CCINP MP/MPI 2024 – Mathématiques 1

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Le sujet de la première composition de mathématiques MP/MPI du CCINP 2024 était composé de deux exercices et d’un problème portant sur les variables aléatoires discrètes, les équations différentielles linéaires, les séries entières et l’intégration.

Le premier exercice visait à déterminer la loi puis le comportement asymptotique de l’espérance de la variable aléatoire représentant le plus grand numéro tiré lors d’une suite finie de tirages avec remise dans une urne contenant des boules numérotées de 1 à n. Assez court, il utilise des techniques très classiques avec les variables aléatoires discrètes, ainsi qu’un rapide recours aux sommes de Riemann.

Le deuxième exercice portait sur la résolution d’une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients polynomiaux, sous forme non résolue. L’exercice, très guidé, nous amène à étudier l’existence de solutions sur R*+ puis sur R. Les outils utilisés sont essentiellement les séries entières et la théorie générale des équations différentielles linéaires.

Le problème, composé de deux parties indépendantes, vise à établir la célèbre valeur de la somme des inverses des carrés d’entiers, problème connu sous le nom de problème de Bâle, en référence aux mathématiciens bâlois Bernoulli et Euler qui l’étudièrent aux XVIIe et XVIIIe.
La première partie établit l’identité à l’aide des intégrales de Wallis, d’un développement en série entière d’Arcsin et d’une intégration terme à terme.
La seconde partie établit l’identité à l’aide du théorème de dérivation de Leibniz pour les intégrales dépendant d’un paramètre.

Ce sujet est tout à fait dans l’esprit du programme de MP et ne devrait dans sa globalité pas présenter de grandes surprises aux candidats.

Enfin, les mises en garde de rigueur : je rappelle que je n’ai aucun lien avec les jurys de concours et que ce corrigé n’est en rien officiel. Il peut contenir des coquilles, maladresses ou erreurs. N’hésitez pas à me le signaler le cas échéant.