Le sujet de la première composition de Centrale pour les filières MP et MPI visait à établir l’irrationalité de \(\zeta(2)\) avec une approche inspirée de la théorie analytique des nombres, notamment à travers l’étude de la fonction \(\pi\) de répartition des nombres premiers.
La première partie, qui ne fait appel qu’à des techniques élémentaires de calcul algébrique et d’arithmétique établit un encadrement de la fonction \(\pi\) qui constitue un premier pas vers le théorème des nombres premiers, admis dans la suite du sujet. A noter qu’une erreur d’énoncé s’est glissée à la question 9 mais elle était facilement repérable.
La deuxième partie, de théorie algébrique des nombres, revient sur la définition algébrique du PPCM de n entiers et établit une majoration de \(d_n = PPCM(1,2,\dots,n)\).
La troisième partie met en place un critère d’irrationalité à partir d’approximations rationnelles d’un nombre réel. On y établit l’irrationalité de la constante de Liouville mais on montre que l’application directe de ce critère ne permet pas de conclure quant à celle de \(\zeta(2)\).
La quatrième partie étudie une intégrale double (sans faire appel à aucune connaissance à ce propos, tout se ramenant à des intégrales simples), qui sera utile dans la dernière partie. On y croiser quelques-uns des principaux théorèmes d’intégration du programme de MP-MPI.
La cinquième et dernière partie vient exploiter les résultats obtenus précédemment afin de démontrer l’irrationalité de \(\zeta(2)\) à l’aide du critère établi à la troisième partie, mais avec l’aide d’une approximation rationnelle non triviale en lien avec l’intégrale double précédemment calculée. La dernière question vise à déduire l’irrationalité du nombre \(\pi\) à partir de celle de \(\zeta(2)\).
Très bien construit et bien rédigé, ce sujet fait plus appel aux techniques de calcul et à la prise d’initiative qu’à une connaissance profonde du cours. Le niveau de difficulté n’est pas nécessairement progressif et le candidat aura intérêt à naviguer dans le sujet plutôt que de le traiter de manière trop linéaire.
Comme à chaque fois : je rappelle que je n’ai aucun lien avec les jurys de concours et que ce corrigé n’est en rien officiel. Il contient très probablement des coquilles, maladresses ou erreurs. N’hésitez pas à me le signaler le cas échéant.