MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

Rien de tout cela

différentiable en (0,0)

C^2 en (0,0)

continue en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

2 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

df(I_n)(H) = nH

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

Faux

Vrai

3 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Faux

Vrai

4 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il faut qu'elle soit continue en a

il suffit qu'elle soit continue en a

5 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Vrai

Faux

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

6 / 10

En (0,0,0), l'application définie sur R^3 par f(x,y,z)=xyz présente...

un point col

un maximum local

un point critique

un minimum local

f(0,0,0) = 0 et f(x,x,x) change de signe au voisinage de 0

7 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

df=f

df=0

f est différentiable

f est continue

8 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f peut admettre un extremum en un point non critique

tout extremum local est global

f admet un extremum global

f admet un extremum local en tout point critique

9 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

orthogonal aux lignes de niveau

colinéaire aux lignes de niveau

10 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Vrai

Faux

Your score is

The average score is 50%

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Espaces vectoriels normés

147

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Faux

Vrai

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

2 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

Faux

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

3 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Vrai

Faux

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

4 / 10

La composition de deux applications lipschitziennes est lipschitizienne

Vrai

Faux

Il suffit de l'écrire avec des quantificateurs pour s'en convaincre !

5 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Vrai

vrai si K=C, faux si K=R

Faux

6 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Faux

Vrai si K=C, Faux si K=R

Vrai

7 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Faux

Vrai

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

8 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

connexe par arcs

compact

ouvert

fermé

9 / 10

Un compact est un fermé borné

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

10 / 10

Dans R, [2,+infini[ est

compact

ouvert

connexe par arcs

fermé

Your score is

The average score is 49%

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Intégration

116

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

2 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

3 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

4 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Vrai

Faux

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

5 / 10

La fonction ln est intégrable sur

[1,+infini[

sur aucun de ces intervalles

]0,1]

6 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Faux

Vrai

1 n'est pas intégrable sur R+

7 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

R+

[1,+infini[

sur aucun de ces intervalles

]0,1]

8 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R

sur aucun de ces intervalles

sur R-

sur R+

9 / 10

L'intégrale sur R+ sur sinus cardinal est

semi-convergente

absolument convergente

divergente

convergente

10 / 10

La fonction Gamma est

définie sur R*+

de classe C infini sur R*+

continue sur R*+

strictement croissante sur R*+

strictement convexe sur R*+

de limite infinie en l'infini

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

Your score is

The average score is 53%

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Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

B(n,p)

P(np)

G(p)

B(p)

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

4 fois

3 fois

1 fois

2 fois

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

suit une loi de Poisson de paramètre 2

suit une loi de Poisson de paramètre 1

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{0, ..., n}

{1,..., n}

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

2,5

3,5

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance finie, alors

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

V(X+Y) = V(X)+V(Y)

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

E[X]²

V(X)

V(X)+E[X]²

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

XY admet une espérance inconnue

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Vrai

Faux

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Your score is

The average score is 63%

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Algèbre

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Vrai

Faux

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

P n'admet pas de racines réelles

P admet des racines réelles

P est irréductible dans R[X]

P est réductible dans R[X]

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

a=b=c=0

on ne peut pas déterminer a, b et c

on a une contradiction

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Faux

Vrai

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Vrai

Faux

L'intersection de I et de J est un idéal M de K[X]. Comme tous les idéaux de K[X] sont principaux, il existe un unique polynôme unitaire P qui engendre M, et donc qui divise tous les éléments communs à I et J.

Dans R[X], le polynôme X^6-1 se factorise en un produit de

2 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

M(n,K)

K[X]

K_n[X]

L(E,F)

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Vrai

Faux

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

2 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

E =0, a = 4, b = 5

E non nul 0, a = -4, b = 5

E =0, a = -4, b = 5

E =0, a = 4, b = -5

Your score is

The average score is 46%

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167

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

nA+I

A+I

A^n + I

Une matrice triangulaire avec des valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.

Vrai

Faux

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

son polynôme caractéristique est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

son polynôme caractéristique est scindé à racines simples

son polynôme minimal est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

son polynôme minimal est scindé à racines simples

Une matrice quelconque admet au moins une valeur propre.

Faux

Vrai

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Vrai

Faux

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

inversible

diagonale

nulle

Toute matrice de M(n,R) est

diagonalisable dans M(n,C)

trigonalisable dans M(n,C)

diagonalisable dans M(n,R)

trigonalisable dans M(n,R)

Si u = (1,0), v = (0,1) et w = (1,1), alors Vect(u,v,w) est de dimension

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

vrai si K=R, faux si K=C

vrai si K=R ou C

vrai si K=C, faux si K=R

faux si K=R ou C

Toute matrice diagonalisable dans M(n,C) l'est aussi dans M(n,R)

Vrai

Faux

Si le polynôme minimal est scindé sur C mais pas sur R, la matrice est diagonalisable dans M(n,C) mais pas dans M(n,R). C'est par exemple le cas pour une matrice de rotation.

Your score is

The average score is 73%

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125

Algèbre générale

1 / 10

Combien 4900 admet-il de diviseurs positifs ?

2 / 10

Le groupe (U(Z/4Z),*) des inversibles de l'anneau (Z/4Z,+,*) est isomorphe à

(Z/2Z,+)

(Z,+)

(Z/4Z,+)

(Z/3Z,+)

Il y a exactement deux éléments inversibles dans l'anneau Z/4Z donc U(Z/4Z) est d'ordre 2, et donc isomorphe à Z/2Z.

3 / 10

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

Il faut observer que 7 est d'ordre 4 dans Z/10Z donc 7**(2023) = 7**3 (mod 10) mais 7**2 = -1 (mod 10) donc 7**3 = -7 (mod 10) = 3 (mod 10).

4 / 10

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

trois éléments inversibles

deux éléments inversibles

5 éléments inversibles

un élément inversible

5 / 10

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

6 / 10

Dans un anneau commutatif, tout idéal est un sous-anneau.

Vrai

Faux

Un sous-anneau contient l'unité. Et le seul idéal qui contient l'unité est l'anneau lui-même.

7 / 10

L'ensemble des matrices de déterminant nul est un groupe pour le produit matriciel.

Faux

Vrai

Les matrices de déterminant nul ne sont pas inversibles pour le produit matriciel. Elles ne peuvent donc pas former un groupe pour cette opération.

8 / 10

Si A et B sont des anneaux et que f est un morphisme d'anneaux de A vers B, alors...

im(f) est un idéal de B

im(f) est un sous-anneau de B

ker(f) est un idéal de A

ker(f) est un sous-anneau de A

9 / 10

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

n(n+1)/2 éléments

n éléments

n! éléments

n(n-1)/2 éléments

10 / 10

Soit p un nombre premier et G un groupe fini d'ordre p. Alors G est abélien

Vrai

Faux

Un groupe d'ordre p premier est nécessairement cyclique ; il est en particulier abélien.

Your score is

The average score is 54%

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Suites et séries

125

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

La série de terme général cos(x)^n

ne converge pas sur ]0,pi[

converge simplement sur ]0,pi[

converge simplement sur R

converge normalement sur ]0,pi[

Sur ]0,\pi[, la borne sup de |cos(x)^n| est 1, donc il n'y a pas convergence normale. Néanmoins, |cos(x)|<1 donc il y a convergence simple (série géométrique).

Sur R, il n'y a pas convergence simple car le terme général ne tend pas simplement vers 0.

2 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

elle converge normalement sur [-R,R]

elle converge normalement sur tout segment de ]-R,R[

elle converge normalement sur ]-R,R[

elle converge uniformément sur ]-R,R[

3 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

faut

faut et il suffit

se peut

suffit

4 / 10

Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Faux

Vrai

Il faut que I soit un segment pour pouvoir l'affirmer (théorème de Weierstrass).

5 / 10

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

sum (n+1)a_n x^(n+1)

sum n*a_n*x^(n-1)

sum a_n*(x^n)/n

sum a_n*x^(n+1)/(n+1)

6 / 10

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

R = 0

R = 1

R est strictement plus grand que 1

R est strictement plus petit que 1

7 / 10

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

R est supérieur ou égal à R'

R=R'

R est inférieur ou égal à R'

ça dépend des cas

8 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

son terme général converge uniformément

son terme général converge uniformément vers 0

elle converge normalement

9 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

on ne peut pas savoir

+ l'infini

10 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...uniformément vers une primitive de f

...pas forcément

...carrément !

...simplement vers une primitive de f

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

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The average score is 43%

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260

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

absolument convergente

divergente

semi-convergente

grossièrement divergente

La série converge d'après le critère des séries alternées, mais ne converge pas absolument d'après le critère de Riemann.

2 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la divergence de U_n implique celle de V_n

la convergence de V_n implique celle de U_n

la convergence de U_n implique celle de V_n

la divergence de V_n implique celle de U_n

3 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Vrai

Faux

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

4 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

les suites des sommes partielles sont équivalentes

les sommes des séries correspondantes sont égales

les séries sum u_n et sum v_n sont de même nature

les suites des restes partielles sont équivalentes

5 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

T_n = o(R_n)

V_n = o(U_n)

R_n = o(T_n)

U_n = o(V_n)

6 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

absolument convergente

semi-convergente

grossièrement divergente

divergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

7 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

Vrai

Faux

on ne peut pas conclure

Si les séries convergent absolument, elles convergent donc (u_n) tend vers 0. A partir d'un certain rang, on a donc |u_n|<1 et |u_nv_n| < |v_n|. On conclut par comparaison.

8 / 10

La série de terme général ln(1+1/n) est

grossièrement divergente

divergente

semi-convergente

absolument convergente

Son terme général est positif et équivalent à 1/n. On conclut par comparaison.

9 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut (1-x^n)/(1-x)

converge, et sa somme vaut (1-x^(n+1))/(1-x)

converge, et sa somme vaut 1/(1-x)

diverge

10 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

grossièrement divergente

semi-convergente

divergente

absolument convergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

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The average score is 33%

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