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Le sujet d’E3A-Polytech de 2023 était classiquement composé de quatre exercices, contenant généralement des questions de cours, et couvrant assez largement les parties les plus classiques du programme de MPSI et de MP : algèbre linéaire, réduction, polynômes à une indéterminée, fonctions réelles d’une variable réelle, intégrales généralisées, intégrales à paramètres et variables aléatoires.
Après des questions de cours préliminaires autour de la formule de Taylor polynomiale et des racines multiples, le premier exercice portait sur un endomorphisme explicite de R_n[X]. Il faisait surtout appel aux techniques de MPSI sur les polynômes à une indéterminée et sur l’algèbre linéaire, mais les deux dernières questions relevaient de la réduction des endomorphismes.
Le deuxième exercice visait à étudier une fonction définie par une intégrale de manière explicite. Les préliminaires portaient sur l’exponentielle, les fonctions puissances et la fonction Gamma. L’exercice à proprement parler relevait de l’analyse réelle en général : intégration généralisées, intégrales à paramètres, études de fonctions, séries de fonctions, etc.
Plus long, et sans questions de cours, le troisième exercice portait sur un endomorphisme de C^0(R+) défini par un opérateur intégral. Il portait à la fois sur l’analyse réelle – notamment de première année avec des questions classiques de continuité, de dérivabilité, d’équations différentielles linéaires, etc. – et sur l’algèbre linéaire (sans dimension).
Après des questions de cours sur les projections vectorielles, le dernier exercice, plus original dans sa forme, visait à étudier la trace, le déterminant, le rang ou le spectre de matrices aléatoires. Il relève donc à la fois du cours d’algèbre linéaire et du cours sur les variables aléatoires discrètes. De chacun de ces points de vue, les questions posées sont techniquement très simples ; la difficulté relève ici d’un contexte pas toujours très habituel pour des questions de probabilités.
Globalement, ce sujet permet d’évaluer une large partie des chapitres-clés des programmes de première et de seconde année ; sans pour autant aborder les notions plus profondes croisées dans le cursus. On notera ainsi l’absence de topologie, de calcul différentiel, d’algèbre générale, etc – ce qui est plutôt attendu pour cette banque d’épreuves. Si certains lui reprocheront une longueur excessive, il faut plutôt y voir un large choix de questions que l’étudiant habile aura su sélectionner afin de valoriser au mieux ses compétences.
Comme de rigueur, je rappelle que je n’ai aucun lien avec les jurys de concours et que ce corrigé n’est en rien officiel et n’a pas vocation à être exemplaire ; il s’agit simplement d’une proposition d’aide aux candidats qui cherchent des pistes dans leurs révisions. Il peut contenir des coquilles, maladresses ou erreurs. N’hésitez pas à me le signaler le cas échéant.