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Le sujet de la première composition de 2020 était dédié à l’étude de la décomposition de Bruhat du groupe linéaire introduite au XXe siècle par le mathématicien français François Bruhat (1929-2007) puis généralisée par Claude Chevalley (1909-1984) aux groupes algébriques généraux. Composé de quatre parties de difficulté très progressive, ce sujet aborde diverses notions classiques du programme d’algèbre de l’agrégation interne et plus spécifiquement du programme d’algèbre linéaire.
La première partie porte sur les drapeaux totaux dans des espaces vectoriels. Les principales notions abordées dans cette partie concernent la dimension, l’orthonormalisation de Schmidt, les endomorphismes trigonalisables et nilpotents.
La deuxième partie porte sur les groupes quotients. On y établit d’abord des résultats généraux sur les quotients puis on se penche sur le cas du groupe linéaire et des sous-groupes de matrices triangulaires inversibles.
La troisième partie vise à établir l’existence de la décomposition de Bruhat des matrices inversibles puis à exploiter cette décomposition pour décrire le groupe linéaire comme une réunion de doubles classes et en étudier certaines propriétés topologiques. Les principales notions utilisées dans cette partie sont les opérations élémentaires sur les colonnes, le groupe symétrique, les matrices par blocs et la topologie dans les espaces de matrices.
La quatrième et dernière partie étudie l’action transitive naturelle du groupe linéaire sur l’ensemble des drapeaux totaux ainsi qu’une action induite sur certains groupes quotients. On y établit notamment à l’aide de la décomposition de Bruhat le nombre d’orbites pour une action naturelle du groupe linéaire dans ce contexte. Les principales notions mobilisées ici sont les actions de groupes et les quotients.
Conseil personnel : le candidat souhaitant approfondir les notions abordées dans ce sujet pourra se tourner vers les Histoires Hédonistes de Groupes et de Géométrie de Philippe Caldero et Jérôme Germoni parus aux éditions Calvage & Mounet, tout à fait dans l’esprit de ce sujet (et plus généralement du concours) et véritablement passionnant !
Pour finir, les recommandations d’usage : cette proposition de correction a été élaborée et rédigée de manière indépendante sur mon temps libre, sans le moindre lien avec le jury du concours. Elle n’a donc aucun caractère officiel et est seulement mise à disposition pour aider les candidats dans leur préparation. Elle est très certainement perfectible à de nombreux égards, n’hésitez donc pas à me faire part de vos commentaires pour l’améliorer.
Je viens de trouver mon erreur ! désolé. Le sujet et la correction sont bons.
Bonjour. Il me semble qu’il y a une erreur dans le sujet et dans la correction (même s’il y a plus de chance que ce soit moi qui fasse une erreur).
Question 15 : Je suis d’accord avec les calculs du coefficient de PV. Par contre pour le coefficient de UP il me semble que le coefficient en P(i,j) soit égale au symbole de kronecker entre sigma'(i) et j. Et dans ce cas la, en notant s le sigma et delta(i,j) le symbole de Kronecker, on obtient :
[UP](s(j),j)= somme u(s(j),k) * [P](k,j) = somme u(s(j),k) * delta(s'(k),j) = u(s(j),s’ ^-1(j)) puisque delta non nul uniquement si s'(k)=j donc si k=s’ ^-1(j)
Dans ce cas l’énoncé est faux puisque la conclusion est s=s’ ^-1
Je sais que le poste de cette correction remonte à 3ans mais il n’est jamais trop tard pour s’aventurer dans ce beau sujet.