CAPES 2013 – Composition 1

de | 7 mai 2016

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Le sujet

La première composition du CAPES externe de 2013 était composée de deux problèmes.

Problème 1

Le problème 1 vise à étudier quelques propriétés des nombres rationnels.

La partie A présente quelques techniques classiques pour démontrer l’irrationalité de certains nombres : racines d’entiers, quotient de logarithmes ou e.

La partie B donne une preuve de l’irrationalité de \pi.

Enfin, la partie C propose une caractérisation des nombres rationnels de l’intervalle ]0;1] à l’aide des développements en séries de Engel.

Niveau de difficulté

La partie A du problème est parfaitement élémentaire.

La partie B du problème est un brin plus technique mais ne fait appel qu’à des techniques analytiques très classiques.

La partie C est moins classique et un peu plus technique.

Notions abordées

  • Suites réelles (partie A)
  • Analyse élémentaire (partie B)
  • Séries et séries entières (partie C)

Problème 2

Le second problème s’intéresse aux probabilités, et plus exactement à la notion d’entropie de Shannon.

La partie A du problème revient sur des méthodes de minimisation des erreurs d’observations, dont la célèbre méthode des moindres carrés.

La partie B introduit le concept d’entropie dans le cas discret. On y observe que l’entropie mesure l’imprévisibilité d’un système aléatoire.

La partie C étudie l’entropie dans le cas continu. On y établit notamment que la loi normale centrée réduite est celle qui maximise l’entropie parmi les lois à densité centrées et réduites.

Commentaires

Le problème 2 est un problème au croisement entre les probabilités et l’analyse réelle. Les techniques employées sont principalement analytiques mais elles sont teintées d’une saveur probabiliste. Certains trouveront que ça fait le charme de l’épreuve alors que d’autres perdront bêtement leurs moyens…

Niveau de difficulté

La partie A est élémentaire et ne nécessite aucune connaissance technique en calcul des probabilités.

La partie B ne demande que de connaître ses définitions et la formule des probabilités totales. Le reste consiste à appliquer des techniques d’analyse réelle élémentaire à des situations probabilistes.

La partie C est un peu plus technique, comme toujours avec les variables aléatoires à densité. En plus, elle contient une difficulté liée à un manque de formalisme de l’énoncé (qui considère \ln \circ f sans tenir compte du lieu d’annulation de la fonction f) qui n’a pas manqué d’en déstabiliser certains. Mais, au-delà de ces considérations purement formelles, les techniques utilisées sont celles de l’analyse réelle et du calcul intégral des fonctions d’une variable.

Notions abordées

  • Étude de fonctions (partie A)
  • Formule des probabilités totales (partie B)
  • Convexité (partie B)
  • Calcul intégral (partie C)

La correction

La correction que je propose a été tapée à chaud il y a quelques années. Elle mériterait certainement d’être optimisée par endroits mais elle est néanmoins suffisamment détaillée pour permettre au lecteur attentif de trouver son chemin à travers ces deux problèmes.

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