MP : Quiz d’apprentissage

Si f est différentiable, le gradient de f est

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Si f est différentiable sur un compact...

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

GL(n,R) est

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Un compact est un fermé borné

Sur un compact, une application continue est

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Dans R, [2,+infini[ est

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

La fonction ln est intégrable sur

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

A est diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

Si A est une matrice, P est une matrice inversible, Q = P^(-1) et D = QAP. Alors D^n =

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des morphismes de groupes définis sur GL(n,K) muni du produit matriciel ?

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

Quels éléments sont inversibles dans l'anneau Z/165Z ?

Quels anneaux sont isomorphes à Z/60Z ?

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

(Z/6Z,+,*) est...

Si, dans un groupe G, x et y sont des éléments d'ordre n qui commutent. Alors xy est d'ordre...

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

L'indicatrice d'Euler de 1400 vaut

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. Si, pour tout n, on a a_n < b_n, alors :

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

La série de terme général ln(1+1/n) est

La série de terme général ln(n)/n est

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.