PCSI : Quiz d’apprentissage

Algèbre

/10

PCSI

Calcul algébrique

Dix questions de calcul algébrique tirées au hasard dans la base de données.

1 / 10

Si a et b sont des réels, (a+b)^3 =

a^3+3a²b+3ab²+b^3

a^3+b^3

a^3+3ab+b^3

2 / 10

exp(3x)/exp(2x) =

exp(x)

exp(3/2)

exp(5x)

3 / 10

ln(8) =

2ln(4)

2ln(3)

3ln(2)

4 / 10

La somme des n premiers carrés d'entiers est égale à

n(n+1)/2

n(n-1)(2n-1)/6

n(n+1)(2n+1)/6

n(n-1)/2

5 / 10

(x^2)^3 =

x^8

x^5

x^6

6 / 10

La somme des n premiers entiers est égale à

n(n+1)(2n+1)/6

n²

n(n-1)/2

n(n+1)/2

7 / 10

x² = y² si et seulement si

x = y

x = y et x et y sont positifs

x = -y

|x| = |y|

8 / 10

Le nombre e est approximativement égal à

1,4

2,7

3,1

9 / 10

La somme pour k allant de 1 à n de ln(k+1)-ln(k) est égale à

ln(2)

ln(n)

ln(n+1)

ln(n+1)-ln(2)

10 / 10

(1-q)(1+q+q²+q^3) =

1-q^4

1-q

1-q^2

Votre score est
Le score moyen est 79%
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PCSI

Trigonométrie circulaire

Des questions autour du cercle trigonométrique : cosinus, sinus et tangente.

10 questions prises au hasard dans la base de données sur ce sujet.

1 / 10

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = sin(3x). Alors une primitive F de f sur R est donnée par F(x) =

-cos(3x)

cos(3x)/3

-cos(3x)/3

cos(3x)

2 / 10

cos(a-b)=

cos(a)sin(b)+sin(a)cos(b)

cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

cos(a)sin(b)-sin(a)cos(b)

3 / 10

Pour tout x dans ]-pi/2,pi/2[, on a tan'(x) =

1/sin(x)^2

1-tan(x)^2

1/cos(x)^2

1+tan(x)^2

4 / 10

Ceci est la représentation graphique de la fonction définie par f(x) =

sin(2*x-pi/4)

2*sin(x-pi/4)

sin(2*x+pi/4)

2*sin(x+pi/4)

5 / 10

La fonction cosinus est :

croissante sur [-pi,pi]

croissante sur [0,pi]

décroissante sur [-pi,pi]

décroissante sur [0,pi]

6 / 10

sin(a)sin(b)=

1/2*(sin(a+b)-sin(a-b))

1/2*(cos(a-b)-cos(a+b))

1/2*(cos(a-b)+cos(a+b))

1/2*(sin(a+b)+sin(a-b))

7 / 10

sin(2a)=

2cos(a)sin(a)

2sin²(a)-1

1-2cos²(a)

8 / 10

sin(a-b)=

cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)

cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a)

9 / 10

cos(a)+cos(b)=

2*cos((a+b)/2)*sin((a-b)/2)

2*cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2)

2*sin((a+b)/2)*sin((a-b)/2)

10 / 10

cos(a+b)=

cos(a)sin(b)-sin(a)cos(b)

cos(a)sin(b)+sin(a)cos(b)

cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

Votre score est
Le score moyen est 58%
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Nombres complexes et trigonométrie

Des questions sur les nombres complexes et leurs relations avec la trigonométrie.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

cos(x+pi/2) =

-cos(x)

-sin(x)

sin(x)

cos(x)

2 / 10

Le module d'une somme est égal à la somme des modules

Vrai

Faux

3 / 10

cos(a)cos(b)=

1/2*(cos(a+b)+cos(a-b))

1/2*(sin(a+b)-sin(a-b))

1/2*(cos(a+b)-cos(a-b))

1/2*(sin(a+b)+sin(a-b))

4 / 10

La linéarisation de cos^3(x) est

cos^4(x)/4

cos(3x)

3*sin(x)/4-sin(3*x)/4

3*cos(x)/4+cos(3*x)/4

5 / 10

exp(i*x)-exp(-i*x) =

2*sin(x)

2*i*cos(x)

2*i*sin(x)

2*cos(x)

6 / 10

(cos(x)+i*sin(x))^n =

1

cos^n(x)+i*sin^n(x)

n*cos(x) + i*n*sin(x)

cos(nx)+i*sin(n*x)

7 / 10

Le module d'un produit est

le quotient des modules

le produit des modules

la somme des modules

la différence des modules

8 / 10

Si x et y sont réels, exp(i*x) = exp(i*y) si et seulement si

x est congru à y modulo pi/2

x est congru à y modulo 2*pi

x est congru à y modulo pi

x = y

9 / 10

"Pour tous réels a,b, on a exp(i*a)*exp(i*b) = exp(i*(a+b))" se démontre

à l'aide des formules trigonométriques

par récurrence

pas car elle est fausse

par les propriétés de l'exponentielle

10 / 10

sin(a+b)=

cos(a)sin(b)+sin(a)cos(b)

cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

cos(a)sin(b)-sin(a)cos(b)

cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

Votre score est
Le score moyen est 59%
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52

Dénombrement

Des questions sur le dénombrement.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

Combien y a-t-il de bijections de [[1,6]] vers [[1,5]] ?

5 parmi 6

0

6^5

5^6

2 / 10

On tire successivement et avec remise p boules dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à n. Combien y a-t-il de tirages distincts possibles ?

n^p (p-liste)

p^n (n-liste)

n!/(n-p)! (arrangement)

p parmi n (combinaison)

3 / 10

La somme pour k allant de 0 à n des coefficients binomiaux "k parmi n" est égale à

k^n

2^n

n

n!

4 / 10

On tire simultanément p boules dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à n. Combien y a-t-il de tirages distincts possibles ?

p parmi n (combinaison)

n!/(n-p)! (arrangement)

n^p (p-liste)

p^n (n-liste)

5 / 10

Combien y a-t-il de suites de Pile/Face possibles pour n lancers consécutifs d'une pièce ?

n

2 parmi n

2^n

n^2

6 / 10

Combien y a-t-il d'applications injectives de [[1,n]] vers [[1,m]], avec n<m ?

n parmi m

Le nombre de m-arrangements de [[1,n]]

n^m

Le nombre de n-arrangements de [[1,m]]

7 / 10

Le coefficient binomial "2 parmi n" est égal à

n(n+1)/2

n

n(n-1)/2

2

8 / 10

Combien peut-on former de matrices carrées de taille n avec des coefficients dans {-1,0,1} ?

3^(n^2)

(n^2)^3

n^3

3^n

9 / 10

On tire successivement et sans remise p boules dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à n. Combien y a-t-il de tirages distincts possibles ?

n^p (p-liste)

p^n (n-liste)

p parmi n (combinaison)

n!/(n-p)! (arrangement)

10 / 10

Combien peut on réaliser de numéros de téléphones à huit chiffres ?

10^8

8^10

8 parmi 10

8!

Votre score est
Le score moyen est 55%
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Polynômes

Des questions sur les polynômes à coefficients réels ou complexes.

10 questions prises au hasard dans la base.

La fonction cos est polynomiale

Faux

On ne peut pas savoir

Vrai

Si f est polynomiale et périodique, alors f est constante.

Vrai

Faux

Dans R[X], le polynôme X^6+1 se factorise en un produit de :

3 facteurs irréductibles

6 facteurs irréductibles

2 facteurs irréductibles

4 facteurs irréductibles

La décomposition en éléments simples de (X+3)/(X²-3X+2) est E(X) + a/(X-1) + b/(X-2) avec

E =0, a = 4, b = -5

E =0, a = -4, b = 5

E non nul 0, a = -4, b = 5

E =0, a = 4, b = 5

Si P est un polynôme de degré n tel que P^(k)(0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n, alors P est nul.

Vrai

Faux

Le reste de la division euclidienne de X^3-7X²+16X-9 par X-1 est nul.

Faux

Vrai

Soit P = X^4+2X^2+1. Alors

P n'admet pas de racines réelles

P est réductible dans R[X]

P admet des racines réelles

P est irréductible dans R[X]

Soit P(X) = (X-1)(X²-4X+3). Alors :

P est scindé mais pas à racines simples

P n'est pas scindé

on ne peut pas conclure

P est scindé à racines simples

La fraction F(X) = (X^3-5X^2+8X-4)/(X^3-3X^2+2X) est irréductible

Faux

Vrai

Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P(j) = 0. Alors

(X-j²) divise P

(X²+X+1) divise P

(X²+1) divise P

(X-j) divise P

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Analyse

PCSI

Dérivées et primitives

Des calculs classiques de dérivées et de primitives.

10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

La dérivée de Arctan(sqrt(x)) est

1/(2*sqrt(x)*(1+x^2))

1/(2*sqrt(x)*(1+x))

1/(1+x)

sqrt(x)/(1+x²)

2 / 10

La dérivée de log_2(3x^2+1) est

6x/(ln(2)*(3x²+1))

6x/(2*(3x²+1))

1/(ln(2)*(3x²+1))

1/(2*(3x²+1))

3 / 10

Une primitive de x²/(x²+1) est

Arctan(x²)

Arctan(x)

x-Arctan(x)

ln(x²+1)

4 / 10

Une primitive de ln(x) est

xln(x)-x

1/ln(x)

ln(x)-x

1/x

5 / 10

Une primitive sur R* de 1/x est

1/x²

ln(x)

-1/x²

ln(|x|)

6 / 10

Si u est de classe C^1, une primitive de u'*u^n est

u^(n+1)

u^n

u^n/n

u^(n+1)/(n+1)

7 / 10

Une primitive de cos(x)sin(x) est

-cos(x)**2/2

sin(2x)

cos(2x)

cos(x)**2/2

8 / 10

Une primitive de 1/(x-a) est

-ln(x-a)

ln|x-a|

1/(x-a)²

ln(x-a)

9 / 10

Une primitive de x/(x²+1) est

x*Arctan(x)

1/2*ln(x²+1)

Arctan(x)

ln(x²+1)

10 / 10

Une primitive de ln(x) est

1/x

x*ln(x)-x

x*ln(x)

exp(x)

Votre score est
Le score moyen est 51%
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Fondamentaux du formalisme

Les symboles mathématiques

Alphabet grec, symboles variés, etc. Quels sont leurs noms ?

Testez vos connaissances en 10 questions prises au hasard dans la base.

1 / 10

$\int se lit$

intégrale

clé de sol

sigma

accolade

2 / 10

"A∪B" se lit

A privé de B

Réunion de A et de B

Produit cartésien de A et de B

Intersection de A et de B

3 / 10

⇒ se lit

équivaut

implique

fonction de ... vers ...

associe à

4 / 10

ξ se lit

chi

epsilon

xi

zeta

5 / 10

Θ se lit

Theta

Eta

Zeta

Bouclier

6 / 10

Λ se lit

Delta

Triangla

Alpha

Lambda

7 / 10

τ se lit

tau

theta

ti

sigma

8 / 10

σ se lit

lambda

sigma

alpha

delta

9 / 10

η se lit

theta

zeta

eta

nu

10 / 10

ι se lit

iota

lambda

eta

jota

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PCSI

Formalisme et logique

Questions autour de la logique formelle et des fondamentaux du formalisme mathématique.

1 / 10

Une fonction croissante et décroissante

est constante

est nulle

n'existe pas

2 / 10

L'assertion "Pour tout y dans [-1,1], il existe un unique x tel que cos(x)=1" est :

Fausse

Indécidable

Vraie

3 / 10

L'assertion "Pour tout réel x strictement positif, il existe un réel y tel que y<x" est :

Vraie

Fausse

Indécidable

4 / 10

Si I=[-1,2] et J = [1,3], alors I privé de J est l'ensemble :

]2,3]

[-1,1[

[-1,3]

vide

5 / 10

Une fonction f est décroissante sur I si et seulement si, pour tous x et y dans I, on a :

x inférieur à y implique f(x) inférieur à f(y)

x inférieur à y implique f(x) supérieur à f(y)

x strictement inférieur à y implique f(x) strictement inférieur à f(y)

x strictement inférieur à y implique f(x) strictement supérieur à f(y)

6 / 10

Soit x un réel. Si on note P l'assertion "x est un entier relatif" et Q l'assertion "x est le carré d'un entier", alors on a :

P implique Q

Q implique P

P équivaut à Q

7 / 10

L'ensemble des solutions réelles de l'équation x²+1=0

n'existe pas

est la paire {-1,1}

est la paire {-i,i}

est vide

8 / 10

"Si I et J sont des intervalles, alors la réunion de I et de J est un intervalle"

Vrai si I et J ne sont pas disjoints

Tout le temps faux

Vrai si I et J sont disjoints

Tout le temps vrai

9 / 10

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = cos(x)+1. Sélectionnez les assertions qui sont vraies.

Il existe x dans R tel que f(x) est positif

Il existe x dans R tel que f(x) est strictement positif

Pour tout x dans R, f(x) est strictement positif

Pour tout x dans R, f(x) est positif

10 / 10

La réciproque de "P implique Q" est :

non P implique Q

Q équivaut à P

Q implique P

non P implique non Q

Votre score est

Le score moyen est 56%

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Informatique

ITC

Python - niveau 1

Dix questions simples, prises au hasard dans la base de données et portant sur les bases de la syntaxe Python. Ces questions sont pour l'essentiel accessibles dès le début du cursus en CPGE.

1 / 10

Que renvoie mystere(5) ?

5

120

Une erreur

15

Si n est un entier, la fonction récursive mystere(n) calcule la somme des entiers de 0 à n.

2 / 10

Que contient la liste L à l'issue de ces instructions ?

[1, 3, 5, 7, 9]

[0, 2, 4, 6, 8]

[0, 0, 1, 1, 2]

[0, 1, 2, 3, 4]

3 / 10

Que contient la liste L après cette instruction ?

Les nombres entre 0 à 9

Les nombres pairs entre 0 à 8

Les nombres impairs de 1 à 9

Les nombres pairs entre 0 à 10

4 / 10

Que renvoie l'instruction [1,2,3]+[3,4,5]

[1,2,3,3,4,5]

[1,2,3,4,5]

une erreur

[1,6,8]

5 / 10

Si L = [1,2,3,4,5], que renvoie L[::-1] ?

[1,2,3,4,5]

[1,2,3,4]

[5,4,3,2,1]

[2,3,4,5]

L[::-1] parcourt l'intégralité de la liste en sens inverse.

6 / 10

Quel est le type de (1,2,3) ?

tuple

list

int

float

7 / 10

Après cette suite d'instructions, la variable a contient la valeur :

'a'

'b'

2

3

8 / 10

Que trace le script suivant ?

Deux lignes brisées

Un carré

Un triangle

Rien

Ce script trace la ligne brisée joignant dans cet ordre A-B-C-D. Mais comme A et D sont confondus ici, on obtient un triangle.

9 / 10

Que renvoie suite(5) ?

8

5

1

2

10 / 10

Que renvoie l'instruction mystere(2) ?

"Erreur"

1

4

1.4142135623730951

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