Agrégation interne 2023 – Première composition

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La première composition de l’agrégation interne 2023 portait essentiellement sur des questions d’algèbre générale et d’arithmétique, et plus spécifiquement sur l’anneau des entiers p-adiques et son corps des fractions, lesquels jouent un rôle clé en arithmétique et sont « universels » en un sens donné par le théorème d’Ostrowski.

Excessivement long, avec 66 questions (et quelques sous-questions), ce sujet n’avait pas pour objectif d’être traité linéaire et offrait ainsi de nombreuses possibilités au candidat avec trois exercices préliminaires : un vrai/faux d’algèbre générale, un exercice visant à dénombrer le groupe linéaire sur un corps fini et un exercice autour de l’indicatrice d’Euler.

Pour les agrégatifs qui remettent le pied à l’étrier, je recommande de se concentrer sur les préliminaires, très proches du cours ainsi que sur la première partie du problème, plus originale en apparence mais faisant là aussi appel à des méthodes relativement standard.

La deuxième partie du problème est intéressante mais vraiment très longue. On y construit minutieusement l’anneau des entiers p-adiques, puis son corps des fractions et on étudie la topologie de l’espace ainsi obtenu. Les questions sont plutôt bien articulées mais le désir d’exhaustivité théorique fait que l’ensemble finit par avoir un aspect un peu rébarbatif. On finit par avoir envie de sauter aux applications avant d’avoir terminé cette partie – ce que je n’ai pas fait et mal m’en a pris.

La troisième partie propose précisément une application à la recherche des termes nuls d’une suite récurrente linéaire à coefficients entiers. Les premières questions sont classiques mais la fin de la partie m’est apparue cryptique, la fatigue sans doute… Il manque donc les réponses aux dernières questions.

La dernière partie introduit l’exponentielle p-adique et propose de l’appliquer à une démonstration de la cyclicité du groupe multiplicatif de Z/p^nZ. Ca a l’air très joli mais face à la longueur du sujet, j’avais épuisé le temps que je m’étais accordé pour en rédiger un corrigé avant d’en venir à bout, le corrigé s’interrompt en cours de partie IV, après plus de 25 pages…

Je n’ai pas vraiment eu le temps non plus de peaufiner mes arguments sur les précédentes parties. Le document que je mets en ligne est donc une version très inaboutie à mon goût, mais je me suis néanmoins dit que certains apprécieraient d’y trouver quelques éléments de réponse ou pistes de réflexion, d’où sa diffusion.