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Le sujet de la deuxième composition de mathématiques MPI du CCINP 2024 était composé de deux exercices et d’un problème portant sur de la réduction, les séries de fonctions et les matrices réelles symétriques définies positives.
Le premier exercice et le problème étaient communs avec le sujet de la filière MP.
Le premier exercice visait à diagonaliser une matrice de M(3,R) puis à exploiter cette diagonalisation afin d’étudier un système de suites récurrentes linéaires d’ordre 1. Cet exercice n’utilise que les outils de base de la réduction géométrique et du calcul matriciel.
Le deuxième exercice, spécifique à la filière MPI, proposait à étudier une série de fonctions de la variable réelle et à établir son comportement aux bornes de son domaine de définition.
Le problème visait à démontrer et à appliquer le critère de Sylvester pour les matrices symétriques réelles qui assure qu’une matrice symétrique réelle est définie positive si, et seulement si, ses mineurs principaux sont strictement positifs. Ce résultat est appliqué à diverses situations, dont une liée à l’optimisation des fonctions de plusieurs variables. Ce problème fait appel à des compétences liées à la réduction au sens large, ainsi qu’au calcul matriciel par blocs.
D’une difficulté et d’une longueur très raisonnables, ce sujet ne devrait dans sa globalité pas présenter de grandes surprises aux candidats. On pourra seulement regretter la faible exploitation du programme d’informatique dans le deuxième exercice.
Enfin, les mises en garde de rigueur : je rappelle que je n’ai aucun lien avec les jurys de concours et que ce corrigé n’est en rien officiel. Il peut contenir des coquilles, maladresses ou erreurs. N’hésitez pas à me le signaler le cas échéant.