Le sujet E3A-Polytech de la filière MP était cette année constitué de trois exercices indépendants. Le premier portait sur l’optimisation d’une fonction de plusieurs variables. Le deuxième traitait d’un endomorphisme de \(\mathbb C_{n-1}[X]\). Le troisième exercice visait à étudier des fonctions définies à l’aide de séries entières.
Le premier exercice visait à optimiser la fonction définie sur \(\mathbb R^4\) par $$f(x,y,z,t) = x^2+y^2+z^2+t^2$$ sous la contrainte \(x+y=2\) de trois manières différentes. La première consiste à injecter la relation pour se ramener à une question d’optimisation libre sur \(\mathbb R^3\). La deuxième consiste à appliquer directement les méthodes d’optimisation sous contrainte. La dernière consiste à traduire cette question en termes de distance à un sous-espace affine dans \(\mathbb R^4\). Sans difficultés techniques, il s’agit d’un bon exercice pour réviser sa méthodologie sur la question.
Le deuxième exercice, le plus long du sujet, consiste à étudier l’endomorphisme défini sur \(\mathbb C_{n-1}[X]\) par $$\varphi_\omega(P) = \frac{1}{\sqrt n}\sum_{q=0}^{n-1}P(\omega^k)X^k$$ où \(\omega\) est une racine \(n\)-ième de l’unité. La première partie de l’exercice consiste essentiellement à montrer que \(\varphi_\omega\) est diagonalisable, et la seconde à déterminer son spectre. L’exercice fait surtout appel aux techniques de réduction géométrique (sous-espaces stables et restrictions), réduction algébrique (polynômes annulateurs) et au calcul algébrique dans \(\mathbb C\).
Le troisième et dernier exercice consiste à étudier succinctement la fonction définie par $$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{(n!)^2}$$ puis à étudier la fonction définie sur \(\mathbb R_+^*\) par $$g(x) = \int_1^x \frac{1}{tf(t)^2}~\mathrm{d}t.$$
Cette partie fait appel à différents chapitres d’analyse de première et de deuxième année : accroissements finis, séries entières, intégration sur un segment et intégrales généralisées.
Relativement long, ce sujet ne devrait pas présenter difficulté particulière dans son ensemble, mis à part quelques questions un peu calculatoires dans le deuxième exercice. Il constitue ainsi une bonne base de révision. On notera (et regrettera ?) l’absence de probabilités dans ce sujet.
Pour terminer, les mises en garde de rigueur : je rappelle que je n’ai aucun lien avec les jurys de concours et que ce corrigé n’est en rien officiel. Il peut contenir des coquilles, maladresses ou erreurs. N’hésitez pas à me le signaler le cas échéant.