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Le sujet de la deuxième composition de mathématiques MP du CCINP 2024 était composé de deux exercices et d’un problème portant sur de la réduction, de l’informatique de tronc commun liée au groupe symétrique et sur les matrices réelles symétriques définies positives.
Le premier exercice et le problème étaient communs avec le sujet de la filière MPI.
Le premier exercice visait à diagonaliser une matrice de M(3,R) puis à exploiter cette diagonalisation afin d’étudier un système de suites récurrentes linéaires d’ordre 1. Cet exercice n’utilise que les outils de base de la réduction géométrique et du calcul matriciel.
Le deuxième exercice, spécifique à la filière MP, visait à rédiger en Python des fonctions permettant de modéliser des permutations et de les appliquer à une étude succincte des sous-groupes du groupe symétrique. D’un point de vue mathématique, cet exercice ne fait appel qu’aux définitions de base relatives aux groupes et au groupe symétrique. D’un point de vue informatique, cet exercice ne nécessite que les connaissances de début de première année relatives à la programmation en Python ; il ne présente aucune difficulté algorithmique particulière.
Le problème vise à démontrer et à appliquer le critère de Sylvester pour les matrices symétriques réelles qui assure qu’une matrice symétrique réelle est définie positive si, et seulement si, ses mineurs principaux sont strictement positifs. Ce résultat est appliqué à diverses situations, dont une liée à l’optimisation des fonctions de plusieurs variables. Ce problème fait appel à des compétences liées à la réduction au sens large, ainsi qu’au calcul matriciel par blocs.
D’une difficulté et d’une longueur très raisonnables, ce sujet ne devrait dans sa globalité pas présenter de grandes surprises aux candidats. On pourra seulement regretter la faible exploitation du programme d’informatique dans le deuxième exercice.
Enfin, les mises en garde de rigueur : je rappelle que je n’ai aucun lien avec les jurys de concours et que ce corrigé n’est en rien officiel. Il peut contenir des coquilles, maladresses ou erreurs. N’hésitez pas à me le signaler le cas échéant.