MP : Quiz d’apprentissage

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

Si f est différentiable sur un compact...

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Dans C, le cercle trigonométrique est

Un compact est un fermé borné

Sur un compact, une application continue est

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

La fonction ln est intégrable sur

Si f continue par morceaux est bornée sur un intervalle I, alors est intégrable sur I.

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

On lance une pièce à Pile ou Face jusqu'à obtenir un Pile et on note X le nombre de tirages effectués. Alors X suit

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

La fonction cos est polynomiale

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Un polynôme réel de degré impair admet toujours une racine réelle.

Si P est irréductible dans Q[X], alors il est irréductible dans R[X].

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Si A est une matrice et X un vecteur non nul tel que AX=2X. Alors

Si A est une matrice triangulaire, alors

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

Toute matrice de M(n,R) est

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

(Z/4Z,+) contient

(Z/6Z,+,*) est...

Si A et B sont des anneaux et que f est un morphisme d'anneaux de A vers B, alors...

L'ensemble des matrices de déterminant égal à -1 forme un sous-groupe de GL(n,K)

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

Le groupe U(Z/5Z) des inversibles de Z/5Z contient...

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

Combien 4900 admet-il de diviseurs positifs ?

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

La série de terme général cos(x)^n

La suite de fonctions définie par f_n(x) = sin(2*n*x)/n

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

La série de terme général sin(2/n²) est

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

Pour que la série de terme général u_n converge...

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

La série de terme général ln(n)/n est