La première composition de CCINP pour les filières MP et MPI était composée de deux exercices et un problème. Le premier exercice portait sur les fonctions à valeurs vectorielles et la connexité par arcs. Le second exercice portait sur la minimisation d’une fonction réelle de deux variables. Le problème traitait du théorème de comparaison série-intégrale.
Le premier exercice portait sur des parties relativement atypiques du programme de MP, à savoir les fonctions à valeurs vectorielles et la connexité par arcs. Pour autant, les questions posées sont élémentaires et la seule connaissance des définitions et résultats fondamentaux sur ces chapitres suffisait à y répondre.
Le deuxième exercice proposait deux approches pour minimiser une fonction de deux variables, polynomiale de degré 2. La première question consiste à mettre en œuvre un programme d’optimisation libre vu en calcul différentiel. Ceci permet de déterminer l’unicité d’un minimum local pour la fonction. La deuxième question vise à interpréter la question comme un problème de calcul de distance à un sous-espace vectoriel de \(\mathbf R^3\), et de résoudre la question à l’aide du théorème de projection.
Le problème se compose de deux parties. La première partie met en place un théorème classique de comparaison série-intégrale pour les séries de la forme \(\sum_n f(n)\), la fonction \(f\) étant supposée continue, décroissante et positive. Plusieurs applications sont proposées, notamment pour des séries de Bertrand et pour l’étude de la convergence uniforme d’une série de fonctions. La seconde partie du problème traite de contre-exemples au théorème sans l’hypothèse de monotonie.
D’une difficulté standard pour CCINP, ce sujet permet de réviser un certain nombre de thèmes classiques du programme de MP.
Enfin, les mises en garde de rigueur : je rappelle que je n’ai aucun lien avec les jurys de concours et que ce corrigé n’est en rien officiel. Il peut contenir des coquilles, maladresses ou erreurs. N’hésitez pas à me le signaler le cas échéant.