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Ceci est une proposition de correction du second problème de la composition 1 du CAPES externe 2017 de mathématiques, option mathématiques.
Thème du problème
Le problème n°2 de la deuxième composition du CAPES de mathématiques 2017 (commune aux options mathématiques et informatique) traite de marches aléatoires sur des graphes orientés, thème qui était attendu aux épreuves écrites puisque cette notion est entrée dans les programmes de Terminale en 2012 et n’était toujours pas tombée. Il s’agissait implicitement d’étudier quelques propriétés des chaînes de Markov simples homogènes, mais aucune connaissance préalable n’était requise à ce sujet.
Description de l’épreuve et mise en perspective
Le problème se décompose en quatre parties.
La partie A concerne, après quelques résultats préliminaires, l’étude de marches aléatoires isotropes sur un tétraèdre puis sur une pyramide tronquée. Dans le premier cas on observe le classique phénomène de convergence en loi des chaînes de Markov (ergodiques) vers la loi invariante. Dans le second cas, on observe que cette convergence en loi n’a pas lieu (la chaîne est ici périodique).
La partie B consiste en une étude très succincte des propriétés des matrices stochastiques.
Les parties C et D concernent l’algorithme PageRank de Brin-Page implémenté dans le moteur de recherche Google afin de déterminer la pertinence d’une page web. Plus spécifiquement, la partie C propose l’étude d’un modèle simplifié pour s’approprier la philosophie de l’algorithme. La partie D est quant à elle dédiée à l’étude d’un modèle plus élaboré, dans lequel nous observons à nouveau le phénomène de convergence en loi d’une chaîne de Markov vers sa loi invariante, laquelle fournit une solution effective au problème de départ.
Pré-requis
Les objets impliqués dans ce problème sont~:
- Calcul matriciel,
- Probabilités conditionnelles,
- Suites réelles.
Difficulté
Le problème ne contient aucune difficulté technique, d’autant que le candidat est guidé de très près dans tout le problème – les réponses y sont en général particulièrement courtes et directes. Très peu de prérequis sont nécessaires pour aborder ce problème, à l’exception de la question A.II.5 qui nécessite de connaître ses théorèmes sur les suites récurrentes linéaires d’ordre 2. Les principales difficultés auxquelles sont confrontés les candidats sont l’organisation et la gestion des nombreuses informations fournies par l’énoncé, et l’originalité de ce sujet relativement à ce qui se pratiquait lors des précédentes années.
La correction
Comme d’habitude, il s’agit d’une proposition de correction et non d’un corrigé officiel. Il se peut que certaines réponses proposées soient inexactes, incomplètes ou puissent être améliorées. Tous les commentaires sont les bienvenus.
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