La deuxième composition de CCINP était commune aux filières MP et MPI. Elle est constituée de deux exercices de réduction, et d’un problème sur les espaces préhilbertiens réels.
Le premier exercice propose de calculer les puissances d’une matrice de \(\mathcal M_3(\mathbb R)\) de deux façons : en utilisant son polynôme minimal et en la réduisant. Cet exercice, d’un format court, fait appel à aux méthodes standards de réduction algébrique et géométrique.
Le deuxième exercice propose de démontrer que le produit des valeurs prises par un polynôme réel de degré n-1 sur les racines n-ièmes de l’unité est lui-même un réel. S’il est possible de le démontrer directement par un simple argument de calcul algébrique, l’exercice nous propose un détour par un argument de réduction.
Le problème quant à lui s’intéresse aux polynômes de Laguerre, vus comme des polynômes orthogonaux pour un produit scalaire défini à l’aide d’une intégrale généralisée. On les utilise en fin de problème pour faire apparaître un cas d’égalité dans l’inégalité de Bessel. Ce problème mêle dont les connaissances sur les intégrales généralisées et sur les espaces préhilbertiens réels.
Les connaissances ciblées par ce sujet sont parfaitement standards et conformes au programme de MP, sans difficultés techniques hors norme. On regrettera seulement quelques imprécisions dans l’énoncé qui auront certainement déstabilisé plus d’un candidat.
Comme toujours, les mises en garde de rigueur : je n’ai aucun lien avec les jurys de concours et ce corrigé n’est en rien officiel. Il peut contenir des coquilles, maladresses ou erreurs. N’hésitez pas à me le signaler le cas échéant.