MP : Quiz d’apprentissage

Si f est différentiable, le gradient de f est

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Si f est différentiable sur un compact...

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

GL(n,R) est

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Un compact est un fermé borné

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

Sur un compact, une application continue est

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

La fonction Gamma est

La fonction ln est intégrable sur

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

La fonction cos est polynomiale

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Si A est une matrice, P est une matrice inversible, Q = P^(-1) et D = QAP. Alors D^n =

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Si A est dans M(n,R) et admet (X²+1) pour polynôme minimal. Alors :

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

Parmi les anneaux suivants, lesquels sont intègres ?

Combien vaut l'indicatrice d'Euler de 57 ?

Quels sont les éléments d'ordre 3 dans (Z/12Z,+) ?

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

L'ensemble des matrices de déterminant nul est un groupe pour le produit matriciel.

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

Dans un anneau commutatif, tout idéal est un sous-anneau.

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

Z/6Z est isomorphe à...

Le groupe symétrique S_3 est isomorphe à un sous-groupe de S_n dès que n est supérieur ou égal à 3.

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

Si (f_n) converge simplement vers f sur [a,b], alors la suite des intégrales de f_n sur [a,b] est égale à l'intégrale de f sur [a,b].

Pour que la série de terme général u_n converge...

La série de terme général sin(2/n²) est

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

La série de terme général ln(n)/n est

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :