est pas inversible

A est diagonalisable

A est inversible

Votre score est

Le score moyen est 73%

LinkedIn Facebook VKontakte

169

Algèbre générale

1 / 10

(Z/6Z,+,*) est...

un corps

un anneau intègre mais pas un corps

un anneau non intègre

un idéal

2 / 10

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

(Z/4Z,+)

(Z,+)

(Z/3Z,+)

(Z/2Z,+)

Il y a exactement deux éléments inversibles dans l'anneau Z/4Z donc U(Z/4Z) est d'ordre 2, et donc isomorphe à Z/2Z.

3 / 10

(Z/4Z,+) contient

3 sous-groupes

2 sous-groupes

4 sous-groupes

1 sous-groupe

Il y a exactement trois sous-groupes:
{0}, Z/4Z et {0,2} (qui est isomorphe à Z/2Z)

4 / 10

Quels éléments sont inversibles dans l'anneau Z/165Z ?

164

5 / 10

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

au plus d

au moins d

on ne peut pas savoir

6 / 10

Si A et B sont des anneaux et que f est un morphisme d'anneaux de A vers B, alors...

im(f) est un sous-anneau de B

im(f) est un idéal de B

ker(f) est un idéal de A

ker(f) est un sous-anneau de A

7 / 10

L'indicatrice d'Euler de 1400 vaut

240

480

1399

8 / 10

Le PGCD de 3080 et 364 est

9 / 10

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

10 / 10

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

Faux

Vrai

Z/9Z est cyclique donc contient un élément d'ordre 9 alors que tous les éléments de (Z/3Z)^2 sont d'ordre 1 ou 3.

Votre score est

Le score moyen est 52%

LinkedIn Facebook VKontakte

Suites et séries

185

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Vrai

Faux

Il faut que I soit un segment pour pouvoir l'affirmer (théorème de Weierstrass).

2 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

se peut

faut et il suffit

suffit

faut

3 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

on ne peut pas savoir

+ l'infini

4 / 10

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

il faut et il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge simplement vers 0

il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il faut que (f_n) converge uniformément vers 0

5 / 10

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

on ne peut rien dire

elle converge simplement sur I

elle converge uniformément sur I

6 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

converger absolument

diverger

diverger grossièrement

converger

7 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...uniformément vers une primitive de f

...simplement vers une primitive de f

...pas forcément

...carrément !

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

8 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

elle converge normalement

son terme général converge uniformément vers 0

son terme général converge uniformément

9 / 10

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

R est strictement plus grand que 1

R = 0

R = 1

R est strictement plus petit que 1

10 / 10

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

converge uniformément sur R

ne converge d'aucune façon sur R

converge normalement sur R

converge simplement sur R

Pour tout x réel, on a |sin(2*n*x)/n| <= 1/n. Il y a ainsi CU, et donc CS sur R.

Votre score est

Le score moyen est 46%

LinkedIn Facebook VKontakte

368

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Vrai, si on ajoute l'hypothèse de convergence absolue.

Vrai

Faux

C'est déjà faux pour les sommes finies. Ce n'est pas la série \sum u_n*v_n qu'il faut considérer mais le produit de Cauchy des séries. Et il faut dans ce cas ajouter une hypothèse de convergence absolue.

2 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

divergente

grossièrement divergente

semi-convergente

absolument convergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

3 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut 1/(1-x)

converge, et sa somme vaut (1-x^(n+1))/(1-x)

diverge

converge, et sa somme vaut (1-x^n)/(1-x)

4 / 10

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Vrai

Faux

la décroissance n'est pas stable par équivalence

5 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Faux

Vrai

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

6 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la divergence de V_n implique celle de U_n

la convergence de U_n implique celle de V_n

la convergence de V_n implique celle de U_n

la divergence de U_n implique celle de V_n

7 / 10

La série de terme général ln(n)/n est

divergente

convergente

grossièrement divergente

semi-convergente

Pour n > 2, on a ln(n)/n > 1/n et on conclut par comparaison.

8 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

les suites des sommes partielles sont équivalentes

les sommes des séries correspondantes sont égales

les suites des restes partielles sont équivalentes

les séries sum u_n et sum v_n sont de même nature

9 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

la série de terme général u_n converge

la série de terme général u_n diverge

on ne peut pas conclure

Appliquer le critère de d'Alembert

10 / 10

La série de terme général ln(1+1/n) est

absolument convergente

semi-convergente

divergente

grossièrement divergente

Son terme général est positif et équivalent à 1/n. On conclut par comparaison.

Votre score est

Le score moyen est 34%

LinkedIn Facebook VKontakte

Cookie	Durée	Description
cookielawinfo-checbox-analytics	11 months	This cookie is set by GDPR Cookie Consent plugin. The cookie is used to store the user consent for the cookies in the category "Analytics".
cookielawinfo-checbox-functional	11 months	The cookie is set by GDPR cookie consent to record the user consent for the cookies in the category "Functional".
cookielawinfo-checbox-others	11 months	This cookie is set by GDPR Cookie Consent plugin. The cookie is used to store the user consent for the cookies in the category "Other.
cookielawinfo-checkbox-necessary	11 months	This cookie is set by GDPR Cookie Consent plugin. The cookies is used to store the user consent for the cookies in the category "Necessary".
cookielawinfo-checkbox-performance	11 months	This cookie is set by GDPR Cookie Consent plugin. The cookie is used to store the user consent for the cookies in the category "Performance".
viewed_cookie_policy	11 months	The cookie is set by the GDPR Cookie Consent plugin and is used to store whether or not user has consented to the use of cookies. It does not store any personal data.