Le sujet E3A-Polytech de la filière MPI était composé de trois exercices indépendants. Bien que totalement distinct du sujet de la filière MP, l’esprit et la structure sont analogues. Le premier exercice portait sur l’optimisation sous contrainte d’une fonction de n variables. Le deuxième exercice traitait d’un endomorphisme de l’espace des polynômes à coefficients complexes. Le troisième exercice étudiait une fonction définie par une série entière.
Le premier exercice consistait à optimiser la fonction définie sur \(\mathbb R^n\) par $$f(x_1,x_2,\ldots,x_n) = \left(e^{x_1}, e^{x_2}, \ldots, e^{x_n}\right)$$ sous la contrainte \(x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0\) à l’aide des techniques usuelles du cours de calcul différentiel au programme de MP.
Le deuxième exercice visait à étudier l’endomorphisme de \(\mathbb C_{n-1}[X]\) défini par \(f(P) = R\) où \(R\) est le reste de la division euclidienne de \((X^n-1)P\) par \(X^n-X\). Faisant intervenir conjointement le cours d’arithmétique des polynômes et celui d’algèbre linéaire (et de réduction), il s’agit d’un exercice élégant et bien guidé.
Le dernier exercice consiste à étudier la fonction définie par $$g(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} G(\sqrt n) t^n$$ où \(G\) est définie par $$G(x) = \mathrm{card} \left\{(a,b) \in \mathbb N^2,~ \sqrt{a^2+b^2} \leq x\right\}.$$
Bien guidé avec beaucoup de questions simples d’analyse réelle, cet exercice fait intervenir quelques raisonnements un peu plus délicats en dénombrement et en analyse asymptotique. Il s’agit d’un exercice relativement original pour la banque E3A, mais suffisamment détaillé pour justifier sa place dans un tel sujet.
Offrant une variation intéressante sur les thèmes déclinés dans le sujet de MP de la même année, ce sujet permettra de réviser efficacement une large partie du programme, à l’exclusion des probabilités et des intégrales à paramètres qui sont les grands absents de cette composition.
Comme toujours, je rappelle que je n’ai aucun lien avec les jurys de concours et que ce corrigé n’est en rien officiel. Il peut contenir des coquilles, maladresses ou erreurs. N’hésitez pas à me le signaler le cas échéant.