Agrégation Interne 2014 – Deuxième composition

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Cette seconde épreuve de l’agrégation interne 2014 de mathématiques propose essentiellement de revisiter quelques grands résultats d’analyse à l’aide de méthodes probabilistes.

La première partie est dédiée à une preuve probabiliste du théorème d’approximation de Weierstrass à l’aide des polynômes de Bernstein, à savoir que toute fonction d’une variable réelle continue sur un compact est limite uniforme d’une suite de fonctions polynomiales.

La deuxième partie du problème vise à étudier la qualité de l’approximation polynomiale obtenue à la partie 1 pour une classe particulière de fonctions continues, les fonctions Hölderiennes, qui sont une généralisation des fonctions lipschitziennes.

La troisième partie vise à montrer que pour les fonctions de classe , l’approximation uniforme obtenue à l’aide des polynômes de Bernstein commute avec la dérivation. Pour éviter tout mésusage des théorèmes de dérivabilité des limites de suites de fonctions, les premières questions de cette partie visent à montrer qu’il n’y a a piori pas de lien général entre convergence uniforme et régularité.

La quatrième partie est plus directement motivée par le calcul des probabilités. On y montre sous certaines hypothèses que, si l’on considère une subdivision en n segments du support d’une variable aléatoire réelle , alors la courbe de Bézier associée aux points du graphe de la fonction de répartition correspondant à cette subdivision est elle-même le graphe de la fonction de répartition d’une variable aléatoire . On y montre ensuite que si la subdivision est régulière, alors la suite converge en loi vers puis on étudie la convergence en moyenne quadratique. Les premières questions de cette dernière partie sont dédiées à l’étude géométrique des courbes de Bézier, indépendamment de leur application aux probabilités.

Les parties sont relativement dépendantes les unes des autres mais le sujet est organisé de manière à ce que les résultats essentiels à la continuation de l’épreuve se retrouvent dans l’énoncé. Il est donc possible d’avancer dans le sujet tout en laissant des questions de côté.