MP : Quiz d’apprentissage

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

Si f est différentiable, le gradient de f est

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Si f est différentiable sur un compact...

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Dans C, le cercle trigonométrique est

Dans R, [2,+infini[ est

Sur un compact, une application continue est

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

La fonction Gamma est

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Les polynômes X**3-4X**2+5X-2 et X**3-X**2+X-1 sont premiers entre eux

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

La fonction cos est polynomiale

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

Z/6Z est isomorphe à...

Combien vaut l'indicatrice d'Euler de 57 ?

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Si G est un groupe monogène de cardinal premier, alors tout élément non trivial de G est un générateur de G.

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables qui converge uniformément vers f sur un intervalle I, alors

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Pour que la série de terme général u_n converge...

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...