MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

131

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

différentiable en (0,0)

C^2 en (0,0)

continue en (0,0)

Rien de tout cela

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

2 / 10

Si f est différentiable sur un ouvert U et df(a) = 0, alors f présente un extremum local en a.

Vrai

Faux

3 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il suffit qu'elle soit continue en a

il faut qu'elle soit continue en a

4 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un minimum local en a

un point col en a

un maximum local en a

5 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Faux

Vrai

6 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Faux

Vrai

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

7 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

orthogonal aux lignes de niveau

colinéaire aux lignes de niveau

8 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Faux

Vrai

9 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Faux

df(I_n)(H) = nH

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

Vrai

10 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

df=0

df=f

f est continue

f est différentiable

Votre score est

Le score moyen est 45%

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Espaces vectoriels normés

279

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Sur un compact, une application continue est

linéaire

lipschitizienne

uniformément continue

bornée

2 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Vrai

Faux

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

3 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Vrai

Faux

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

4 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Faux

Vrai si K=C, Faux si K=R

Vrai

5 / 10

Une application linéaire est bornée sur la sphère unité

Faux

Vrai

Vrai en dimension finie uniquement

C'est le cas si elle est continue mais pas en général. L'hypothèse de dimension finie suffit donc.

6 / 10

Toute norme sur un espace vectoriel réel est associée à un produit scalaire

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Faux

Par exemple, on montre que les normes 1 et infinie sur R^n ne peuvent pas être associées à un produit scalaire (vu en TD).

7 / 10

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

A n'est pas ouverte

A n'est pas fermée

A est ouverte

A est fermée

8 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

supérieure ou égale à 2

pas nécessairement définie

égale à 2

inférieure ou égale à 2

9 / 10

GL(n,K) est dense dans M_n(K)

Faux

vrai si K=C, faux si K=R

Vrai

10 / 10

GL(n,R) est

ouvert

compact

connexe par arcs

fermé

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Intégration

186

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Vrai

Faux

1 n'est pas intégrable sur R+

2 / 10

La fonction ln est intégrable sur

[1,+infini[

]0,1]

sur aucun de ces intervalles

3 / 10

Si f est intégrable sur R+, alors f tend vers 0 en l'infini.

Faux

Vrai

Si f admet une limite en l'infini, alors sa limite est nulle. Mais on peut construire des fonctions intégrables sur R+ n'admettant pas de limite (dents de scie de hauteur fixe mais de largeur 1/n² au dessus de chaque entier).

4 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^x e^(-t-1) dt

t^(x+1) e^(-t) dt

t^(x-1) e^(-t) dt

t^x e^(-t) dt

5 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur R+

sur R-

sur R

sur aucun de ces intervalles

6 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

[1,+infini[

R+

]0,1]

sur aucun de ces intervalles

7 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Vrai

Faux

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

8 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Faux

Vrai

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

9 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

10 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n) = n!

Gamma(n+1) = n!

Gamma(n)! = n+1

Gamma(n) = (n+1)!

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Probabilités

141

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

suit une loi de Poisson de paramètre 1

suit une loi de Poisson de paramètre 2

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

Si X suit une loi de Poisson, son univers-image est

{0, ..., n}

{1,..., n}

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-3)/2

(X-9)/2

(X-9)/4

(X-3)/4

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

XY admet une espérance inconnue

Si on lance un dé équilibré à six faces un grand nombre de fois, alors le score moyen est environ égal à ...

2,5

3,5

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

G(p)

B(p)

B(n,p)

P(np)

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois géométriques

les lois de Poisson

les lois uniformes

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir Pile. En moyenne, on la lancera:

1 fois

4 fois

2 fois

3 fois

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)+E[X]²

E[X]²

V(X)

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Faux

Vrai

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

E =0, a = -4, b = 5

E non nul 0, a = -4, b = 5

E =0, a = 4, b = 5

E =0, a = 4, b = -5

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Faux

Vrai

L'intersection de I et de J est un idéal M de K[X]. Comme tous les idéaux de K[X] sont principaux, il existe un unique polynôme unitaire P qui engendre M, et donc qui divise tous les éléments communs à I et J.

Parmi les ensembles suivants, lesquels forment une K-algèbre de dimension finie pour les opérations usuelles ?

K[X]

M(n,K)

L(E,F)

K_n[X]

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Faux

Vrai

Si F(X) = (X²+X+2)/(X²-5X+3), alors la partie entière de F est

de degré 1

nulle

constante non nulle

de degré 2

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

x**4+1

X**2-16X+64

X**2-X-2

X**2+1

Le reste de la division euclidienne de X**5+4X**3-3X**2-X+1 par X**2+1 est...

-4X+2

4X+2

4X-2

Soit P un polynôme qui s'écrit aX²+bX+c avec (a,b,c) scalaires. Supposons que P(1) = P(-1) = P(0) = 0. Alors

a=b=c=0

on a une contradiction

on ne peut pas déterminer a, b et c

Les polynômes irréductibles de R[X] sont :

Les polynômes de degré 2 à discriminant négatif

Les polynômes constants

Les polynômes n'admettant pas de racines réelles

Les polynômes de degré 1

Votre score est

Le score moyen est 45%

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240

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si A est une matrice de taille 3 telle que sp(A) = {-2,2}, dim ker(A-2I) = 1 et dim ker(A+2I) = 2, alors A est diagonalisable.

On ne peut pas conclure

Vrai

Faux

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

A^n + I

nA+I

A+I

Si X²+2X+1 est un polynôme annulateur de A, alors

A est inversible

A est nilpotente

A est nulle

A est diagonalisable

Si une matrice de M(n,K) admet 0 pour unique valeur propre, alors elle est nilpotente

faux si K=R ou C

vrai si K=R, faux si K=C

vrai si K=C, faux si K=R

vrai si K=R ou C

Si A est une matrice de taille 3 admettant uniquement 2 valeurs propres alors elle n'est pas diagonalisable.

Vrai

On ne peut pas savoir

Si 0 est une valeur propre de A, alors :

A est diagonalisable

A n'est pas inversible

A est inversible

A n'est pas diagonalisable

Si f est diagonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est diagonalisable

Vrai

Faux

f étant diagonalisable, il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Ce polynôme annule également la restriction, qui est donc diagonalisable.

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

1 est valeur propre

A n'est pas inversible

-1 est valeur propre

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est nilpotente

A est inversible

A est diagonalisable

Si B est une base de vecteurs propres de f. Alors la matrice de f dans la base B est

diagonale

nulle

inversible

Votre score est

Le score moyen est 73%

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162

Algèbre générale

1 / 10

Si K est un corps, parmi les anneaux suivants, lesquels sont des corps ?

K_n[X]

GL(n,K)

K(X)

K[X]

2 / 10

Combien vaut l'indicatrice d'Euler de 57 ?

3 / 10

Z/6Z est isomorphe à...

Z*6Z

(Z/2Z)*(Z/3Z)

(Z/5Z)

(Z/2Z)*(Z/4Z)

C'est une conséquence du théorème des restes chinois

4 / 10

(Z/4Z,+) contient

4 sous-groupes

3 sous-groupes

2 sous-groupes

1 sous-groupe

Il y a exactement trois sous-groupes:
{0}, Z/4Z et {0,2} (qui est isomorphe à Z/2Z)

5 / 10

Quels éléments sont inversibles dans l'anneau Z/165Z ?

164

6 / 10

L'ensemble des matrices de déterminant nul est un groupe pour le produit matriciel.

Vrai

Faux

Les matrices de déterminant nul ne sont pas inversibles pour le produit matriciel. Elles ne peuvent donc pas former un groupe pour cette opération.

7 / 10

33 est inversible dans (Z/121Z,+,*)

Vrai

Faux

PGCD(33,121) = 11 donc 33 n'est pas inversible dans Z/121Z.

8 / 10

Si A et B sont des anneaux et que f est un morphisme d'anneaux de A vers B, alors...

ker(f) est un idéal de A

im(f) est un sous-anneau de B

ker(f) est un sous-anneau de A

im(f) est un idéal de B

9 / 10

Le groupe U(Z/5Z) des inversibles de Z/5Z contient...

4 éléments

5 éléments

1 élément

aucun élément

Comme 5 est premier, Z/5Z est un corps et donc tous ses éléments non nuls sont inversibles. U(Z/5Z) contient donc 4 éléments, et est en fait isomorphe à (Z/4Z,+).

10 / 10

Si f est un morphisme de groupe de G vers G' et que x est un élément d'ordre d de G. Alors f(x) est d'ordre...

au moins d

on ne peut pas savoir

au plus d

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

174

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

on ne peut rien dire

elle converge uniformément sur I

elle converge simplement sur I

2 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...pas forcément

...uniformément vers une primitive de f

...simplement vers une primitive de f

...carrément !

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

3 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a pour rayon de convergence R>0, alors :

elle converge uniformément sur ]-R,R[

elle converge normalement sur [-R,R]

elle converge normalement sur ]-R,R[

elle converge normalement sur tout segment de ]-R,R[

4 / 10

Pour qu'une fonction soit développable en série entière il [texte à compléter] qu'elle soit de classe C infini

se peut

faut et il suffit

suffit

faut

5 / 10

La série de terme général cos(x)^n

converge normalement sur ]0,pi[

ne converge pas sur ]0,pi[

converge simplement sur ]0,pi[

converge simplement sur R

Sur ]0,\pi[, la borne sup de |cos(x)^n| est 1, donc il n'y a pas convergence normale. Néanmoins, |cos(x)|<1 donc il y a convergence simple (série géométrique).

Sur R, il n'y a pas convergence simple car le terme général ne tend pas simplement vers 0.

6 / 10

Pour que la série de terme général (f_n) converge uniformément...

il faut que (f_n) converge uniformément vers 0

il faut et il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge uniformément vers 0

il suffit que (f_n) converge simplement vers 0

7 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur I, alors :

on ne peut pas conclure

f présente au plus un nombre fini de points de discontinuité

f est continue sur I

f est dérivable sur I

8 / 10

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

ça dépend des cas

R est inférieur ou égal à R'

R=R'

R est supérieur ou égal à R'

9 / 10

Soit R_1 le rayon de convergence de \sum (x^n)/n et R_2 celui de \sum (x^n)/n^2. Alors

on ne peut pas conclure

R_1 est strictement plus grand que R_2

R_1 est strictement plus petit que R_2

R_1 = R_2

10 / 10

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme de la série entière \sum a_n x^n admet pour primitive

sum a_n*x^(n+1)/(n+1)

sum n*a_n*x^(n-1)

sum (n+1)a_n x^(n+1)

sum a_n*(x^n)/n

Votre score est

Le score moyen est 45%

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345

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Si |x|<1, la série de terme général x^n, pour n entier naturel,...

diverge

converge, et sa somme vaut (1-x^(n+1))/(1-x)

converge, et sa somme vaut 1/(1-x)

converge, et sa somme vaut (1-x^n)/(1-x)

2 / 10

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Faux

Vrai

Vrai, si on ajoute l'hypothèse de convergence absolue.

C'est déjà faux pour les sommes finies. Ce n'est pas la série \sum u_n*v_n qu'il faut considérer mais le produit de Cauchy des séries. Et il faut dans ce cas ajouter une hypothèse de convergence absolue.

3 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la divergence de U_n implique celle de V_n

la divergence de V_n implique celle de U_n

la convergence de V_n implique celle de U_n

la convergence de U_n implique celle de V_n

4 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

les sommes des séries correspondantes sont égales

les suites des restes partielles sont équivalentes

les suites des sommes partielles sont équivalentes

les séries sum u_n et sum v_n sont de même nature

5 / 10

La série de terme général (-1)^n/sqrt(n) est

grossièrement divergente

absolument convergente

divergente

semi-convergente

La série converge d'après le critère des séries alternées, mais ne converge pas absolument d'après le critère de Riemann.

6 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Vrai

Faux

Le terme général est équivalent à 1/n^2. On conclut par comparaison.

7 / 10

La série de terme général 1/(n²*ln(n)) est

divergente

absolument convergente

semi-convergente

grossièrement divergente

Elle est à termes positifs, et 1/(n²*ln(n)) est négligeable devant 1/n^(3/2). On conclut par comparaison, avec le critère de Riemann.

8 / 10

Une série converge absolument si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Vrai

Faux

Ce résultat n'est valable que pour les séries à termes positifs.

9 / 10

Soit (u_n) une suite réelle à termes positifs. On suppose que (u_n) est équivalente à une suite (v_n) qui tend vers 0 en décroissant. Alors la série \sum (-1)^n u_n converge.

Vrai

Faux

la décroissance n'est pas stable par équivalence

10 / 10

La série de terme général (-1)^n/n!, pour n entier naturel,...

converge, et sa somme vaut ln(2)

converge, et sa somme vaut 1/e

diverge

converge, et sa somme vaut e

Votre score est

Le score moyen est 34%

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