Agrégation interne 2024 – Première composition

de | 11 février 2024

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La première composition de l’agrégation interne 2024 portait sur des questions de groupes et d’algèbre linéaire. Elle était composée de trois exercices, établissant des résultats classiques au programme du concours, et d’un problème dédié à l’étude des représentations des groupes finis. Si cette théorie n’est pas au programme de l’agrégation interne, aucune connaissance à son sujet n’était nécessaire puisque le problème propose précisément d’établir les résultats fondamentaux de cette théorie à partir des seules connaissances exigibles sur les groupes et l’algèbre linéaire.

Très court, le premier exercice est un désormais traditionnel Vrai/Faux portant sur des questions élémentaires de diagonalisation.

Le deuxième exercice, court et toujours très proche du cours, propose de démontrer la co-diagonalisabilité d’une famille d’endomorphismes diagonalisables qui commutent deux à deux. Il permet de revoir les fondamentaux de la réduction algébrique des endomorphismes.

Le troisième exercice introduit la notion d’exposant dans un groupe fini G, et vise à démontrer qu’il existe un élément de G dont l’ordre est égal à cet exposant. On y utilise les résultats classiques sur les ordres des éléments dans les groupes finis.

Le problème, nettement plus long, introduit des nombreux concepts fondamentaux de la théorie des représentations des groupes finis : représentations, morphismes de représentations, sous-espaces invariants, représentations irréductibles, caractères et applications centrales. On y démontre plusieurs résultats fondamentaux, parmi lesquels le lemme de Schur, le théorème de Maschke et des formules de caractères. Ceci permet notamment d’établir un théorème de Kronecker affirmant qu’un groupe abélien fini est isomorphe à un produit de Z/n_iZ, la suite (n_i) étant croissante pour la relation de divisibilité.

D’une longueur bien plus raisonnable que le sujet de l’année précédente, ce sujet est bien construit, avec une belle cohérence, des résultats intéressants et une progressivité bien maîtrisée. Très guidé, il permet au candidat d’avancer sans prérequis autres qu’une bonne connaissance du programme de l’agrégation interne.

Pour finir, les recommandations de rigueur : ce corrigé est rédigé bénévolement, sur mon temps libre, et proposé avec pour seul objectif d’aider les agrégatifs dans leur préparation (bien que le jury semble vouloir publier lui-même ses corrigés depuis 2023). Il n’a aucun caractère officiel ni aucune valeur d’exemple. Il contient certainement des coquilles et possiblement des erreurs, n’hésitez pas à me les signaler le cas échéant afin d’améliorer le fichier. Je rappelle aussi que je n’ai aucun lien, de près ou de loin, avec le jury du concours. Le corrigé est diffusé sous licence Creative Commons BY-NC-SA 4.0, vous pouvez donc le partager.

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