MP : Quiz d’apprentissage

Calcul différentiel

143

Calcul différentiel

Des questions sur le calcul différentiel en dimension finie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Pour qu'une application f soit différentiable en a...

il faut qu'elle soit continue en a

il suffit qu'elle soit continue en a

2 / 10

L'application définie sur M(n,R) par f(M)=M^n est différentiable sur M(n,R)

Vrai

df(I_n)(H) = nH

Faux

df(I_n)(H) = nH^(n-1)

3 / 10

Si a est un point critique de f et que H_f(a) n'a que des valeurs propres strictement négatives, alors f présente...

un maximum local en a

un minimum local en a

un point col en a

4 / 10

L'application définie par f(x,y) = (x+y)/(x^2+y^2) si (x,y) non nul et f(0,0) = 0 est

continue en (0,0)

différentiable en (0,0)

Rien de tout cela

C^2 en (0,0)

f(x,0) = 1/x n'a pas de limite quand x tend vers 0

5 / 10

Si une fonction admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable.

Vrai

Faux

6 / 10

Si f est différentiable sur un compact...

f admet un extremum local en tout point critique

f peut admettre un extremum en un point non critique

f admet un extremum global

tout extremum local est global

7 / 10

Si f est différentiable, le gradient de f est

colinéaire aux lignes de niveau

orthogonal aux lignes de niveau

8 / 10

En dimension finie, si f est linéaire, alors...

df=0

f est continue

df=f

f est différentiable

9 / 10

Si une fonction f différentiable sur un ouvert admet un extremum local en a, alors df(a) = 0.

Vrai

Faux

10 / 10

Si f admet une différentielle nulle sur un ouvert, alors f est constante.

Faux

Vrai

Il faut que l'ouvert soit connexe par arcs.

Votre score est

Le score moyen est 45%

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Espaces vectoriels normés

320

Topologie

Des questions sur les espaces vectoriels normés et leur topologie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Une intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

Faux

Vrai

C'est vrai pour une intersection finie mais pas en général. Par exemple dans R, l'intersection des ]-1/n,1/n[ est le singleton {0}.

2 / 10

L'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1] est fermé pour la norme infinie

Faux

Vrai

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable. Pourtant, étant continue sur [-1,1], elle est limite uniforme d'une suite de polynômes et donc d'une suite de fonctions dérivables.

3 / 10

Une suite dans un evn converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d'adhérence

Vrai en dimension finie uniquement

Vrai

Vrai dans un compact

Faux

4 / 10

Soit A une partie d'un evn E dont le complémentaire n'est pas ouvert. Alors

A n'est pas fermée

A est ouverte

A est fermée

A n'est pas ouverte

5 / 10

Si une application linéaire est 2-lipschitzienne, alors sa norme triple est

pas nécessairement définie

supérieure ou égale à 2

inférieure ou égale à 2

égale à 2

6 / 10

L'application déterminant est continue sur M_n(K)

Vrai

Vrai si K=C, Faux si K=R

Faux

7 / 10

Dans C, le cercle trigonométrique est

compact

connexe par arcs

ouvert

fermé

8 / 10

Un compact est un fermé borné

Vrai

Faux

Vrai en dimension finie uniquement

9 / 10

L'application qui a un polynôme P associe 3P''-2P'+P est continue sur R_n[X]

Vrai

Faux

C'est une application linéaire sur R_n[X] qui est de dimension finie, donc elle est continue.

10 / 10

GL(n,R) est

connexe par arcs

ouvert

fermé

compact

ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert R* par le déterminant

fermé : son adhérence est égale à M_n(R) donc, il n'est pas fermé

connexe par arcs : son image par le déterminant est R*n, non connexe, donc il n'est pas connexe.

compact : il n'est pas fermé donc il n'est pas compact

Votre score est

Le score moyen est 54%

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Intégration

206

Intégration

Des questions sur les intégrales sur un intervalle quelconque et les intégrales à paramètres.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On note J_n l'intégrale sur I de f_n. Si la série des J_n converge absolument, alors on peut intégrer terme à terme.

Faux

Vrai

Il faut la convergence de la série des intégrales de la valeur absolue de f_n, ce qui n'est pas la même chose que la convergence absolue de la série des intégrales.

2 / 10

Si f est continue et positive sur un intervalle I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

Par exemple, la fonction constante égale à 1 est continue et positive mais n'est pas intégrable sur R+.

3 / 10

La fonction Gamma est

définie sur R*+

continue sur R*+

strictement croissante sur R*+

de limite infinie en l'infini

de classe C infini sur R*+

strictement convexe sur R*+

Le théorème de Leibniz permet de répondre à l'essentiel des questions.

4 / 10

Si f est continue par morceaux sur un segment I, alors elle est intégrable sur I.

Faux

Vrai

C'est le cadre classique de la théorie de l'intégration de Riemann sur un segment. C'est sur les intervalles ouverts ou semi-ouverts que les questions de convergence se posent.

5 / 10

Pour n entier naturel non nul, on a la relation :

Gamma(n) = (n+1)!

Gamma(n) = n!

Gamma(n+1) = n!

Gamma(n)! = n+1

6 / 10

La fonction définie par f(t) = 1/sqrt(t) est intégrable sur

]0,1]

sur aucun de ces intervalles

R+

[1,+infini[

7 / 10

Si (f_n) est une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément vers f sur I, alors les les intégrales sur I de f_n tendent vers l'intégrale sur I de f.

Vrai

Faux

C'est vrai sur un intervalle borné mais faux en général. Par exemple, f_n(t) = t^(n-1)e^(-t)/n! donne un contre-exemple sur R+.

8 / 10

Pour x réel strictement positif, Gamma(x) est égal à l'intégrale sur R+ de :

t^x e^(-t) dt

t^(x+1) e^(-t) dt

t^x e^(-t-1) dt

t^(x-1) e^(-t) dt

9 / 10

La fonction définie par f(t) = exp(-t) est intégrable

sur aucun de ces intervalles

sur R+

sur R

sur R-

10 / 10

Soit I un intervalle. Une fonction constante sur I est intégrable.

Faux

Vrai

1 n'est pas intégrable sur R+

Votre score est

Le score moyen est 55%

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Probabilités

160

Probabilités

Des questions sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si E[X] = 9 et V(X) = 4, alors la variable aléatoire centrée réduite associée à X est

(X-9)/2

(X-3)/2

(X-9)/4

(X-3)/4

Si X est à valeurs dans N* et telle que, pour tout n >0, P(X=n) > 1/n², alors

X admet une espérance et une variance finies

X admet une variance finie mais une espérance infinie

X admet une espérance finie mais une variance infinie

X n'admet ni espérance ni variance finie

Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance et une variance finies, alors

XY admet une espérance inconnue

XY n'admet pas nécessairement d'espérance

XY admet une espérance et E[XY] = E[X]E[Y]

Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors son univers-image est

{1,..., n}

L'espérance d'une loi géométrique de paramètre 1/2 est égale à :

1/2

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1, alors X+Y

ne suit pas nécessairement une loi de Poisson

suit une loi de Poisson de paramètre 1

suit une loi de Poisson de paramètre 2

Si X_1,..., X_n sont des variables aléatoires indépendantes de loi B(p), alors la somme des X_i suit une loi...

B(p)

G(p)

B(n,p)

P(np)

Si cov(X,Y) = 0, alors X et Y sont indépendantes

Vrai

Faux

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Parmi les lois discrètes, la propriété d'être sans vieillissement caractérise

les lois géométriques

les lois de Poisson

les lois uniformes

Si X admet une variance finie, alors E[X²] =

V(X)+E[X]²

V(X)

E[X]²

Votre score est

Le score moyen est 64%

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Algèbre

104

Polynômes

Des questions sur les polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous-corps de C.

10 questions prises au hasard dans la base.

X**2+X+1 divise X**5-X**4+X**3-X**2+X-1

Faux

Vrai

Parmi les polynômes suivants, lesquels sont irréductibles dans R[X] :

X**2-16X+64

X**2-X-2

X**2+1

x**4+1

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Faux

Vrai

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Faux

Vrai

X**5+X**4-2X**3-2X**2+X+1 admet -1 pour racine de multiplicité..

La fonction cos est polynomiale

Vrai

On ne peut pas savoir

Faux

Le polynôme X**2-3 est irréductible dans...

R[X]

C[X]

Q[X]

Soient I et J des idéaux non nuls de K[X]. Alors il existe un unique polynôme unitaire P qui divise tous les éléments communs à I et J.

Faux

Vrai

L'intersection de I et de J est un idéal M de K[X]. Comme tous les idéaux de K[X] sont principaux, il existe un unique polynôme unitaire P qui engendre M, et donc qui divise tous les éléments communs à I et J.

Soit A et B dans R[X]. Supposons que A et B ont une racine complexe non réelle z commune. Alors PGCD(A,B) est...

divisible par X-z dans R[X]

divisible par X²-2*Re(z)+|z|² dans R[X]

égal à X²-2*Re(z)+|z|²

égal à X-z dans R[X]

Soit D = PGCD(A,B). Comme A,B sont dans R[X], D aussi et donc D(z) = D(\bar z) = 0. Ainsi, (X-z)(X-\bar z) divise D, mais rien ne permet d'affirmer l'égalité.

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

6 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

3 facteurs irréductibles

Votre score est

Le score moyen est 45%

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273

Réduction

Des questions sur la réduction des matrices et des endomorphismes.

10 questions prises au hasard dans la base.

Si une matrice de M(n,K) admet n valeurs propres distinctes, alors:

son polynôme caractéristique est scindé à racines simples

son polynôme minimal est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

son polynôme minimal est scindé à racines simples

son polynôme caractéristique est scindé, mais pas nécessairement à racines simples

Si A est une matrice nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0.

Faux

Vrai

Si A est une matrice de taille 3 et que rg(A-I) = 2. Alors

1 est valeur propre

A n'est pas inversible

-1 est valeur propre

Si A est une matrice, P est une matrice inversible, Q = P^(-1) et D = QAP. Alors D^n =

Q A^n P

Q^n A^n P^n

Si f est trigonalisable et F est un sev stable par f, alors la restriction de f à F est trigonalisable.

Vrai

Faux

f étant trigonalisable, son polynôme caractéristique est scindé. Le polynôme caractéristique de la restriction divisant celui de f, il est aussi scindé, et donc cette restriction est trigonalisable.

Si A est une matrice triangulaire, alors

A est diagonalisable

ses valeurs propres sont sur la diagonale

A est inversible

Une matrice de M(n,R) admet toujours un polynôme minimal.

Faux

Vrai

Si A est une matrice telle que A² = 0, alors (A+I)^n =

A+I

A^n + I

nA+I

Si A est une matrice et que 0 n'est pas valeur propre de A. Alors

A est diagonalisable

A est nilpotente

A est inversible

Une matrice de taille n admet au plus n valeurs propres.

Vrai

Faux

Votre score est

Le score moyen est 72%

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170

Algèbre générale

1 / 10

Parmi les anneaux suivants, dans lesquels 4 est-il nilpotent ?

Z/5Z

Z/12Z

Z/6Z

Z/8Z

2 / 10

Le chiffre des unités de 7**(2023) est

Il faut observer que 7 est d'ordre 4 dans Z/10Z donc 7**(2023) = 7**3 (mod 10) mais 7**2 = -1 (mod 10) donc 7**3 = -7 (mod 10) = 3 (mod 10).

3 / 10

Combien de diviseurs positifs admet le nombre 15750 ?

4 / 10

Z/9Z est un groupe isomorphe à (Z/3Z)^2

Faux

Vrai

Z/9Z est cyclique donc contient un élément d'ordre 9 alors que tous les éléments de (Z/3Z)^2 sont d'ordre 1 ou 3.

5 / 10

Z/6Z est isomorphe à...

(Z/2Z)*(Z/4Z)

(Z/5Z)

Z*6Z

(Z/2Z)*(Z/3Z)

C'est une conséquence du théorème des restes chinois

6 / 10

(Z/6Z,+,*) contient exactement...

5 éléments inversibles

trois éléments inversibles

un élément inversible

deux éléments inversibles

7 / 10

Le groupe U(Z/5Z) des inversibles de Z/5Z contient...

aucun élément

5 éléments

4 éléments

1 élément

Comme 5 est premier, Z/5Z est un corps et donc tous ses éléments non nuls sont inversibles. U(Z/5Z) contient donc 4 éléments, et est en fait isomorphe à (Z/4Z,+).

8 / 10

Le groupe symétrique sur n éléments contient...

n éléments

n(n-1)/2 éléments

n(n+1)/2 éléments

n! éléments

9 / 10

Combien le groupe (Z/15Z,+) admet-il de générateurs ?

10 / 10

Si s est une permutation de S_8 qui s'écrit comme produit de deux transpositions et d'un 3-cycle à supports disjoints. Alors s est d'ordre...

Votre score est

Le score moyen est 52%

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Suites et séries

186

Suites, séries de fonctions et séries entières

10 questions au hasard sur le programme de MP concernant les suites, séries de fonctions et les séries entières.

1 / 10

Si une série de fonctions converge normalement sur I, alors

on ne peut rien dire

elle converge uniformément sur I

elle converge simplement sur I

2 / 10

Si (f_n) converge uniformément vers f sur un intervalle I et que, pour tout n, F_n est une primitive de f_n sur I, alors (F_n) converge...

...uniformément vers une primitive de f

...pas forcément

...simplement vers une primitive de f

...carrément !

Il n'y a pas forcément convergence, même simple, car il y a un degré de liberté sur les constantes. Il faut ajouter une hypothèse d'annulation des primitives en un même point pour obtenir un énoncé de convergence uniforme.

3 / 10

Sur le bord du disque de convergence, une série entière peut

diverger grossièrement

converger

converger absolument

diverger

4 / 10

Si la série entière \sum a_n z^n a un rayon de convergence égal à R>0. Alors la série numérique \sum a_n z^n

diverge grossièrement si |z| est strictement supérieur à R

diverge si |z|=R

converge absolument si |z| est strictement inférieur à R

converge si |z|=R

5 / 10

Si on note R le rayon de convergence d'une série entière et R' celui de sa dérivée, on a :

R est inférieur ou égal à R'

R=R'

R est supérieur ou égal à R'

ça dépend des cas

6 / 10

La série de terme général (f_n) converge uniformément si et seulement si...

son terme général converge uniformément vers 0

elle converge normalement

la suite de ses restes converge uniformément vers 0

son terme général converge uniformément

7 / 10

Si a(n+1)/a(n) tend vers 0, alors la série entière \sum a(n) z^n admet pour rayon de convergence

+ l'infini

on ne peut pas savoir

8 / 10

La série de terme général cos(x)^n

converge normalement sur ]0,pi[

ne converge pas sur ]0,pi[

converge simplement sur R

converge simplement sur ]0,pi[

Sur ]0,\pi[, la borne sup de |cos(x)^n| est 1, donc il n'y a pas convergence normale. Néanmoins, |cos(x)|<1 donc il y a convergence simple (série géométrique).

Sur R, il n'y a pas convergence simple car le terme général ne tend pas simplement vers 0.

9 / 10

Si a(n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini, alors le rayon de convergence de la série entière \sum a_n z_n vérifie

R = 1

R est strictement plus grand que 1

R = 0

R est strictement plus petit que 1

10 / 10

Soit I un intervalle tel que (f_n) est une suite de fonctions continues sur I qui converge simplement vers f sur I et uniformément sur tout segment de I, mais pas sur I. Alors :

f est continue sur I

f est continue sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points

f peut présenter une infinité de points de discontinuité

La continuité est une propriété locale, et chaque point de I admet un voisinage compact, donc la CU sur tout segment suffit à assurer la continuité en tout point de I.

Votre score est

Le score moyen est 46%

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371

Séries numériques

Quiz d'apprentissage sur les séries numériques en MP

10 questions prises au hasard dans la base

1 / 10

Si (u_n) converge vers 1. Que peut-on dire de la série \sum (u_n-u_{n+1}) ?

on ne peut pas conclure

Elle converge vers 1

Elle converge vers u_0-1

Elle diverge grossièrement

2 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont des suites complexes telles que les séries \sum u_n et \sum v_n convergent absolument. Alors \sum (u_n*v_n) converge absolument.

on ne peut pas conclure

Faux

Vrai

Si les séries convergent absolument, elles convergent donc (u_n) tend vers 0. A partir d'un certain rang, on a donc |u_n|<1 et |u_nv_n| < |v_n|. On conclut par comparaison.

3 / 10

Si (u_n) est une suite à termes strictement positifs telle que u_{n+1}/u_n tend vers 0. Alors

la série de terme général u_n converge

la série de terme général u_n diverge

on ne peut pas conclure

Appliquer le critère de d'Alembert

4 / 10

Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). On suppose que la série de terme général v_n converge. On note U_n et V_n les sommes partielles respectives et R_n et T_n les restes respectifs à l'ordre n. Alors :

V_n = o(U_n)

T_n = o(R_n)

U_n = o(V_n)

R_n = o(T_n)

5 / 10

La série de terme général (n+1)/(n^3+2n^2+2) est convergente.

Faux

Vrai

Le terme général est équivalent à 1/n^2. On conclut par comparaison.

6 / 10

La série de terme général sin(2/n²) est

divergente

absolument convergente

grossièrement divergente

semi-convergente

La valeur absolue de son terme général est équivalente à 2/n² (>0). On conclut par comparaison.

7 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs équivalentes au voisinage de l'infini, alors :

les sommes des séries correspondantes sont égales

les séries sum u_n et sum v_n sont de même nature

les suites des sommes partielles sont équivalentes

les suites des restes partielles sont équivalentes

8 / 10

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites à termes positifs telles que u_n = o(v_n). Si on note respectivement U_n et V_n les sommes partielles des séries correspondantes. Alors...

la convergence de U_n implique celle de V_n

la convergence de V_n implique celle de U_n

la divergence de U_n implique celle de V_n

la divergence de V_n implique celle de U_n

9 / 10

Pour que la série de terme général u_n converge...

il faut et il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0

il suffit que le terme général tende vers 0

il faut que le terme général tende vers 0 en décroissant

10 / 10

Soient (u_n) et (v_n) des suites à termes positifs. On suppose que les séries correspondantes convergent et on note respectivement U et V leurs sommes. Alors la série de terme général u_n*v_n converge et la somme de cette série est UV.

Vrai, si on ajoute l'hypothèse de convergence absolue.

Faux

Vrai

C'est déjà faux pour les sommes finies. Ce n'est pas la série \sum u_n*v_n qu'il faut considérer mais le produit de Cauchy des séries. Et il faut dans ce cas ajouter une hypothèse de convergence absolue.

Votre score est

Le score moyen est 34%

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