Agrégation interne 2018 – Deuxième composition

de | 11 avril 2018

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Note : Cette proposition de correction a été rédigée conjointement par G. Dupont et S. Porret-Blanc.

Le thème général de ce sujet est l’étude de la distance d’un point à un sous-ensemble d’un espace métrique. Les techniques utilisées au fil de l’épreuve relèvent essentiellement de la topologie métrique ou des espaces vectoriels normés, de l’analyse réelle, de la géométrie affine et de l’algèbre linéaire. Le niveau de difficulté est très hétérogène. Les deux premières parties, classiques et abordables, peuvent être traitées indépendamment les unes des autres. Les deux dernières parties sont nettement plus originales et certaines questions présentent des difficultés réelles ; il nous semble bien difficile d’en venir à bout dans le temps imparti.

Partie I : Topologie métrique et matricielle

La première partie se divise en deux sous-parties. La première établit des résultats généraux concernant la distance d’un point à une partie dans un espace métrique à l’aide de techniques relevant de la topologie métrique. Ces résultats sont surtout utiles à partir de la partie III du problème.

La seconde sous-partie de la partie I établit, indépendamment de ce qui suivra dans le problème, des résultats relatifs à la distance dans \mathcal M_n(\mathbb R). On y établit notamment la décomposition polaire d’une matrice inversible en vue d’étudier la distance d’une matrice au groupe spécial linéaire ou à l’ensemble des matrices singulières. Les techniques utilisées dans cette partie relèvent de l’algèbre linéaire et des espaces vectoriels normés.

Partie II : Analyse réelle

Cette deuxième partie vise à évaluer les compétences des candidats sur des sujets très classiques d’analyse réelle : étude de fonctions, théorème de convergence dominée, calcul de séries, etc. L’objectif est d’y étudier l’ensemble des points sur une courbe représentative de fonction d’une variable réelle situés à égale distance d’une droite donnée. Elle est indépendante de la suite du problème et les techniques sont ici purement analytiques.

Partie III : Ligne médiatrice de deux fermés séparés par une droite

Nous entrons ici dans le cœur du problème. Dans cette partie, pour A,B deux fermés non vides du plan euclidien inclus respectivement dans le demi-espace supérieur et le demi-espace inférieur, nous montrons que l’ensemble \Gamma_{A,B} des points équidistants de A et de B est le graphe d’une fonction \varphi_{A,B}: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}. Nous établissons ensuite des propriétés de \Gamma_{A,B} et de \varphi_{A,B} dans différents cas. Les techniques utilisées dans cette partie sont mixtes : analyse réelle, géométrie affine, topologie. Le niveau général de cette partie est plus élevé que le niveau des parties précédentes.

Partie IV : Asymptote de la ligne médiatrice

Cette dernière partie vise à montrer que \Gamma_{A,B} admet une asymptote et à la déterminer précisément. On commence par l’étude d’un cas particulier relativement élémentaire mais reposant sur les résultats précédemment établis, puis on passe au cas général, plus ardu. Les techniques utilisées dans cette partie relèvent là aussi de l’analyse réelle, de la géométrie affine et de la topologie. La difficulté de cette partie est nettement supérieure à celle du reste du problème.

Commentaires sur la correction

Cette correction n’a aucun caractère officiel et a été rédigée par deux enseignants n’ayant aucun lien avec le jury du concours. Elle est le seul fruit de la réflexion de deux collègues travaillant bénévolement sur un sujet qu’ils ont jugé intéressant.

Mise en garde : Il est possible qu’elle contienne des erreurs ou des imprécisions; il est probable qu’elle contienne des maladresses ou des détours. Les commentaires sont bienvenus pour aider à l’améliorer.

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