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La deuxième composition de mathématiques de CCINP 2023 de la filière MP était composée d’un exercice sur les espaces préhilbertiens réels, un exercice sur les couples des variables aléatoires discrètes et un problème d’algèbre linéaire.
Le premier exercice consistait à calculer la distance de X² à l’ensemble des polynômes de degré 1 pour la norme euclidienne associée à un produit scalaire sur l’espace des polynômes à coefficients réels de degré au plus deux. Relativement court, il était très proche du cours et faisait appel à des méthodes standard.
Le deuxième exercice, très court puisque composé de deux questions, portait sur les couples de variables aléatoires discrètes. Il s’agissait de déterminer la loi du maximum de deux variables aléatoires suivant une même loi analogue à la loi géométrique (en fait, une loi géométrique décalée de 1). Là encore, l’exercice était très classique et ne faisait appel qu’à une toute petite partie du programme de probabilités.
Le problème portait quant à lui sur la décomposition spectrale d’un endomorphisme diagonalisable. Les techniques impliquées dans ce problème relèvent pour l’essentiel des chapitres dédiés à la réduction des endomorphismes, et plus précisément à leur réduction algébrique (polynômes d’endomorphismes). Le problème est bien construit et très bien guidé, mais il nécessite une certaine aisance dans les raisonnements abstraits et dans la manipulation des nombreux objets algébriques que l’on y rencontre : décomposition des noyaux, espaces caractéristiques, projecteurs, polynômes d’endomorphismes, fractions rationnelles, polynômes d’interpolation de Lagrange, etc. On observera néanmoins l’absence de topologie dans ce sujet ainsi que dans la première composition de la même année, pour le bonheur des uns, et le malheur des autres…
Comme toujours, je rappelle que je n’ai aucun lien avec les jurys de concours et que ce corrigé n’est en rien officiel. Il peut contenir des coquilles, maladresses ou erreurs. N’hésitez pas à me le signaler le cas échéant.