CAPES 2016 – Composition 1 – Problème 1

de | 22 août 2016

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Ceci est une proposition de correction du premier problème de la composition 1 du CAPES externe 2016 de mathématiques.

Thème du problème

Ce problème est entièrement dévolu à des questions d’interpolation polynomiale dans le plan. Il y a essentiellement deux points de vue pour étudier ces questions et le problème aborde ces deux points de vue de manière indépendante.

Parties A, B et C: un point de vue analytique

Étant donnée une fonction f et n points distincts a_1, \ldots, a_n du domaine de définition de f, on cherche à construire une fonction polynomiale de degré n-1 qui coïncide avec f en les a_i, chose que l’on peut faire avec les célèbres polynômes d’interpolation de Lagrange, ce qui est l’objet de la partie A. La partie B du problème est dédiée à l’estimation de la qualité de l’approximation que donne cette interpolation. La partie C étudie explicitement cette approximation polynomiale pour deux choix particuliers d’interpolations de la fonction sinus sur [0,\pi] .

Parties D et E: un point de vue algébrico-géométrique

Étant donnés trois points du plan, on cherche à construire une parabole passant par ces trois points. La partie D vise à mettre en place les outils algébriques pour répondre à cette question~: les non moins célèbres déterminants de Vandermonde. La partie E consiste à appliquer les résultats de la partie précédente pour donner une condition nécessaire et suffisante pour que le problème ait une solution et, le cas échéant, pour décrire l’ensemble des solutions.

Prérequis

Les objets impliqués dans ce problème sont très classiques:

  • Algèbre linéaire dans \mathbb R^n et dans \mathbb R_n[X] (partie A);
  • Algèbre commutative élémentaire dans \mathbb R[X] (partie A);
  • Théorème de Rolle (partie B);
  • Etude de fonctions usuelles (partie C);
  • Calcul de déterminants (parties D et E);
  • Systèmes linéaires (partie E).

Difficulté

Le candidat est guidé de près pour cette épreuve qui laisse peu de place à la prise d’initiative. Seules deux questions apparaissent d’une difficulté technique supérieure à la moyenne du problème : la question B.II.2 qui nécessite une récurrence pas tout à fait directe et la question E.I.2.b qui demande un peu de créativité pour trouver l’expression absente de l’énoncé.

La correction

Comme d’habitude, il s’agit d’une proposition de correction et non d’un corrigé officiel. Il se peut que certaines réponses proposées soient inexactes, incomplètes ou puissent être améliorées. Tous les commentaires sont les bienvenus.

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