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La composition de mathématiques 2024 de la filière MPI se composait de quatre exercices portant sur de nombreuses parties du programme de première année ainsi que sur quelques parties du programme de deuxième année.
Le premier exercice portait sur l’étude d’un opérateur linéaire sur l’ensemble des fonctions continues sur R, puis à l’étude de l’image de fonctions particulières. Agrémenté de questions de cours sur la fonction arctan, cet exercice fait la part belle à l’étude des fonctions d’une variable réelle, ainsi qu’aux intégrales généralisées et à paramètres. La fin de l’exercice est très proche de la partie II du problème de CCINP Maths 1 MP/MPI de cette même année.
Le deuxième exercice propose d’étudier un produit scalaire hermitien sur l’ensemble des polynômes à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à n. Ne nécessitant aucune connaissance relative aux produits hermitiens (hors programme en MP/MPI), il fait surtout appel à des calculs complexes et de l’intégration sur un segment de fonctions à valeurs complexes.
Le troisième exercice étudie la loi du nombre de cases non vides après n lancers aléatoires de boules sur un ensemble de cases numérotées de 1 à N. Reprenant un exercice déjà posé au concours ECRiCOME de la filière ECE en 2008, cet exercice fait appel à des compétences de modélisation et de techniques relatives aux variables aléatoires finies.
Le quatrième exercice, plutôt original, nous propose d’étudier une classe de matrices dites équitables, dont nous établissons un certain nombre de propriétés à l’aide essentiellement de calcul matriciel, d’algèbre linéaire de première année et de réduction.
Relativement long, ce sujet propose un vaste choix aux candidats pour montrer leur maîtrise des fondamentaux des programmes de deux années de CPGE.
Enfin, les mises en garde de rigueur : je rappelle que je n’ai aucun lien avec les jurys de concours et que ce corrigé n’est en rien officiel. Il peut contenir des coquilles, maladresses ou erreurs. N’hésitez pas à me le signaler le cas échéant.
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