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La première composition 2024 du concours Mines-Ponts portait sur une généralisation de l’intégrale de Dirichlet ainsi qu’une application au calcul de l’espérance d’une variable aléatoire discrète. Décomposé en quatre parties, ce problème permet de travailler les intégrales généralisées, les intégrales à paramètres dans le cas de fonctions à valeurs complexes.
La première partie du problème vise à calculer une intégrale généralisée, en s’appuyant surtout sur les théorèmes de convergence dominée et aux théorèmes de régularité des intégrales à paramètres, le tout dans le contexte des fonctions à valeurs complexes.
La deuxième partie vise à mettre en place une identité non triviale autour de la fonction sinus à l’aide de développement en séries de fonctions, et à l’intégrale de ces dernières.
La troisième partie fait appel aux deux précédentes afin de calculer la valeur d’une généralisation de l’intégrale de Dirichlet, objectif principal du problème. Les techniques dans cette troisième partie sont essentiellement calculatoires.
La dernière partie propose de calculer l’espérance de la valeur absolue de la somme de n variables aléatoires indépendantes de Rademacher. Les premières questions relèvent de méthodes usuelles sur les moments des variables aléatoires réelles et les dernières font un lien inattendu entre cette variable et les intégrales de Dirichlet généralisées calculées précédemment.
Le sujet est bien construit, progressif avec un niveau de technicité raisonnable et les méthodes sont généralement proches des méthodes classiques travaillées en MP. Ce sujet constitue donc une bonne base d’entraînement sur les techniques de calcul en intégration généralisée, en particulier dans le cas de fonctions trigonométriques ou à valeurs complexes.
Comme à chaque fois : je rappelle que je n’ai aucun lien avec les jurys de concours et que ce corrigé n’est en rien officiel. Il contient très probablement des coquilles, maladresses ou erreurs. N’hésitez pas à me le signaler le cas échéant.