Agrégation Interne 2014 – Deuxième composition

de | 14 décembre 2017

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Cette seconde épreuve de l’agrégation interne 2014 de mathématiques propose essentiellement de revisiter quelques grands résultats d’analyse à l’aide de méthodes probabilistes.

La première partie est dédiée à une preuve probabiliste du théorème d’approximation de Weierstrass à l’aide des polynômes de Bernstein, à savoir que toute fonction d’une variable réelle continue sur un compact est limite uniforme d’une suite de fonctions polynomiales.

La deuxième partie du problème vise à étudier la qualité de l’approximation polynomiale obtenue à la partie 1 pour une classe particulière de fonctions continues, les fonctions Hölderiennes, qui sont une généralisation des fonctions lipschitziennes.

La troisième partie vise à montrer que pour les fonctions de classe \mathcal C^1, l’approximation uniforme obtenue à l’aide des polynômes de Bernstein commute avec la dérivation. Pour éviter tout mésusage des théorèmes de dérivabilité des limites de suites de fonctions, les premières questions de cette partie visent à montrer qu’il n’y a a piori pas de lien général entre convergence uniforme et régularité.

La quatrième partie est plus directement motivée par le calcul des probabilités. On y montre sous certaines hypothèses que, si l’on considère une subdivision en n segments du support d’une variable aléatoire réelle X, alors la courbe de Bézier associée aux points du graphe de la fonction de répartition F_X correspondant à cette subdivision est elle-même le graphe de la fonction de répartition d’une variable aléatoire X_n. On y montre ensuite que si la subdivision est régulière, alors la suite (X_n) converge en loi vers X puis on étudie la convergence en moyenne quadratique. Les premières questions de cette dernière partie sont dédiées à l’étude géométrique des courbes de Bézier, indépendamment de leur application aux probabilités.

Les parties sont relativement dépendantes les unes des autres mais le sujet est organisé de manière à ce que les résultats essentiels à la continuation de l’épreuve se retrouvent dans l’énoncé. Il est donc possible d’avancer dans le sujet tout en laissant des questions de côté.

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