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La deuxième composition de l’agrégation interne 2024 traitait d’analyse réelle et de variables aléatoires discrètes et continues. Il avait pour fil conducteur le problème du collectionneur de vignettes en probabilités mais était composé de très nombreux préliminaires d’analyse permettant de revoir des résultats classiques : fonction Gamma, inégalité de Hölder-Minkowski, séries harmoniques et problème de Bâle. On y trouvait aussi deux exercices indépendants, le premier relatif à une équation fonctionnelle, le second relatif aux variables aléatoires discrètes. Relativement long mais très bien guidé, ce sujet donnait beaucoup de choix aux candidat.
Le premier exercice visait à résoudre une équation fonctionnelle en décomposant une fonction en partie paire et partie impaire, et en observant que ces parties satisfont une équation différentielle. Il s’agit donc d’analyse réelle relevant du programme de première année de CPGE scientifique.
Le deuxième exercice porte sur une suite de fonctions dont on étudie le comportement asymptotique par des méthodes probabilistes, notamment en se ramenant au théorème central limite (TCL). Assez court et classique, cet exercice sort du cadre des programmes de CPGE scientifique du fait de son appel au TCL.
Le problème était divisé en quatre préliminaires et cinq parties :
Le premier préliminaire vise à établir les propriétés les plus classiques de la fonction Gamma. Il s’agit uniquement de questions de cours sur les intégrales à paramètres.
Le deuxième préliminaire vise à démontrer l’inégalité de Hölder-Minkowski. On est là aussi très proche du cours sur la convexité et les intégrales généralisées.
Le troisième préliminaire propose de déterminer un développement asymptotique à l’ordre 1 des termes de la série harmonique. Il s’agit là encore d’un exercice très classique que les candidats aguerris auront déjà fait maintes fois. Ce préliminaire relève des méthodes standard avec les séries numériques.
Le quatrième préliminaire visait à répondre au problème de Bâle à l’aide de séries de Fourier.
La première partie du problème introduit le problème du collectionneur de vignette et porte sur les variables aléatoires discrètes. On y retrouve encore des questions de cours, en particulier sur les séries génératrices, mais certaines questions nécessitent plus de prise d’initiative.
La deuxième partie du problème vise à caractériser la fonction Gamma par sa log-convexité (théorème de Bohr-Mollerup). Les techniques invoquées dans cette partie relèvent essentiellement des fonctions d’une variable réelle, avec les connaissances de base sur la fonction Gamma en préliminaires. Les résultats ici sont originaux.
La troisième partie propose une étude assez générale des fonctions caractéristiques de variables aléatoires à valeurs entières. Les résultats établis dans cette partie sont très proches de ceux que l’on trouve dans un cours sur le sujet. Cette partie relève donc des variables aléatoires réelles.
La quatrième partie vise à étudier une loi à densité non triviale, la loi de Gumbel. Les connaissances préalables concernant les variables aléatoires continues sont minimales mais cette partie nécessite un peu plus de technique.
La cinquième et dernière (ouf !) partie vise à montrer que le problème du collectionneur relève asymptotiquement de la loi de Gumbel.
Pour finir, les recommandations de rigueur : ce corrigé est rédigé bénévolement, sur mon temps libre, et proposé avec pour seul objectif d’aider les agrégatifs dans leur préparation. Il n’a aucun caractère officiel ni aucune valeur d’exemple. Il contient certainement des coquilles et possiblement des erreurs, n’hésitez pas à me les signaler le cas échéant afin d’améliorer le fichier. Je rappelle aussi que je n’ai aucun lien, de près ou de loin, avec le jury du concours. Le corrigé est diffusé sous licence Creative Commons BY-NC-SA 4.0, vous pouvez donc le partager.