La deuxième composition de CCINP pour la filière MPI se composait d’un exercice d’algèbre linéaire, d’un exercice sur les polynômes et d’un problème mêlant algèbre linéaire et variables aléatoires discrètes. Les deux derniers sont communs avec le sujet correspondant de la filière MP.
La premier exercice propose de démontrer l’inégalité arithmético-géométrique et de l’appliquer aux matrices symétriques définies positives, en établissant la classique inégalité $$\det(A)^{1/n} \leq \frac{1}{n}\mathrm{Tr}(A),$$ avant d’en déduire que $$\det(A) \leq \prod_{i=1}^n a_{i,i}$$ pour une matrice \(A\) symétrique définie positive, et d’étudier le cas d’égalité.
Le deuxième exercice introduisait sans les nommer les polynômes de Tchebychev de première espèce et visait à montrer, à l’aide de calculs trigonométriques usuels, qu’ils permettent de construire une base orthonormée de \(\mathbf R_k[X]\) pour un certain produit scalaire.
Le problème traitait des matrices de rang 1 dans \(\mathcal M_n(\mathbf R)\). La première partie vise à étudier plusieurs exemples, notamment de matrices aléatoires. La deuxième partie vise à mettre en place quelques résultats généraux concernant les matrices de rang 1. On y établit des formes normales pour ces matrices et on démontre ainsi que deux matrices de rang 1 sont semblables si, et seulement si, elles ont même trace. Les techniques impliquées dans cette seconde partie relèvent surtout de la réduction algébrique.
D’une difficulté tout à fait standard pour CCINP, les deux premiers exercices constituent de bons moyens de réviser ses classiques. Le problème met intelligemment en œuvre le programme de MPSI/MP sur les variables aléatoires discrètes et la réduction.
Pour fini, les mises en garde de rigueur : je rappelle que je n’ai aucun lien avec les jurys de concours et que ce corrigé n’est en rien officiel. Il peut contenir des coquilles, maladresses ou erreurs. N’hésitez pas à me le signaler le cas échéant.