La première composition de l’agrégation interne 2023 portait essentiellement sur des questions d’algèbre générale et d’arithmétique, et plus spécifiquement sur l’anneau des entiers p-adiques et son corps des fractions, lesquels jouent un rôle clé en arithmétique et sont « universels » en un sens donné par le théorème d’Ostrowski.
La première composition d’agrégation interne de 2021 était principalement dédiée à l’étude du théorème de Burnside en algèbre linéaire, et à certaines de ses applications : matrices magiques, théorème de Kolchin, théorème de Mc Coy.
Relativement long (9 pages dans sa version originale !), ce sujet est très soigné, tant dans sa construction que dans son écriture. Faisant appel à de nombreuses techniques classiques d’algèbre linéaire, il est en parfait accord avec l’esprit des programmes du concours.
Le sujet de la première composition de 2020 était dédié à l’étude de la décomposition de Bruhat du groupe linéaire introduite au XXe siècle par le mathématicien français François Bruhat (1929-2007) puis généralisée par Claude Chevalley (1909-1984) aux groupes algébriques généraux. Composé de quatre parties de difficulté très progressive, ce sujet aborde diverses notions classiques du programme d’algèbre de l’agrégation interne et plus spécifiquement du programme d’algèbre linéaire.
La deuxième édition de mon ouvrage Probabilités et Statistiques pour l’enseignement vient de paraître aux éditions Dunod.
La deuxième composition de 2019 portait sur l’analyse réelle des fonctions d’une variable. Les deux premières parties étudient des objets classiques : les polynômes orthogonaux d’Hermite et les fonctions spéciales Beta et Gamma. Les deux dernières parties sont plus spécifiques et visent à introduire une notion de dérivation à une ordre réel quelconque et à définir une famille de polynômes de Hermite indexée par les réels.
Le thème général de ce sujet est l’étude de la distance d’un point à un sous-ensemble d’un espace métrique. Les techniques utilisées au fil de l’épreuve relèvent essentiellement de la topologie métrique ou des espaces vectoriels normés, de l’analyse réelle, de la géométrie affine et de l’algèbre linéaire. Le niveau de difficulté est très hétérogène. Les deux premières parties, classiques et abordables, peuvent être traitées indépendamment les unes des autres. Les deux dernières parties sont nettement plus originales et certaines questions présentent des difficultés réelles ; il nous semble bien difficile d’en venir à bout dans le temps imparti.
La première composition de l’agrégation interne 2018 de mathématiques a pour objets principaux l’algèbre linéaire et les polynômes à une indéterminée. L’objectif spécifique du problème est de démontrer la positivité de deux déterminants particuliers.
On retrouve au fil de ce sujet de nombreux objets classiques de l’algèbre : densité du groupe linéaire, résultant de deux polynômes, discriminant, division euclidienne, etc. Aucune connaissance théorique préalable n’est vraiment requise pour aborder ce sujet mais une habitude des techniques et arguments classiques est certainement indispensable pour en venir à bout.
Cette seconde épreuve de l’agrégation interne 2014 de mathématiques propose essentiellement de revisiter quelques grands résultats d’analyse à l’aide de méthodes probabilistes : théorème d’approximation de Weierstrass, polynômes de Bernstein, fonctions hölderiennes, courbes de Bézier et convergences en probabilités.