La première composition 2025 du concours Mines-Ponts portait sur des inégalités pour les variables aléatoires sur un univers fini : inégalité de Hölder, une inégalité de déviation et des inégalités dues à Khintchine. Les dernières parties donnent des applications aux structures métriques sur des espaces de variables aléatoires.
La première partie fait démontrer la très classique inégalité de Hölder et revient sur le cas particulier qu’est l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
La deuxième partie établit une inégalité classique entre fonctions usuelles puis exploite l’inégalité de Markov afin de mettre en place une inégalité de déviation.
La troisième partie, plus délicate, établit les inégalités de Khintchine à l’aide de calculs de moments et d’intégrales généralisées.
La quatrième partie vise à appliquer les inégalités de Khintchine pour établir l’équivalence des normes p sur un certain espace de variables aléatoires.
La cinquième et dernière partie propose d’établir à partir des inégalités de Khintchine une inégalité sur les normes 1 et 2 sur un certain sous-espace de R^n.
D’une difficulté moyenne pour un sujet des Mines, ce sujet permet de travailler sur les variables aléatoires finies et de bien s’exercer sur les techniques usuelles de minoration et de majoration. Le cours d’analyse est nettement moins mis à contribution que celui de probabilités, et en particulier ce qui concerne les moments des variables aléatoires finies.
Le sujet comporte quelques imprécisions qui se corrigent vite si on prend le soin de réfléchir à son objectif.
Comme à chaque fois : je rappelle que je n’ai aucun lien avec les jurys de concours et que ce corrigé n’est en rien officiel. Il contient très probablement des coquilles, maladresses ou erreurs. N’hésitez pas à me le signaler le cas échéant.